https://minerve.ens-rennes.fr/api.php?action=feedcontributions&feedformat=atom&user=Jordane 2026-05-07T03:03:51Z Contributions de l’utilisateur MediaWiki 1.24.0 https://minerve.ens-rennes.fr/index.php?title=157_--_Endomorphismes_trigonalisables._Endomorphismes_nilpotents.&diff=16 2010-10-26T07:54:16Z

<p>Jordane : Toute la leçon en détails</p> <hr /> <div>Structure :<br /> <br /> == Premières définitions, premières propriétés ==<br /> <br /> 1)Endomorphismes nilpotents [Gri]<br /> <br /> Définition et représentation en matrice triangulaire à diagonale nulle. Caractérisation par les traces des puissances successives. Exemples<br /> <br /> 2)Polynômes caractéristique et minimal [Gou]<br /> <br /> Définitions, exemple des endomorphismes nilpotents.<br /> Définition et caractérisation de la trigonalisation.<br /> <br /> <br /> == Éléments propres, sous-espaces stables et commutation ==<br /> <br /> 1)Valeurs propres, vecteurs propres [Gou]<br /> <br /> Définitions des deux notions, exemples simples. Cas des matrices triangulaires et des matrices nilpotentes, Cayley-Hamilton.<br /> <br /> 2)Sous-espaces stables, propres, caractéristiques [Tau]<br /> <br /> Définitions, exemples pour illustrer les différences.<br /> <br /> 3)Commutation et réductions [Tau], [Gou] et [O-A]<br /> <br /> Lemme des noyaux. Co-trigonalisation d'une famille d'endomorphismes commutant deux à deux.<br /> Décomposition de Dunford, application au calcul d'exponentielles de matrices.<br /> Un endomorphisme est diagonalisable si et seulement si son exponentielle l'est. Et antécédents de l'identité par exponentielle. <br /> <br /> <br /> == Réductions de type trigonalisation ==<br /> <br /> 1)Trigonalisation par blocs [Gri]<br /> <br /> (a)Trigonalisation suivant les sous-espaces caractéristiques (blocs triangulaires) et application au calcul de puissances de matrices.<br /> (b)Représentation canonique des transformations orthogonales ([Gri] p.303).<br /> <br /> 2)Réduction de Jordan [Gri] ou [Tau] ou [Gou]<br /> <br /> Cas des endomorphismes nilpotents et cas général<br /> <br /> 3)Décomposition de Bruhat [XE1]<br /> <br /> <br /> ----<br /> <br /> Bien sûr, il ne faut pas oublier les motivations : la recherche d'une matrice semblable ayant un maximum de zéros ou au moins une forme particulièrement adaptée à tel ou tel calcul (déterminant, puissance, exponentielle...). Ceci peut être précisé à l'oral, justement.<br /> <br /> Les développements proposés sont la décomposition de Dunford ('''avec''' le fait que les endomorphismes n et d sont des polynômes en l'endomorphisme initial, par le lemme Chinois : cf. [O-A]), et celle de Bruhat, qui amène à parler éventuellement lors des questions des actions de groupes sur les drapeaux.<br /> <br /> ----<br /> Références : <br /> [Gri] Grifone, Algèbre linéaire<br /> [Tau] Tauvel, Cours d'algèbre<br /> [XE1] Oraux X-ENS, Algèbre 1<br /> [Gou] Gourdon, Algèbre<br /> [O-A] Objectif agrégation</div>

Jordane https://minerve.ens-rennes.fr/index.php?title=156_--_Exponentielle_de_matrices._Applications.&diff=14 2010-10-25T17:09:14Z

<p>Jordane : Structure globale et références de base</p> <hr /> <div>Pour le plan global, je propose la structure suivante : <br /> <br /> <br /> == I) Définitions et premières propriétés ==<br /> <br /> <br /> cf. Algèbre linéaire, de Grifone, par exemple. <br /> Ne pas oublier de préciser que la norme utilisée est une norme d'algèbre.<br /> <br /> <br /> <br /> == II) Méthodes de calcul de l'exponentielle ==<br /> <br /> <br /> Occasion de parler des différentes réductions (cf. oraux X-ENS Algèbre 2, par exemple), et en particulier de Dunford '''accompagné''' du corollaire sur l'équivalence entre diagonalisabilité d'une matrice et de son exponentielle.<br /> <br /> <br /> <br /> == III) Utilisation de l'exponentielle ==<br /> <br /> <br /> Là encore, il y a pas mal de chose dans oraux X-ENS Algèbre 2 pour ce qui est des utilisations en théorie des groupes et certaines peuvent sans doute constituer des développements. <br /> <br /> Pour les résolutions de systèmes différentiels à coefficients constants, on peut se référer au Grifone.</div>

Jordane