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149 -- Groupes finis de petit cardinal.

2010-11-29T23:25:37Z

Jean-Baptiste : /* Développements */

== Plan ==

L'objet du plan est de donner les théorèmes et les définitions qui permettent d'étudier les groupes de petits cardinaux.

1) Préliminaires

2) Action d'un groupe sur un ensemble, formule des classes, produit semi-direct

3) Sylow

4) Classification des groupes d'ordre inférieur à 15

== Développements ==

Groupes d'ordre 12, groupes d'ordre 8, simplicité de <math>A_n</math>

Je fais ici le développement que Guirardel nous avait proposé et qu'on n'a pas mis dans le plan.

Théorème : Pour n différent de 6, <math>Aut(S_n)=Int(S_n)</math>

On va exhiber un automorphisme de <math>S_6</math> qui n'est pas interne.

On considère l'action de <math>GL_2(F_5)</math> sur <math>F_5^2</math>. Cette action est transitive.

Pour <math>X\in F_5^2,\;\;stab(X)=\{\lambda.I_2;\lambda\in\;F_5^\star\}=centre(GL_2(F_5))</math>. On identifie maintenant la droite projective <math>P_1(F_5)</math> à <math>F_5\cup\{\infty\}</math> et on pose <math>PGL_2(F_5)=GL_2(F_5)/centre(GL_2(F_5))</math>. L'action définie précédemment livre (par définition d'une action de groupe) un morphisme <math>i:PGL_2(F_5)\to S(P_1(F_5))=S_6</math>. Ce morphisme est injectif car l'action est fidèle.

Ainsi, on a vu que <math>PGL_2(F_5)</math> s'injecte dans <math>S_6</math>.

De plus, <math>Card(PGL_2(F_5))=120</math> et <math>Card(S_6)=720</math> donc si K est l'image de <math>PGL_2(F_5)</math> dans <math>S_6</math>, on a que K est d'indice 6.

De plus, on sait que l'action de K ne fixe aucun point de <math>\{1,\dots,6\}</math> car <math>PGL_2(F_5)</math> ne fixe aucun point de <math>P_1(F_5)</math>

Enfin, <math>S_6</math> agit sur <math>S_6/K=\{a,b,c,d,e,f\}=\{1,2,3,4,5,6\}</math> par translations à gauche (où on a posé <math>a=K</math> puis on envoie a sur 1, b sur 2,etc). Cette action livre un automorphisme <math>\phi</math> de <math>S_6</math> qui est tel que <math>\phi(K)=S(\{2,3,4,5,6\})\cong S_5</math>.

Si <math>\phi</math> est intérieur, <math>\exists g\in S_6</math> tel que <math>\phi</math> s'écrit <math>\phi:x\mapsto gxg^{-1}</math> et alors <math>\phi(stab(1 point))=stab(g(ce point))</math> et donc <math>\phi</math> établit une bijection entre les sous-groupes d'indice 6 qui fixent un point. Ce qui contredit le fait que <math>K</math> ne fixe aucun point et <math>\phi(K)</math> fixe 1.

== Rapport de Jury ==

Groupes finis de petit cardinal. Après avoir cité rapidement les théorèmes fondamentaux sur les groupes, la leçon doit se concentrer sur les exemples. Les développements ne peuvent pas porter sur les théorèmes généraux. C’est une leçon bien distincte de la leçon Groupes finis.

== Références ==
Perrin
Querré cours d'algèbre
Gourdon algèbre
Tauvel Mathématiques générales pour l'agrégation
Francinou, Gianella exercices de mathématiques pour l'agrégation Algèbre 1

149 -- Groupes finis de petit cardinal.

2010-11-29T23:24:42Z

Jean-Baptiste : Page créée avec « == Plan == L'objet du plan est de donner les théorèmes et les définitions qui permettent d'étudier les groupes de petits cardinaux. 1) Préliminaires 2) Action d'un gr... »

== Plan ==

L'objet du plan est de donner les théorèmes et les définitions qui permettent d'étudier les groupes de petits cardinaux.

1) Préliminaires

2) Action d'un groupe sur un ensemble, formule des classes, produit semi-direct

3) Sylow

4) Classification des groupes d'ordre inférieur à 15

== Développements ==

Groupes d'ordre 12, groupes d'ordre 8, simplicité de <math>A_n</math>

Je fais ici le développement que Guirardel nous avait proposé et qu'on n'a pas mis dans le plan.

Théorème : Pour n différent de 6, <math>Aut(S_n)=Int(S_n)</math>

On considère l'action de <math>GL_2(F_5)</math> sur <math>F_5^2</math>. Cette action est transitive.

Pour <math>X\in F_5^2,\;\;stab(X)=\{\lambda.I_2;\lambda\in\;F_5^\star\}=centre(GL_2(F_5))</math>. On identifie maintenant la droite projective <math>P_1(F_5)</math> à <math>F_5\cup\{\infty\}</math> et on pose <math>PGL_2(F_5)=GL_2(F_5)/centre(GL_2(F_5))</math>. L'action définie précédemment livre (par définition d'une action de groupe) un morphisme <math>i:PGL_2(F_5)\to S(P_1(F_5))=S_6</math>. Ce morphisme est injectif car l'action est fidèle.

Ainsi, on a vu que <math>PGL_2(F_5)</math> s'injecte dans <math>S_6</math>.

De plus, <math>Card(PGL_2(F_5))=120</math> et <math>Card(S_6)=720</math> donc si K est l'image de <math>PGL_2(F_5)</math> dans <math>S_6</math>, on a que K est d'indice 6.

De plus, on sait que l'action de K ne fixe aucun point de <math>\{1,\dots,6\}</math> car <math>PGL_2(F_5)</math> ne fixe aucun point de <math>P_1(F_5)</math>

Enfin, <math>S_6</math> agit sur <math>S_6/K=\{a,b,c,d,e,f\}=\{1,2,3,4,5,6\}</math> par translations à gauche (où on a posé <math>a=K</math> puis on envoie a sur 1, b sur 2,etc). Cette action livre un automorphisme <math>\phi</math> de <math>S_6</math> qui est tel que <math>\phi(K)=S(\{2,3,4,5,6\})\cong S_5</math>.

Si <math>\phi</math> est intérieur, <math>\exists g\in S_6</math> tel que <math>\phi</math> s'écrit <math>\phi:x\mapsto gxg^{-1}</math> et alors <math>\phi(stab(1 point))=stab(g(ce point))</math> et donc <math>\phi</math> établit une bijection entre les sous-groupes d'indice 6 qui fixent un point. Ce qui contredit le fait que <math>K</math> ne fixe aucun point et <math>\phi(K)</math> fixe 1.

== Rapport de Jury ==

Groupes finis de petit cardinal. Après avoir cité rapidement les théorèmes fondamentaux sur les groupes, la leçon doit se concentrer sur les exemples. Les développements ne peuvent pas porter sur les théorèmes généraux. C’est une leçon bien distincte de la leçon Groupes finis.

== Références ==
Perrin
Querré cours d'algèbre
Gourdon algèbre
Tauvel Mathématiques générales pour l'agrégation
Francinou, Gianella exercices de mathématiques pour l'agrégation Algèbre 1

Page de suggestions

2010-10-27T16:17:02Z

Jean-Baptiste : /* Et un petit logo ? */

== Des pages pour les références bibliographiques ? ==
Pourquoi ne créerait on pas aussi une page par référence ? L'idéal serait une page qui ressemblerait aux pages pour les images sur wikipédia ( type http://fr.wikipedia.org/wiki/Fichier:Bentley_4%C2%BD_Litre_-_20090924.jpg ) : je pense surtout à une liste des leçons (ou autres pages) dans lesquelles la référence serait citée, à la manière de la liste des pages qui utilisent une image sur wikipédia. (Est-ce que ça s'automatise facilement ce genre de choses ?). Et pourquoi pas aussi des avis plus généraux sur les bouquins, des erreurs relevées, etc... voire des pages qui parleraient des références en général. (Nil <- Je signe parce que c'est pas forcément super pratique d'aller chercher le nom de l'auteur dans l'historique de ce que j'ai pu voir, mais peut être qu'il y a des astuces... j'avoue ne pas être très au point côté "wikiétiquette".)

Gwenael : je me renseigne. Effectivement, ça serait pas mal.

==Et un petit logo ?==
Je sais pas vous, je trouve ça un peu triste ce coin vide en haut à gauche. Ça ne me paraît pas trop difficile à combler, je me propose même de faire la réalisation sous inkscape si aucun de nos géniaux graphistes ne s'y colle. La question c'est surtout quoi mettre en logo ? Qu'en pensez-vous ? (Nil)

Gwenael : Fais-toi plaisir, effectivement, c'est un peu triste sans rien.

JB : Je trouverai très bon esprit de mettre un gros compte à rebours ...

==Et un "coin café" ?==
Pourquoi pas aussi une petite page où on pourrait discuter de manière plus légère, pour poser des questions du type : "Au passage est-ce que certains d'entre vous sont actifs sur wikipédia ?", ou autre... (Nil)

==Un endroit où uploader nos développements ?==
Je sais qu'on trouve les développements assez facilement dans les bouquins mais ça pourrait être assez pratique de pouvoir les stocker en ligne : on y aurait accès sans avoir à aller à la BU.
Par exemple j'ai tapé les deux préparés pour ma leçon, plusieurs fois on a eu des développements tapés par des gens (Gwen, Laurent, etc.) et ça serait sympa de pouvoir les rendre disponibles pour les autres (au moins la source .tex). (Florent)

Gwenael : Je crois avoir activé cette fonctionnalité. On peut maintenant uploader des .tex et des .pdf (en plus des images).

157 -- Endomorphismes trigonalisables. Endomorphismes nilpotents.

2010-10-27T16:12:00Z

Jean-Baptiste : rapport du jury

Structure :

== Premières définitions, premières propriétés ==

1)Endomorphismes nilpotents [Gri]

Définition et représentation en matrice triangulaire à diagonale nulle. Caractérisation par les traces des puissances successives. Exemples

2)Polynômes caractéristique et minimal [Gou]

Définitions, exemple des endomorphismes nilpotents.
Définition et caractérisation de la trigonalisation.

== Éléments propres, sous-espaces stables et commutation ==

1)Valeurs propres, vecteurs propres [Gou]

Définitions des deux notions, exemples simples. Cas des matrices triangulaires et des matrices nilpotentes, Cayley-Hamilton.

2)Sous-espaces stables, propres, caractéristiques [Tau]

Définitions, exemples pour illustrer les différences.

3)Commutation et réductions [Tau], [Gou] et [O-A]

Lemme des noyaux. Co-trigonalisation d'une famille d'endomorphismes commutant deux à deux.
Décomposition de Dunford, application au calcul d'exponentielles de matrices.
Un endomorphisme est diagonalisable si et seulement si son exponentielle l'est. Et antécédents de l'identité par exponentielle.

== Réductions de type trigonalisation ==

1)Trigonalisation par blocs [Gri]

(a)Trigonalisation suivant les sous-espaces caractéristiques (blocs triangulaires) et application au calcul de puissances de matrices.
(b)Représentation canonique des transformations orthogonales ([Gri] p.303).

2)Réduction de Jordan [Gri] ou [Tau] ou [Gou]

Cas des endomorphismes nilpotents et cas général

3)Décomposition de Bruhat [XE1]

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Bien sûr, il ne faut pas oublier les motivations : la recherche d'une matrice semblable ayant un maximum de zéros ou au moins une forme particulièrement adaptée à tel ou tel calcul (déterminant, puissance, exponentielle...). Ceci peut être précisé à l'oral, justement.

Les développements proposés sont la décomposition de Dunford ('''avec''' le fait que les endomorphismes n et d sont des polynômes en l'endomorphisme initial, par le lemme Chinois : cf. [O-A]), et celle de Bruhat, qui amène à parler éventuellement lors des questions des actions de groupes sur les drapeaux.

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Références :
[Gri] Grifone, Algèbre linéaire
[Tau] Tauvel, Cours d'algèbre
[XE1] Oraux X-ENS, Algèbre 1
[Gou] Gourdon, Algèbre
[O-A] Objectif agrégation

== Rapport du jury ==

Il est possible de mener une leçon de bon niveau, même sans la décomposition de Jordan à l’aide des noyaux itérés.

229 -- Fonctions monotones. Fonctions convexes. Exemples et applications.

2010-10-27T16:08:32Z

Jean-Baptiste : rapport du jury

Dans la liste des développements pour la leçon 229, il y a ceux qu'Antoine Marnat et moi-même (Simon Billouet) avons proposé : ellipsoïde de John-Löwner (développement qui se recase dans plein de leçons, et pour être honnête on l'avait mis pour avoir un troisième développement...) ; théorème des trois droites d'Hadamard (que je trouve à la limite du hors-sujet, il faut en tout cas être très à l'aise sur l'holomorphie et particulièrement le principe du maximum pour le présenter) ; théorème de Helly et théorème de Dini.

Pour ceux qui trouvent que l'alliance "Helly/Dini" est artificielle, je suis d'accord. Une solution trouvée pour les fans de probas peut être trouvée en mettant un "Helly/Prokorov". Le théorème de Prokorov est une application de Helly qui dit qu'une suite de probabilités tendues sur <math>\mathbb{R}</math> (i.e. <math>\forall \epsilon, \exists K</math> compact tel que <math>\forall n, p_{n}(K)>1-\epsilon</math>) admet une sous-suite qui converge étroitement. Je ne ferai pas ce choix mais bon...

Enfin, un développement qui rentrerait plus dans la leçon est de développer la méthode du gradient (on peut même prendre un exemple si on est trop court). L'intérêt est que ça se recase aussi dans des leçons type "Convergence des suites numériques" pour des raisons que je n'expliciterai pas. LA référence sur le sujet est le bouquin de Ciarlet "Introduction à l'analyse numérique matricielle et à l'optimisation".

== Rapport du jury ==

Les candidats sont invités à réfléchir à l’incidence de ces notions en théorie des probabilités. La dérivabilité presque partout des fonctions monotones est un résultat important. Le jury souhaiterait que les candidats illustrent leurs propos et raisonnements sur les fonctions convexes par des dessins clairs. Il n’est pas déraisonnable de parler de fonctions à variation bornée.

Le théorème sur l’existence des limites (à gauche ou à droite) d’une fonction monotone est souvent mal énoncé.

156 -- Exponentielle de matrices. Applications.

2010-10-27T16:06:27Z

Jean-Baptiste : rapport du jury

Pour le plan global, je propose la structure suivante :

== I) Définitions et premières propriétés ==

cf. Algèbre linéaire, de Grifone, par exemple.
Ne pas oublier de préciser que la norme utilisée est une norme d'algèbre.

== II) Méthodes de calcul de l'exponentielle ==

Occasion de parler des différentes réductions (cf. oraux X-ENS Algèbre 2, par exemple), et en particulier de Dunford '''accompagné''' du corollaire sur l'équivalence entre diagonalisabilité d'une matrice et de son exponentielle.

== III) Utilisation de l'exponentielle ==

Là encore, il y a pas mal de chose dans oraux X-ENS Algèbre 2 pour ce qui est des utilisations en théorie des groupes et certaines peuvent sans doute constituer des développements.

Pour les résolutions de systèmes différentiels à coefficients constants, on peut se référer au Grifone.

== Extrait de rapport du jury ==

C’est une leçon difficile et ce n’est pas une leçon d’analyse.

La décomposition de Dunford multiplicative (décomposition de Jordan) de exp(A) doit être connue.

Les groupes à 1-paramètre peuvent trouver leurs places dans cette leçon. On peut s’interroger si ces sous-groupes constituent des sous-variétés fermées de GL(n, R). L’étude du logarithme (quand il est défini) trouve toute sa place dans cette leçon.

Les applications aux équations différentielles doivent être évoquées sans constituer l’essentiel de la leçon. On pourra par exemple faire le lien entre réduction et comportement asymptotique.

Les notions d’algèbres de Lie ne sont pas au programme de l’Agrégation, on conseille de n’aborder ces sujets qu’à condition d’avoir une certaine solidité.