AgregmathKL - Contributions de l’utilisateur [fr]

233 -- Analyse numérique matricielle. Résolution approchée de systèmes linéaires, recherche d'éléments propres, exemples.

2015-09-05T16:34:48Z

Flemonni : Page créée avec « 24px Plan scanné de l'année 2014-2015 Category: Leçon d'analyse »

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222 -- Exemples d'équations aux dérivées partielles linéaires.

2015-09-05T16:33:48Z

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[[Category: Leçon d'analyse]]

264 -- Variables aléatoires discrètes. Exemples et applications.

2015-09-05T16:30:32Z

Flemonni :

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== Exercices posés lors de la présentation ==

[[Fichier:Pdf.png|alt=Pdf|link={{filepath:Q264-2013.pdf}}|24px]] [[Fichier:Tex.png|alt=Tex|link={{filepath:Q264-2013.tex}}|24px]]

[[Category: Leçon d'analyse]]
[[Category:Leçon de maths pour l'option D]]

263 -- Variables aléatoires à densité. Exemples et applications.

2015-09-05T16:30:17Z

Flemonni :

262 -- Convergences d'une suite de variables aléatoires. Théorèmes limites. Exemples et applications.

2015-09-05T16:30:03Z

Flemonni :

260 -- Espérance, variance et moments d'une variable aléatoire.

2015-09-05T16:29:48Z

Flemonni :

255 -- Espaces de Schwartz. Distributions. Dérivation au sens des distributions.

2015-09-05T16:29:33Z

Flemonni :

254 -- Espaces de Schwartz S(R^d) et distributions tempérées. Transformation de Fourier dans S(R^d) et S'(R^d).

2015-09-05T16:29:14Z

Flemonni :

249 -- Suites de variables de Bernoulli indépendantes.

2015-09-05T16:28:50Z

Flemonni :

====Éléments presque sûrement indispensables :====
*Absence de i avant les deux « l » dans Bernoulli.
*Loi de Bernoulli, évidemment, qui appelle les loi binomiale et géométrique. (Et pourquoi pas les lois de Rademacher et loi hypergéométrique.)
*L'indépendance, qui figure dans l'intitulé de la leçon, est à mon avis un concept subtil qui mérite d'être exposé, même si la sous-partie en question ne contient qu'essentiellement des définitions. Donner le Lemme de Borel-Cantelli me paraît quasi-obligatoire, dans la mesure où c'est un outil fondamental pour démontrer les lois des grands nombres (en plus ça permet d'évoquer la loi du 0-1 de Kolmogorov, qui est quand même très jolie.) Remarquer que l'indépendance globale est plus forte que l'indépendance "n à n".
*Les lois des grands nombres parce qu'elles confirment l'intuition naturelle qu'on a pour une infinité de lancers de piles ou faces. Pour des variables de Bernoulli indépendantes, la loi faible se retrouve rapidement en écrivant l'inégalité de Tchebytchev. C'est pour cela qu'on a choisi de l'énoncer avec les hypothèses
#Variables <math>L^2</math> deux à deux non-corrélées, <math>\lim_{n \to +\infty}\left(\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}E(X_i)\right)=m</math>,<math>\lim_{n \to +\infty}\left(\frac{1}{n^2}\sum_{i=1}^{n}V(X_i)\right)=0</math> plutôt que
#Variables <math>L^1</math> identiquement indépendantes
En effet la preuve de 1. repose sur l'inégalité de Tchebytchev, et la 2. en est un corollaire. (cf. Ouvrard.)

====Autres éléments qui peuvent avoir leur place dans le plan====
=====Construire une suite de variables de Bernoulli indépendantes=====
L'existence d'une suite de variable aléatoires indépendantes de lois données n'est pas triviale. C'est l'objet du théorème de prolongement de Kolmogorov. On trouve dans l'Ouvrard une construction à partir de la mesure de Lebesgue sur [0,1) qui passe par des Bernoulli. En bonus on obtient des mesures étrangères à Lebesgue et diffuses (c.-à-d. qui ne chargent aucun point.) Je trouve que c'est en plein dans la leçon, les preuves sont élémentaires et belles. (Personnellement je pense même que ça fait un bon développement.)
=====Le Théorème de la limite Centrale=====
Historiquement, le premier TCL a été prouvé pour des Bernoulli (Théorème de Moivre-Laplace) : voilà une belle manière d'introduire le TCL dans cette leçon. On peut en parler notamment pour donner un intervalle de confiance approximatif pour l'estimateur du paramètre de la loi de Bernoulli. Le théorème de Berry-Esséen donne une majoration de l'erreur commise en faisant cette approximation : chouette non ? (C'est peut-être l'occasion de parler de statistiques à moindre coût.)
=====Plus de statistiques=====
Le théorème de Glivenko-Cantelli donne la convergence uniforme p.s. des fonctions de répartition empiriques vers la fonction de répartition de la loi des variables identiquement indépendantes considérées. Les fonctions de répartition empiriques sont des sommes d'indicatrices, qui sont toujours des variables de Bernoulli. On peut penser aussi au théorème de Varadarajan, qui lui donne la convergence étroite des mesures empiriques, et qui prends parfois le nom de "principe fondamental de la statistique". La seule référence qu'on ait trouvé à ce propos est le premier chapitre du cours de statistiques de Benoît Cadre.
=====Chaînes de Markov=====
Mentionner la marche aléatoire sur <math>\mathbb{Z}</math> permet d'introduire les chaînes de Markov. On peut alors énoncer que cette marche aléatoire est récurrente si et seulement si la loi de Bernoulli est uniforme. En marchant aléatoirement (et uniformément) sur <math>\mathbb{Z}^d</math>, on peut énoncer le théorème de Polya, qui dit que la marche est récurrente si et seulement si <math>d \leq 2</math>.
La loi de l'arcsinus ( voir [http://images.math.cnrs.fr/La-loi-de-l-arcsinus.html cette sympathique vidéo] trouvée sur images des maths pour une introduction ) a sa place une fois qu'on a parlé de marche aléatoire sur <math>\mathbb{Z}</math> (voir Lesigné).

=====Martingales=====
La marche aléatoire sur <math>\mathbb{Z}</math> peut être vue comme un modèle pour la ruine du joueur. L'occasion d'introduire la notion de martingale, si on est à l'aise avec la notion d'espérance conditionnelle.

====Développements possibles====
*[[Média:Devdyadique.tex | Autour du développement dyadique :]] construction d'une suite indépendante de variables de loi quelconque et mesures singulières en bonus (Ouvrard p. 52).
*Théorème de Weierstrass via les polynômes de Bernstein. (Zuily-Queffelec) ([[Média: Bernstein_proba.tex | .tex]], [[Média: Bersntein_proba.pdf | .pdf]])
*Grandes déviations pour les bernoulli. (Lesigné)
*Théorème de Polya.
*[[Média:Ruinedujoueur.tex | Ruine du joueur.]] (Ouvrard)
*Processus de Galton-Watson.

====Références====
*Ouvrard
*Barbe-Ledoux
*Zuily-Queffelec
*Emmanuel Lesigné, "Pile ou Face : Une introduction aux théorèmes limites du Calcul des Probabilités" : ce petit livre est une mine d'or pour cette leçon, et pour cause : l'auteur se propose d'introduire les probabilités uniquement en considérant des Bernoulli (!) En réalité il va très loin, traite notamment les "grandes déviations" pour les Bernoulli, mais aussi la loi du log itéré, celle de l'arcsinus, et plein d'autres choses marrantes.
--[[Utilisateur:Nil|Nil]] 19 mai 2011 à 22:26 (CEST)

== Exemples ==

[[Fichier:Pdf.png|alt=Pdf|link=|24px]] [[Média:Plan249.pdf | Plan scanné de l'année 2012-2013]]

[[Fichier:Pdf.png|alt=Pdf|link=|24px]] [[Média:249_2013-2014.pdf | Plan scanné de l'année 2013-2014]]

[[Fichier:Pdf.png|alt=Pdf|link=|24px]] [[Média:249_2014-2015.pdf | Plan scanné de l'année 2014-2015]]

[[Category:Leçon d'analyse]]

246 -- Séries de Fourier. Exemples et applications.

2015-09-05T16:28:34Z

Flemonni :

"Les différents modes de convergence (L 2 , Fejer, Dirichlet
etc...) doivent être connus. Il faut avoir les idées claires sur la notion de fonctions de classe <math>\mathcal{C}^1</math> par
morceaux (elles ne sont pas forcément continues). Dans le cas d’une fonction continue et <math>\mathcal{C}^1</math> par
morceaux on peut conclure sur la convergence normale de la série Fourier sans utiliser le théorème
de Dirichlet. Cette leçon ne doit pas se réduire à un cours abstrait sur les coefficients de Fourier."

Extrait du rapport du jury 2010.

= Plan de Florian et Basile (2012) =
== Le Plan ==
[[Fichier:Pdf.png|alt=Pdf|link=|24px]] [[Media:lecon246.pdf | Plan leçon 246 et développements]]

== Développements possibles ==
* [[Théorème de Fejér]] ( très important pour cette leçon )
* [[Théorème de Banach-Steinhaus et application aux séries de Fourier]]
* [[Fichier:Pdf.png|alt=Pdf|link=|24px]] [[Media:Poisson.pdf | Formule sommatoire de Poisson]]

== Références ==
* Zuily-Queffelec
* Gourdon, analyse
* (Moisan, Vernotte, Tosel)
* (Madère)

== Autres plans ==

[[Fichier:Pdf.png|alt=Pdf|link=|24px]] [[Média:246_2013-2014.pdf | Plan scanné de l'année 2013-2014]]

[[Fichier:Pdf.png|alt=Pdf|link=|24px]] [[Média:246_2014-2015.pdf | Plan scanné de l'année 2014-2015]]

[[Category: Leçon d'analyse]]
[[Category:Leçon de maths pour l'option D]]

245 -- Fonctions d'une variable complexe. Exemples et applications.

2015-09-05T16:28:17Z

Flemonni :

244 -- Fonctions développables en série entière, fonctions analytiques. Exemples.

2015-09-05T16:28:03Z

Flemonni :

240 -- Produit de convolution, transformation de Fourier. Applications.

2015-09-05T16:27:46Z

Flemonni :

Selon Laurent Guillopé (jury aux oraux blancs), il faut savoir calculer la transformée de Fourier :
* d'une fonction constante ;
* d'une fonction créneau (fontion caractéristique de <math> \mathbb{R}^+ </math>) : cela donne l'exemple d'une fonction analytique non <math> L^1</math> ;
* de la Gaussienne ;
* de <math>x\mapsto \frac{1}{1+x^2}</math> ;
* de <math>x\mapsto e^{-|x|}</math> (ces deux dernières étant reliées).

Voici le plan que j'envisage:

* I Convolution
* i)Définitions
Le cas général d'existence semble porter le nom de théorème de Young.
* ii)Régulariastion et approximation
On énonce un théorème qui dit que la convolée garde la régularité de la fonction la plus régulière. Approximations de l'unité. Théorèmes de densité.

* II Transformation de Fourier
* i)Dans <math>L^1(R)</math>, lien avec la convolution. Formule sommatoire de Poisson
* ii)Dans l'espace de Schwartz, inversion, prolongement à <math>L^2(R)</math>
* iii)Application à l'équation de la chaleur

* III Extension de la transformation de Fourier aux distributions tempérées
* i)Définition de l'espace <math>S'(R)</math>
* ii)Transformation de Fourier dans <math>S'(R)</math>, applications à la résolution d'une EDP

Rien de bien original, certes.

== Autres plans ==

[[Fichier:Pdf.png|alt=Pdf|link=|24px]] [[Média:240_2013-2014.pdf | Plan scanné de l'année 2013-2014]]

[[Fichier:Pdf.png|alt=Pdf|link=|24px]] [[Média:240_2014-2015.pdf | Plan scanné de l'année 2014-2015]]

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239 -- Fonctions définies par une intégrale dépendant d'un paramètre. Exemples et applications.

2015-09-05T16:27:20Z

Flemonni :

Je vous propose ce que l'on avait fait quand nous (Alan Hertgen et Florent Demeslay) avions préparé notre leçon :

= Plan =

== Régularité ==
[ZQ]

Théorèmes de
* continuité ;
* dérivabilité avec contre-exemple construit par Adrien Richou pour montrer la petite subtilité avec le presque partout dans le théorème de dérivabilité ;
* holomorphie.

Etude asymptotique :
* Méthode de Laplace ;
* Phase stationnaire ;
* Lemme de Van der Corput. [CL]

== Théorie de Cauchy ==
[Rud]

Intégration sur un chemin, indice, formule de Cauchy et théorème des résidus.

== Convolution ==
[Bre]

Fonctions convolables, suites régularisantes, fonctions plateaux, converge uniforme et <math>L^p</math>.

== Transformée de Fourier ==
[ZQ]

Dans le cadre <math>\mathcal{S}(\mathbb{R})</math> exclusivement : définition, isomorphisme, formule d'inversion, formule sommatoire de Poisson, application aux EDP.

= Développements possibles =
[ZQ]

* Prolongement de <math>\Gamma</math> avec formule d'Euler (à télécharger : [[Média:ProlongementGamma.tex]])
* Méthode de Laplace (à télécharger : [[Média:MethodedeLaplace.tex]])
* Formule sommatoire de Poisson + <math>\theta</math> de Jacobi
* [[Théorème d'échantillonnage de Shannon]]

= Références =
* [ZQ] Zuily-Quéffelec : Analyse pour l'Agrégation
* [Bre] Brézis : Analyse fonctionnelle
* [Rud] Rudin : Analyse réelle et complexe
* [CL] Chambert-Loir : Analyse 2

= Plans des autres années =

[[Fichier:Pdf.png|alt=Pdf|link=|24px]] [[Média:239_2012-2013.pdf | Plan scanné de l'année 2012-2013]]

[[Fichier:Pdf.png|alt=Pdf|link=|24px]] [[Média:239_2013-2014.pdf | Plan scanné de l'année 2013-2014]]

[[Fichier:Pdf.png|alt=Pdf|link=|24px]] [[Média:239_2014-2015.pdf | Plan scanné de l'année 2014-2015]]

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229 -- Fonctions monotones. Fonctions convexes. Exemples et applications.

2015-09-05T16:26:26Z

Flemonni :

Dans la liste des développements pour la leçon 229, il y a ceux qu'Antoine Marnat et moi-même (Simon Billouet) avons proposé : ellipsoïde de John-Löwner (développement qui se recase dans plein de leçons, et pour être honnête on l'avait mis pour avoir un troisième développement...) ; théorème des trois droites d'Hadamard (que je trouve à la limite du hors-sujet, il faut en tout cas être très à l'aise sur l'holomorphie et particulièrement le principe du maximum pour le présenter) ; théorème de Helly et théorème de Dini.

Pour ceux qui trouvent que l'alliance "Helly/Dini" est artificielle, je suis d'accord. Une solution trouvée pour les fans de probas peut être trouvée en mettant un "Helly/Prokorov". Le théorème de Prokorov est une application de Helly qui dit qu'une suite de probabilités tendues sur <math>\mathbb{R}</math> (i.e. <math>\forall \epsilon, \exists K</math> compact tel que <math>\forall n, p_{n}(K)>1-\epsilon</math>) admet une sous-suite qui converge étroitement. Je ne ferai pas ce choix mais bon...

Enfin, un développement qui rentrerait plus dans la leçon est de développer la méthode du gradient (on peut même prendre un exemple si on est trop court). L'intérêt est que ça se recase aussi dans des leçons type "Convergence des suites numériques" pour des raisons que je n'expliciterai pas. LA référence sur le sujet est le bouquin de Ciarlet "Introduction à l'analyse numérique matricielle et à l'optimisation".

== Rapport du jury ==

Les candidats sont invités à réfléchir à l’incidence de ces notions en théorie des probabilités. La dérivabilité presque partout des fonctions monotones est un résultat important. Le jury souhaiterait que les candidats illustrent leurs propos et raisonnements sur les fonctions convexes par des dessins clairs. Il n’est pas déraisonnable de parler de fonctions à variation bornée.

Le théorème sur l’existence des limites (à gauche ou à droite) d’une fonction monotone est souvent mal énoncé.

== Plans ==

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224 -- Exemples de développements asymptotiques de suites et de fonctions.

2015-09-05T16:26:07Z

Flemonni :

Il est possible de parler de la méthode d'accélération de convergence d'Aitken dans cette leçon. Elle est expliquée dans un des livres d'exercices d'ACL mais pour ceux qui ne veulent pas ouvrir ces bouquins (ou juste avoir des référence plus habituelles sur ce sujet), sachez qu'elle est aussi expliquée à la toute fin du Pommelet. C'est un peu moins clair mais l'essentiel est là.

Quelqu'un connait des exemples explicites qui illustrent ces histoires d'accélération de convergence ?

J'ai cherché un petit peu : je n'ai pas trouvé d'exemple explicite mais apparement les méthodes d'Aitken et de Steffenson sont couramment utilisé. Par exemple, je crois avoir compris que maple s'en servait quand il faisait une méthode de Newton.

[[Fichier:Pdf.png|alt=Pdf|link=|24px]] [[Média:224_2012-2013.pdf | Plan scanné de l'année 2012-2013]]

[[Fichier:Pdf.png|alt=Pdf|link=|24px]] [[Média:224_2013-2014.pdf | Plan scanné de l'année 2013-2014]]

[[Fichier:Pdf.png|alt=Pdf|link=|24px]] [[Média:224_2014-2015.pdf | Plan scanné de l'année 2014-2015]]

== Exercices posés lors de la présentation ==

[[Fichier:Pdf.png|alt=Pdf|link={{filepath:Q224-2013.pdf|24px]] [[Fichier:Tex.png|alt=Pdf|link=Média:Q224-2013.tex}}|24px]]

[[Category: Leçon d'analyse]]

[[Category:Leçon de maths pour l'option D]]

220 -- Équations différentielles ordinaires. Exemples de résolutions et d'études de solutions en dimension 1 et 2.

2015-09-05T16:25:49Z

Flemonni :

217 -- Sous-variétés de Rn. Exemples.

2015-09-05T16:25:25Z

Flemonni :

215 -- Applications différentiables définies sur un ouvert de Rn. Exemples et applications.

2015-09-05T16:25:11Z

Flemonni :

213 -- Espaces de Hilbert. Bases hilbertiennes. Exemples et applications.

2015-09-05T16:24:56Z

Flemonni :

209 -- Approximation d'une fonction par des fonctions régulières. Exemples et applications.

2015-09-05T16:24:31Z

Flemonni :

[[Fichier:Pdf.png|alt=Pdf|link=|24px]] [[Média:209_2013-2014.pdf | Plan scanné de l'année 2013-2014]]

[[Fichier:Pdf.png|alt=Pdf|link=|24px]] [[Média:209_2014-2015.pdf | Plan scanné de l'année 2014-2015]]

== Exercices posés lors de la présentation ==

[[Fichier:Pdf.png|alt=Pdf|link={{filepath:Q209-2013.pdf}}|24px]] [[Fichier:Tex.png|alt=Tex|link={{filepath:Q209-2013.tex}}|24px]]

[[Category: Leçon d'analyse]]

207 -- Prolongement de fonctions. Exemples et applications.

2015-09-05T16:24:12Z

Flemonni :

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== Exercices posés lors de la présentation ==

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206 -- Théorèmes de point fixe. Exemples et applications.

2015-09-05T16:23:44Z

Flemonni :

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== Exercices posés lors de la présentation ==

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[[Category: Leçon d'analyse]]
[[Category:Leçon de maths pour l'option D]]

205 -- Espaces complets. Exemples et applications.

2015-09-05T16:23:29Z

Flemonni :

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== Exercices posés lors de la présentation ==

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204 -- Connexité. Exemples et applications.

2015-09-05T16:23:15Z

Flemonni :

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[[Category: Leçon d'analyse]]

203 -- Utilisation de la notion de compacité.

2015-09-05T16:23:02Z

Flemonni :

Selon Michel Pierre, il est quasiment hors sujet d'énoncer des théorèmes généraux sur la compacité vu le titre de la leçon. Il faut vraiment axer sur l'''utilisation'' de la compacité. Par exemple, il n'est pas obligé de définir la compacité mais montrer que le lien entre valeur d'adhérence et compacité est intéressant.

Il faut connaître des exemples de compacts en dimension infinie et/ou dans des espaces vectoriels non normés. Par exemple l'ensemble constitué de tous les termes d'une suite convergente et de sa limite dans un espace séparé.

Il faut également connaître des exemples d'opérateurs à noyaux comme la convolution et la transformée de Fourier.

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[[Category: Topologie]]
[[Category: Leçon d'analyse]]
[[Category:Leçon de maths pour l'option D]]

202 -- Exemples de parties denses et applications.

2015-09-05T16:22:47Z

Flemonni :

201 -- Espaces de fonctions. Exemples et applications.

2015-09-05T16:22:30Z

Flemonni :

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== Exercices posés lors de la présentation ==

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[[Category: Leçon d'analyse]]

182 -- Applications des nombres complexes à la géométrie.

2015-09-05T16:22:02Z

Flemonni :

"Applications des nombres complexes à la géométrie. Cette leçon ne saurait rester au niveau de la Terminale. Une étude de l’exponentielle complexe et des homographies de la sphère de Riemann est tout à fait appropriée."

Extrait du rapport 2010

= Plan de Florian et Basile (2012) =

== Le Plan ==

=== 1. Bases (tellement la ~) ===
# Géométrie euclidienne affine
#* Définitions : affixe, vecteur image. Liens entre la structure hermitienne de <math>\mathbb C</math> et la géométrie.
#* Applications : colinéarité, équations de droites et de cercles.
# Angles et coordonnées polaires [Aud]
#* Isomorphisme de groupe <math>\mathbb U \cong \mathbb R / 2 \pi \mathbb Z</math>
#* Applications : Théorème de l'angle inscrit ? Ptolémé
# Transformations
#* Isométries directes
#* Isométries puis similitudes
#* App : Développé de la cycloïde [Arn]
# Polynômes et barycentres
#* Applications : Théorème de Gauss-Lucas
#* DEV : Ellipse de Steiner.

=== 2. Droite projective complexe ===

# DéfinitionS
#* Définitions équivalentes [Cos]
#* Exemple : projection stéréographique [Aud]
# Homographies [Aud, Cos]
#* Groupe et ses générateurs
#* Application : points fixes et suites homographiques [Cos]
# Birapport [Aud, Eid]
#* Applications : Cocyclicité, Premutation et birapport [Aud], Alternative de Steiner
# Groupe circulaire [Aud]
#* DEV : Action du groupe circulaire
# Fibration de Hopf [Dim, Cer]

== Développements possibles ==
* [[Ellipse de Steiner]]
* Action du [[groupe circulaire]] sur la sphère de Riemann
* Action de <math>PSL_2( \mathbb Z )</math> sur le demi-plan de Poincaré
* Fibration de Hopf ?

== Références ==
* [Aud] : Audin (3ième édition)
* [Gob] : [[Goblot]]
* [Eid] : Eiden
* [Arn] : Lelong-ferrand Arnaudiès, Géométrie et cinématique Tome 3

* [Cos] : Cours de M. Coste
* [Dim] : Film dimension
* [Cer] : Cours de D. Cerveaux

== Autres plans ==

[[Fichier:Pdf.png|alt=Pdf|link=|24px]] [[Média:182_2012-2013.pdf | Plan scanné de l'année 2012-2013]]

[[Fichier:Pdf.png|alt=Pdf|link=|24px]] [[Média:182_2013-2014.pdf | Plan scanné de l'année 2013-2014]]

[[Fichier:Pdf.png|alt=Pdf|link=|24px]] [[Média:182_2014-2015.pdf | Plan scanné de l'année 2014-2015]]

[[Category: Leçon d'algèbre]]
[[Category: géométrie]]
[[Category:Leçon de maths pour l'option D]]

180 -- Coniques. Applications.

2015-09-05T16:21:42Z

Flemonni :

170 -- Formes quadratiques sur un espace vectoriel de dimension finie. Orthogonalité, isotropie. Applications.

2015-09-05T16:21:27Z

Flemonni :

161 -- Distances et isométries d'un espace affine euclidien.

2015-09-05T16:21:08Z

Flemonni :

160 -- Endomorphismes remarquables d'un espace vectoriel euclidien (de dimension finie).

2015-09-05T16:20:54Z

Flemonni :

159 -- Formes linéaires et dualité en dimension finie. Exemples et applications.

2015-09-05T16:20:29Z

Flemonni :

== Plans ==

[[Fichier:Pdf.png|alt=Pdf|link=|24px]] [[Média:Lecon132.pdf | Plan détaillé de l'année 2012-2013]]

[[Fichier:Tex.png|alt=Tex|link=|24px]] [[Média:Leçon132.tex | Plan détaillé de l'année 2012-2013]]

[[Fichier:Pdf.png|alt=Pdf|link=|24px]] [[Média:159_2012-2013.pdf | Plan scanné de l'année 2012-2013]]

[[Fichier:Pdf.png|alt=Pdf|link=|24px]] [[Média:159_2013-2014.pdf | Plan scanné de l'année 2013-2014]]

[[Fichier:Pdf.png|alt=Pdf|link=|24px]] [[Média:159_2014-2015.pdf | Plan scanné de l'année 2014-2015]]

== Développements ==
<DynamicPageList>
category = Développement de la leçon 159
</DynamicPageList>
# Développements possibles [Proposés par Ivan et Vincent, 2011-2012] :
#* Hahn-Banach géométrique en dimension finie - référence : ''Géométrie'' de Tauvel, (ATTENTION, Tauvel a fait des coquilles dans la démo).
#* Un Isomorphisme entre <math> \mathcal{M}_n(K) </math> et son dual et application - Référence : Aubonnet, ''Les Grands classiques de mathématiques..., Algèbre et Géométrie'' - Application pour montrer que tout hyperplan de matrice contient une matrice inversible et que les seules formes linéaires sur les matrices qui vérifient <math> \phi(AB)=\phi(BA), \forall A,B </math> sont de la forme <math> \lambda Trace, \lambda\in K </math>. Vrai quelque soit le corps <math>K</math>.

# Développements possibles [Propositions de 2010-2011] :
#* Hahn-Banach en dimension finie,
#* Invariant de similitudes - Référence : Gourdon (preuve par dualité) mais après ?
#* Le théorème des extrema liés.
#* cf la leçon sous-variétés: le lieu des matrices dont les colonnes sont normées qui maximise le déterminant est le groupe spécial orthogonal. De mémoire on utilise l'identification de <math>M_n(\mathbb{R})</math> avec son dual via la trace, et on applique le théorème des extréma liés, from GT Calcul différentiel. Au début je l'aimais bien et finalement je l'ai abandonné.

Autres possibilités, plus discutables (Tristan Vaccon) : théorème de Burnside sur les sous-groupes d'exposants finis... (Alessandri), la preuve repose sur l'étude de formes linéaires ; sous-espaces de <math>C(\mathbb{R},\mathbb{C})</math> de dimension finie stables par translation (Leichtnam+ Objectif Agreg, de mémoire), il y a des considérations importantes de dualité.

Autres possibiliés (Pierre M.) : L'enveloppe convexe du groupe orthogonal est la boule unité euclidienne (oraux X-ENS algèbre 1), qui se fait par Han-Banach. Et l'étude des applications linéaires ayant un hyperplan fixe (dilatations et transvections) avec le Perrin.

[[Category:leçon d'algèbre]]
[[Category:Leçon de maths pour l'option D]]

158 -- Matrices symétriques réelles, matrices hermitiennes.

2015-09-05T16:20:14Z

Flemonni :

156 -- Exponentielle de matrices. Applications.

2015-09-05T16:19:55Z

Flemonni :

Pour le plan global, je propose la structure suivante :

== I) Définitions et premières propriétés ==

cf. Algèbre linéaire, de Grifone, par exemple.
Ne pas oublier de préciser que la norme utilisée est une norme d'algèbre.

== II) Méthodes de calcul de l'exponentielle ==

Occasion de parler des différentes réductions (cf. oraux X-ENS Algèbre 2, par exemple), et en particulier de Dunford '''accompagné''' du corollaire sur l'équivalence entre diagonalisabilité d'une matrice et de son exponentielle.

== III) Utilisation de l'exponentielle ==

Là encore, il y a pas mal de chose dans oraux X-ENS Algèbre 2 pour ce qui est des utilisations en théorie des groupes et certaines peuvent sans doute constituer des développements.

Pour les résolutions de systèmes différentiels à coefficients constants, on peut se référer au Grifone.

== Extrait de rapport du jury ==

C’est une leçon difficile et ce n’est pas une leçon d’analyse.

La décomposition de Dunford multiplicative (décomposition de Jordan) de exp(A) doit être connue.

Les groupes à 1-paramètre peuvent trouver leurs places dans cette leçon. On peut s’interroger si ces sous-groupes constituent des sous-variétés fermées de GL(n, R). L’étude du logarithme (quand il est défini) trouve toute sa place dans cette leçon.

Les applications aux équations différentielles doivent être évoquées sans constituer l’essentiel de la leçon. On pourra par exemple faire le lien entre réduction et comportement asymptotique.

Les notions d’algèbres de Lie ne sont pas au programme de l’Agrégation, on conseille de n’aborder ces sujets qu’à condition d’avoir une certaine solidité.

== Exemples ==

[[Fichier:Pdf.png|alt=Tex|link= |24px]] [[Média:Exponentielle.pdf| Exponentielle de matrices avec deux developpements]]

[[Fichier:Pdf.png|alt=Pdf|link=|24px]] [[Média:Plan127.pdf | Plan scanné de l'année 2012-2013]]

[[Fichier:Pdf.png|alt=Pdf|link=|24px]] [[Média:156_2013-2014.pdf | Plan scanné de l'année 2013-2014]]

[[Fichier:Pdf.png|alt=Pdf|link=|24px]] [[Média:156_2014-2015.pdf | Plan scanné de l'année 2014-2015]]

== Exercices posés lors de la présentation ==

[[Fichier:Pdf.png|alt=Pdf|link={{filepath:Q156-2013.pdf|24px]] [[Fichier:Tex.png|alt=Pdf|link=Média:Q156-2013.tex}}|24px]]

[[Category:Leçon de l'option D]]
[[Category:leçon d'algèbre]]

155 -- Endomorphismes diagonalisables en dimension finie.

2015-09-05T16:19:34Z

Flemonni :

154 -- Sous-espaces stables par un endomorphisme ou une famille d'endomorphismes d'un espace vectoriel de dimension finie. Applications.

2015-09-05T16:19:18Z

Flemonni :

151 -- Dimension d'un espace vectoriel (on se limitera au cas de la dimension finie). Rang. Exemples et applications.

2015-09-05T16:18:57Z

Flemonni :

150 -- Exemples d'actions de groupes sur les espaces de matrices.

2015-09-05T16:18:40Z

Flemonni :

== Plans ==

[[Fichier:Pdf.png|alt=Pdf|link=|24px]] [[Média:150_2012-2013.pdf | Plan scanné de l'année 2012-2013]]

[[Fichier:Pdf.png|alt=Pdf|link=|24px]] [[Média:150_2013-2014.pdf | Plan scanné de l'année 2013-2014]]

[[Fichier:Pdf.png|alt=Pdf|link=|24px]] [[Média:150_2014-2015.pdf | Plan scanné de l'année 2014-2015]]

== Développements ==
* Algorithme des facteurs invariants [OA]
* Sous-groupes compacts de <math>GL_n</math> (à télécharger : [[Média:SousgroupescompactsGLn.tex]]) [Ale]
* Bruhat [X-ENS 2]
<DynamicPageList>
category = Développement de la leçon 150
</DynamicPageList>

= Exemple de Plan =

== Action par translation ==

Définition de l'action à gauche et à droite.

1. Pivot de Gauss [GRI]
*Matrices échelonnées obtenues par opérations élémentaires
*Même orbite si Ker A = Ker B

2. Bruhat [X-ENS1]
*Définition de l'action, décomposition de Bruhat, action sur les groupes de drapeaux

== Equivalence ==
[OA]

Définition

1. Sur un corps
*Théorème <math>J_r</math>
*Appli : équivalence sur une extension de corps, équivalence à la transposée, densité de <math>GL_n</math>

2. Sur un anneau euclidien
*Réduite de Smith via l'algo
*Théorème de structure des module de type fini

== Similitude ==
[OA]

Définition

1. Cas général
*Réduction de Frobenius
*invariants de similitude de M = facteurs invariants de <math>M-XIn</math>
*Appli : similitude sur extension de corps, similitude à la transposée et surtout Jordan

2. Propriétés topologiques des orbites [X-ENS 2]
*bornée, fermée, 0 dans l'adhérence

3. Restrictions
*Brauer
*Matrices normales (donc symétriques, hermitiennes, orthogonales, unitaires) [Gou]
*Appli : connexité par arcs de <math>O_n, U_n, SU_n</math>

== Congruence ==
[Gri]

*Définition
*Réduction des formes quadratiques sur R, C et un corps fini.
*Sous-groupes compacts de <math>GL_n</math> [Ale]

= Bibliographie =
*[OA] : Objectif Agreg
*[Gri] : J. Grifone, Algèbre Linéaire
*[Ale] : M. Alessandri, Thèmes de géométrie
*[Gou] : X. Gourdon, Algèbre

[[Category:leçon d'algèbre]]
[[Category:Leçon de maths pour l'option D]]

144 -- Racines d'un polynôme. Fonctions symétriques élémentaires. Exemples et applications.

2015-09-05T16:18:09Z

Flemonni :

127 -- Droite projective et birapport.

2015-09-05T16:17:42Z

Flemonni :

[[Fichier:Pdf.png|alt=Pdf|link=|24px]] [[Média:127_2014-2015.pdf | Plan scanné de l'année 2014-2015]]

[[Category:leçon d'algèbre]]

126 -- Exemples d'équations en arithmétique.

2015-09-05T16:17:23Z

Flemonni :

[[Fichier:Pdf.png|alt=Pdf|link=|24px]] [[Média:126_2013-2014.pdf | Plan scanné de l'année 2013-2014]]

[[Fichier:Pdf.png|alt=Pdf|link=|24px]] [[Média:126_2014-2015.pdf | Plan scanné de l'année 2014-2015]]

== Exercices posés lors de la présentation ==

[[Fichier:Pdf.png|alt=Pdf|link={{filepath:Q126-2013.pdf|24px]] [[Fichier:Tex.png|alt=Tex|link=Média:Q126-2013.tex}}|24px]]

[[Category:leçon d'algèbre]]

125 -- Extensions de corps. Exemples et applications.

2015-09-05T16:17:08Z

Flemonni :

[[Fichier:Pdf.png|alt=Pdf|link=|24px]] [[Média:125_2012-2013.pdf | Plan scanné de l'année 2012-2013]]

[[Fichier:Pdf.png|alt=Pdf|link=|24px]] [[Média:125_2013-2014.pdf | Plan scanné de l'année 2013-2014]]

[[Fichier:Pdf.png|alt=Pdf|link=|24px]] [[Média:125_2014-2015.pdf | Plan scanné de l'année 2014-2015]]

== Exercices posés lors de la présentation ==

[[Fichier:Pdf.png|alt=Pdf|link={{filepath:Q125-2013.pdf}}|24px]] [[Fichier:Tex.png|alt=Pdf|link={{filepath:Q125-2013.tex}}|24px]]

[[Category:leçon d'algèbre]]

122 -- Anneaux principaux. Applications.

2015-09-05T16:16:50Z

Flemonni :

[[Fichier:Pdf.png|alt=Pdf|link=|24px]] [[Média:122_2012-2013.pdf | Plan scanné de l'année 2012-2013]]

[[Fichier:Pdf.png|alt=Pdf|link=|24px]] [[Média:122_2013-2014.pdf | Plan scanné de l'année 2013-2014]]

[[Fichier:Pdf.png|alt=Pdf|link=|24px]] [[Média:122_2014-2015.pdf | Plan scanné de l'année 2014-2015]]

== Exercices posés lors de la présentation ==

[[Fichier:Pdf.png|alt=Pdf|link={{filepath:Q122-2013.pdf|24px]] [[Fichier:Tex.png|alt=Tex|link=Média:Q122-2013.tex}}|24px]]

[[Category:leçon d'algèbre]]

120 -- Anneaux Z/nZ. Applications.

2015-09-05T16:16:29Z

Flemonni :

On peut trouver des "équations diophantiennes bien choisies" dans '' Arithmétique'' de Marc Hindry avec notamment le nombre de racines m-ième dans l'anneau. On y trouve également des tests de primalité et le système RSA pour ceux que ça intéresse.

== Plans ==

[[Fichier:Pdf.png|alt=Pdf|link=|24px]] [[Média:Anneaux Z sur nZ.pdf | Plan de l'année 2011-2012]]

[[Fichier:Pdf.png|alt=Pdf|link=|24px]] [[Média:120_2012-2013.pdf | Plan scanné de l'année 2012-2013]]

[[Fichier:Pdf.png|alt=Pdf|link=|24px]] [[Média:120_2013-2014.pdf | Plan scanné de l'année 2013-2014]]

[[Fichier:Pdf.png|alt=Pdf|link=|24px]] [[Média:120_2014-2015.pdf | Plan scanné de l'année 2014-2015]]

== Développements ==
* Groupes d'ordre <math>pq</math>
* Irréductibilité des polynômes cyclotomiques sur <math>\mathbb Z [X]</math>

[[Fichier:Pdf.png|alt=Pdf|link=|24px]] [[Média:Développements.pdf | Groupes d'ordre <math>pq</math> et polynômes cyclotoniques]]
<DynamicPageList>
category = Développement de la leçon 120
</DynamicPageList>

[[Category:leçon d'algèbre]]
[[Category:Leçon de maths pour l'option D]]

110 -- Caractères d'un groupe abélien fini et transformée de Fourier discrète. Applications.

2015-09-05T16:15:58Z

Flemonni :

[[Fichier:Pdf.png|alt=Pdf|link=|24px]] [[Média:110_2014-2015.pdf | Plan scanné de l'année 2014-2015]]

[[Category:leçon d'algèbre]]

109 -- Représentations de groupes finis de petit cardinal.

2015-09-05T16:15:19Z

Flemonni :

[[Fichier:Pdf.png|alt=Pdf|link=|24px]] [[Média:109_2012-2013.pdf | Plan scanné de l'année 2012-2013]]

[[Fichier:Pdf.png|alt=Pdf|link=|24px]] [[Média:109_2013-2014.pdf | Plan scanné de l'année 2013-2014]]

[[Fichier:Pdf.png|alt=Pdf|link=|24px]] [[Média:109_2014-2015.pdf | Plan scanné de l'année 2014-2015]]

== Exercices posés lors de la présentation ==

[[Fichier:Pdf.png|alt=Pdf|link={{filepath:Q109-2013.pdf}}|24px]] [[Fichier:Tex.png|alt=Pdf|link={{filepath:Q109-2013.tex}}|24px]]

[[Category:leçon d'algèbre]]

106 -- Groupe linéaire d'un espace vectoriel de dimension finie E, sous-groupes de GL(E). Applications.

2015-09-05T16:15:02Z

Flemonni :

105 -- Groupe des permutations d'un ensemble fini. Applications.

2015-09-05T16:14:45Z

Flemonni :

Une idée en l'air, qui est transmise par Vladimir Arnold sur http://www.irem.univ-paris-diderot.fr/videos/la_mathematique_experimentale/ (excellente conférence au demeurant) : la notion de groupe de permutations est la "vraie" définition (si on voit ledit ensemble comme géométrique), la définition axiomatique n'est finalement pas très maniable. Et le théorème de Cayley (un groupe s'identifie comme sous-ensemble du groupe de permutation d'un ensemble fini) est là pour nous dire qu'il n'y a justement rien de plus que ces permutations. Idée qu'il s'agit de faire ressortir dans la défense du plan, à mon sens. (Simon)

===Divers===
[[Des illustrations pour les leçons de groupes]]

== Plans ==

[[Fichier:Pdf.png|alt=Pdf|link=|24px]] [[Média:105_2012-2013.pdf | Plan scanné de l'année 2012-2013]]

[[Fichier:Pdf.png|alt=Pdf|link=|24px]] [[Média:105_2013-2014.pdf | Plan scanné de l'année 2013-2014]]

[[Fichier:Pdf.png|alt=Pdf|link=|24px]] [[Média:105_2014-2015.pdf | Plan scanné de l'année 2014-2015]]

== Développements ==
<DynamicPageList>
category = Développement de la leçon 105
</DynamicPageList>

== Exercices posés lors de la présentation ==

[[Fichier:Pdf.png|alt=Pdf|link={{filepath:Q105-2013.pdf|24px]] [[Fichier:Tex.png|alt=Pdf|link=Média:Q105-2013.tex}}|24px]]

[[Category:Leçon de maths pour l'option D]]
[[Category:Leçon sur les groupes]]
[[Category:leçon d'algèbre]]