AgregmathKL - Contributions de l’utilisateur [fr]

263 -- Variables aléatoires à densité. Exemples et applications.

2019-02-22T16:34:28Z

Louis G :

108 -- Exemples de parties génératrices d'un groupe. Applications.

2019-02-22T15:29:17Z

Louis G :

===Divers===
[[Des illustrations pour les leçons de groupes]]

== Plans ==

[[Fichier:Pdf.png|alt=Pdf|link=|24px]] [[Média:108_2012-2013.pdf | Plan scanné de l'année 2012-2013]]

[[Fichier:Pdf.png|alt=Pdf|link=|24px]] [[Média:108_2013-2014.pdf | Plan scanné de l'année 2013-2014]]

[[Fichier:Pdf.png|alt=Pdf|link=|24px]] [[Média:108_2014-2015.pdf | Plan scanné de l'année 2014-2015]]

[[Fichier:Pdf.png|alt=Pdf|link=|24px]] [[Média:108_2015-2016.pdf | Plan scanné de l'année 2015-2016]]

[[Fichier:Pdf.png|alt=Pdf|link=|24px]] [[Média:108_2016-2017.pdf | Plan scanné de l'année 2016-2017]]

[[Fichier:Pdf.png|alt=Pdf|link=|24px]] [[Média:108_2017-2018.pdf | Plan scanné de l'année 2017-2018]]

== Développements ==
<DynamicPageList>
category = Développement de la leçon 108
</DynamicPageList>

== Exercices posés lors de la présentation ==

[[Fichier:Pdf.png|alt=Pdf|link={{filepath:Q108-2013.pdf}}|24px]] [[Fichier:Tex.png|alt=Pdf|link={{filepath:Q108-2013.tex}}|24px]]

[[Category:Leçon de maths pour l'option D]]
[[Category:leçon d'algèbre]]

190 -- Méthodes combinatoires, problèmes de dénombrement.

2019-02-22T15:28:53Z

Louis G :

183 -- Utilisation des groupes en géométrie.

2019-02-22T15:28:41Z

Louis G :

== Plan possible ==
Voici le plan que Laurent et moi (Gwenael) avons proposé [[Média:Plan_groupes_geometrie.tex‎]]. À noter, pour les références, l'excellent livre de Moulin, Ramis et Warusfel, et pour l'étude des polyèdres réguliers de <math>\mathbb R^3</math>, le poly d'Arnaudiès. C'est la seule référence qu'on ait trouvée qui ne suppose pas les polyèdres réguliers connus pour la classification.

== Développements envisageables ==
*Classification des sous-groupes finis de SO(3). [[Média:Sous_groupes_finis_SO3.tex]]
*Action de <math>PSL_2(\mathbb Z)</math> sur le demi-plan de Poincaré (peut-être un peu court).
*Action du groupe circulaire sur la droite projective complexe. [[Média:groupecirc.tex]] (attention il y a des images insérées dans le tex qui produiront une erreur puisqu'elles ne seront pas sur votre poste... à virer du code donc, ou vous pouvez me les demander (Laurent) ;)).
*[[Classification des groupes de pavage du plan]]

Nota : pour le groupe circulaire, à trouver dans Audin : c'est là où c'est le mieux fait, mais malheureusement ça reste pas génial ! Notamment, il n'y a aucune démonstration concernant les figures obtenues une fois le point (ou la droite) envoyé à l'infini. Elle ne le mentionne pas, mais il faut donc impérativement adjoindre à l'apprentissage de ce développement, une lecture de la partie de géométrie plane sur les inversions (qui est pas mal faite dans le même livre), et, c'est mon avis mais il y a peut être mieux, voir l'homographie mise en jeu comme une composée d'inversion et de symétrie. Sans ça on peut pas vraiment justifier les figures, or elles sont fondamentales dans la démonstration...

== Références ==
Moulin, Ramis, Warufsel. ''Cours de mathématiques pures et appliquées - Volume 1 - Algèbre et géométrie''.

J.-M. Arnaudiès. ''Les cinq polyèdres réguliers de <math>\mathbb R^3</math> et leurs groupes''. Centre de Documentation Universitaire.

M. Audin. ''Géométrie''.

M. Alessandri. ''Thèmes de géométrie''.

P. Tauvel. ''Cours de géométrie''.

Y. Ladegaillerie. ''Géométrie - Affine, projective, euclidienne et anallagmatique''.

J.-P. Serre. ''Cours d'arithmétique''.

===Divers===
[[Des illustrations pour les leçons de groupes]]

== Plans ==

[[Fichier:Pdf.png|alt=Pdf|link=|24px]] [[Média:183_2012-2013.pdf | Plan scanné de l'année 2012-2013]]

[[Fichier:Pdf.png|alt=Pdf|link=|24px]] [[Média:183_2013-2014.pdf | Plan scanné de l'année 2013-2014]]

[[Fichier:Pdf.png|alt=Pdf|link=|24px]] [[Média:183_2014-2015.pdf | Plan scanné de l'année 2014-2015]]

[[Fichier:Pdf.png|alt=Pdf|link=|24px]] [[Média:183_2015-2016.pdf | Plan scanné de l'année 2015-2016]]

[[Fichier:Pdf.png|alt=Pdf|link=|24px]] [[Média:183_2016-2017.pdf | Plan scanné de l'année 2016-2017]]

[[Fichier:Pdf.png|alt=Pdf|link=|24px]] [[Média:183_2017-2018.pdf | Plan scanné de l'année 2017-2018]]

[[Category:leçon d'algèbre]]
[[Category:leçon sur les groupes]]
[[Category:leçon de géométrie]]
[[Category:Leçon de maths pour l'option D]]

182 -- Applications des nombres complexes à la géométrie.

2019-02-22T15:28:23Z

Louis G :

"Applications des nombres complexes à la géométrie. Cette leçon ne saurait rester au niveau de la Terminale. Une étude de l’exponentielle complexe et des homographies de la sphère de Riemann est tout à fait appropriée."

Extrait du rapport 2010

= Plan de Florian et Basile (2012) =

== Le Plan ==

=== 1. Bases (tellement la ~) ===
# Géométrie euclidienne affine
#* Définitions : affixe, vecteur image. Liens entre la structure hermitienne de <math>\mathbb C</math> et la géométrie.
#* Applications : colinéarité, équations de droites et de cercles.
# Angles et coordonnées polaires [Aud]
#* Isomorphisme de groupe <math>\mathbb U \cong \mathbb R / 2 \pi \mathbb Z</math>
#* Applications : Théorème de l'angle inscrit ? Ptolémé
# Transformations
#* Isométries directes
#* Isométries puis similitudes
#* App : Développé de la cycloïde [Arn]
# Polynômes et barycentres
#* Applications : Théorème de Gauss-Lucas
#* DEV : Ellipse de Steiner.

=== 2. Droite projective complexe ===

# DéfinitionS
#* Définitions équivalentes [Cos]
#* Exemple : projection stéréographique [Aud]
# Homographies [Aud, Cos]
#* Groupe et ses générateurs
#* Application : points fixes et suites homographiques [Cos]
# Birapport [Aud, Eid]
#* Applications : Cocyclicité, Premutation et birapport [Aud], Alternative de Steiner
# Groupe circulaire [Aud]
#* DEV : Action du groupe circulaire
# Fibration de Hopf [Dim, Cer]

== Développements possibles ==
* [[Ellipse de Steiner]]
* Action du [[groupe circulaire]] sur la sphère de Riemann
* Action de <math>PSL_2( \mathbb Z )</math> sur le demi-plan de Poincaré
* Fibration de Hopf ?

== Références ==
* [Aud] : Audin (3ième édition)
* [Gob] : [[Goblot]]
* [Eid] : Eiden
* [Arn] : Lelong-ferrand Arnaudiès, Géométrie et cinématique Tome 3

* [Cos] : Cours de M. Coste
* [Dim] : Film dimension
* [Cer] : Cours de D. Cerveaux

== Autres plans ==

[[Fichier:Pdf.png|alt=Pdf|link=|24px]] [[Média:182_2012-2013.pdf | Plan scanné de l'année 2012-2013]]

[[Fichier:Pdf.png|alt=Pdf|link=|24px]] [[Média:182_2013-2014.pdf | Plan scanné de l'année 2013-2014]]

[[Fichier:Pdf.png|alt=Pdf|link=|24px]] [[Média:182_2014-2015.pdf | Plan scanné de l'année 2014-2015]]

[[Fichier:Pdf.png|alt=Pdf|link=|24px]] [[Média:182_2015-2016.pdf | Plan scanné de l'année 2015-2016]]

[[Fichier:Pdf.png|alt=Pdf|link=|24px]] [[Média:182_2016-2017.pdf | Plan scanné de l'année 2016-2017]]

[[Fichier:Pdf.png|alt=Pdf|link=|24px]] [[Média:182_2017-2018.pdf | Plan scanné de l'année 2017-2018]]

[[Category: Leçon d'algèbre]]
[[Category: géométrie]]
[[Category:Leçon de maths pour l'option D]]

170 -- Formes quadratiques sur un espace vectoriel de dimension finie. Orthogonalité, isotropie. Applications.

2019-02-22T15:28:02Z

Louis G :

162 -- Systèmes d'équations linéaires ; opérations élémentaires, aspects algorithmiques et conséquences théoriques.

2019-02-22T15:27:50Z

Louis G :

160 -- Endomorphismes remarquables d'un espace vectoriel euclidien (de dimension finie).

2019-02-22T15:27:40Z

Louis G :

159 -- Formes linéaires et dualité en dimension finie. Exemples et applications.

2019-02-22T15:27:25Z

Louis G :

== Plans ==

[[Fichier:Pdf.png|alt=Pdf|link=|24px]] [[Média:Lecon132.pdf | Plan détaillé de l'année 2012-2013]]

[[Fichier:Tex.png|alt=Tex|link=|24px]] [[Média:Leçon132.tex | Plan détaillé de l'année 2012-2013]]

[[Fichier:Pdf.png|alt=Pdf|link=|24px]] [[Média:159_2012-2013.pdf | Plan scanné de l'année 2012-2013]]

[[Fichier:Pdf.png|alt=Pdf|link=|24px]] [[Média:159_2013-2014.pdf | Plan scanné de l'année 2013-2014]]

[[Fichier:Pdf.png|alt=Pdf|link=|24px]] [[Média:159_2014-2015.pdf | Plan scanné de l'année 2014-2015]]

[[Fichier:Pdf.png|alt=Pdf|link=|24px]] [[Média:159_2015-2016.pdf | Plan scanné de l'année 2015-2016]]

[[Fichier:Pdf.png|alt=Pdf|link=|24px]] [[Média:159_2016-2017.pdf | Plan scanné de l'année 2016-2017]]

[[Fichier:Pdf.png|alt=Pdf|link=|24px]] [[Média:159_2017-2018.pdf | Plan scanné de l'année 2017-2018]]

== Développements ==
<DynamicPageList>
category = Développement de la leçon 159
</DynamicPageList>
# Développements possibles [Proposés par Ivan et Vincent, 2011-2012] :
#* Hahn-Banach géométrique en dimension finie - référence : ''Géométrie'' de Tauvel, (ATTENTION, Tauvel a fait des coquilles dans la démo).
#* Un Isomorphisme entre <math> \mathcal{M}_n(K) </math> et son dual et application - Référence : Aubonnet, ''Les Grands classiques de mathématiques..., Algèbre et Géométrie'' - Application pour montrer que tout hyperplan de matrice contient une matrice inversible et que les seules formes linéaires sur les matrices qui vérifient <math> \phi(AB)=\phi(BA), \forall A,B </math> sont de la forme <math> \lambda Trace, \lambda\in K </math>. Vrai quelque soit le corps <math>K</math>.

# Développements possibles [Propositions de 2010-2011] :
#* Hahn-Banach en dimension finie,
#* Invariant de similitudes - Référence : Gourdon (preuve par dualité) mais après ?
#* Le théorème des extrema liés.
#* cf la leçon sous-variétés: le lieu des matrices dont les colonnes sont normées qui maximise le déterminant est le groupe spécial orthogonal. De mémoire on utilise l'identification de <math>M_n(\mathbb{R})</math> avec son dual via la trace, et on applique le théorème des extréma liés, from GT Calcul différentiel. Au début je l'aimais bien et finalement je l'ai abandonné.

Autres possibilités, plus discutables (Tristan Vaccon) : théorème de Burnside sur les sous-groupes d'exposants finis... (Alessandri), la preuve repose sur l'étude de formes linéaires ; sous-espaces de <math>C(\mathbb{R},\mathbb{C})</math> de dimension finie stables par translation (Leichtnam+ Objectif Agreg, de mémoire), il y a des considérations importantes de dualité.

Autres possibiliés (Pierre M.) : L'enveloppe convexe du groupe orthogonal est la boule unité euclidienne (oraux X-ENS algèbre 1), qui se fait par Han-Banach. Et l'étude des applications linéaires ayant un hyperplan fixe (dilatations et transvections) avec le Perrin.

[[Category:leçon d'algèbre]]
[[Category:Leçon de maths pour l'option D]]

158 -- Matrices symétriques réelles, matrices hermitiennes.

2019-02-22T15:27:12Z

Louis G :

157 -- Endomorphismes trigonalisables. Endomorphismes nilpotents.

2019-02-22T15:26:54Z

Louis G :

== Plans ==

[[Fichier:Pdf.png|alt=Pdf|link=|24px]] [[Média:157_2012-2013.pdf | Plan scanné de l'année 2012-2013]]

Plan détaillé de l'année 2013-2014 (mémoire) : [[Fichier:Pdf.png|alt=Pdf|link=Media:memoire157-2013.pdf|24px]] [[Fichier:Tex.png|alt=Tex|link=Media:memoire157-2013.tex}}|24px]]

[[Fichier:Pdf.png|alt=Pdf|link=|24px]] [[Média:157_2013-2014.pdf | Plan scanné de l'année 2013-2014]]

[[Fichier:Pdf.png|alt=Pdf|link=|24px]] [[Média:157_2014-2015.pdf | Plan scanné de l'année 2014-2015]]

[[Fichier:Pdf.png|alt=Pdf|link=|24px]] [[Média:157_2015-2016.pdf | Plan scanné de l'année 2015-2016]]

[[Fichier:Pdf.png|alt=Pdf|link=|24px]] [[Média:157_2016-2017.pdf | Plan scanné de l'année 2016-2017]]

[[Fichier:Pdf.png|alt=Pdf|link=|24px]] [[Média:157_2017-2018.pdf | Plan scanné de l'année 2017-2018]]

== Développements ==
<DynamicPageList>
category = Développement de la leçon 157
</DynamicPageList>

= Autre plan =

Structure :

== Premières définitions, premières propriétés ==

1)Endomorphismes nilpotents [Gri]

Définition et représentation en matrice triangulaire à diagonale nulle. Caractérisation par les traces des puissances successives. Exemples

2)Polynômes caractéristique et minimal [Gou]

Définitions, exemple des endomorphismes nilpotents.
Définition et caractérisation de la trigonalisation.

== Éléments propres, sous-espaces stables et commutation ==

1)Valeurs propres, vecteurs propres [Gou]

Définitions des deux notions, exemples simples. Cas des matrices triangulaires et des matrices nilpotentes, Cayley-Hamilton.

2)Sous-espaces stables, propres, caractéristiques [Tau]

Définitions, exemples pour illustrer les différences.

3)Commutation et réductions [Tau], [Gou] et [O-A]

Lemme des noyaux. Co-trigonalisation d'une famille d'endomorphismes commutant deux à deux.
Décomposition de Dunford, application au calcul d'exponentielles de matrices.
Un endomorphisme est diagonalisable si et seulement si son exponentielle l'est. Et antécédents de l'identité par exponentielle.

== Réductions de type trigonalisation ==

1)Trigonalisation par blocs [Gri]

(a)Trigonalisation suivant les sous-espaces caractéristiques (blocs triangulaires) et application au calcul de puissances de matrices.
(b)Représentation canonique des transformations orthogonales ([Gri] p.303).

2)Réduction de Jordan [Gri] ou [Tau] ou [Gou]

Cas des endomorphismes nilpotents et cas général

3)Décomposition de Bruhat [XE1]

----

Bien sûr, il ne faut pas oublier les motivations : la recherche d'une matrice semblable ayant un maximum de zéros ou au moins une forme particulièrement adaptée à tel ou tel calcul (déterminant, puissance, exponentielle...). Ceci peut être précisé à l'oral, justement.

Les développements proposés sont la décomposition de Dunford ('''avec''' le fait que les endomorphismes n et d sont des polynômes en l'endomorphisme initial, par le lemme Chinois : cf. [O-A]), et celle de Bruhat, qui amène à parler éventuellement lors des questions des actions de groupes sur les drapeaux.

----
Références :
[Gri] Grifone, Algèbre linéaire
[Tau] Tauvel, Cours d'algèbre
[XE1] Oraux X-ENS, Algèbre 1
[Gou] Gourdon, Algèbre
[O-A] Objectif agrégation

== Rapport du jury ==

Il est possible de mener une leçon de bon niveau, même sans la décomposition de Jordan à l’aide des noyaux itérés.

[[Category:leçon d'algèbre]]
[[Category:Leçon de maths pour l'option D]]

156 -- Exponentielle de matrices. Applications.

2019-02-22T15:26:35Z

Louis G :

Pour le plan global, je propose la structure suivante :

== I) Définitions et premières propriétés ==

cf. Algèbre linéaire, de Grifone, par exemple.
Ne pas oublier de préciser que la norme utilisée est une norme d'algèbre.

== II) Méthodes de calcul de l'exponentielle ==

Occasion de parler des différentes réductions (cf. oraux X-ENS Algèbre 2, par exemple), et en particulier de Dunford '''accompagné''' du corollaire sur l'équivalence entre diagonalisabilité d'une matrice et de son exponentielle.

== III) Utilisation de l'exponentielle ==

Là encore, il y a pas mal de chose dans oraux X-ENS Algèbre 2 pour ce qui est des utilisations en théorie des groupes et certaines peuvent sans doute constituer des développements.

Pour les résolutions de systèmes différentiels à coefficients constants, on peut se référer au Grifone.

== Extrait de rapport du jury ==

C’est une leçon difficile et ce n’est pas une leçon d’analyse.

La décomposition de Dunford multiplicative (décomposition de Jordan) de exp(A) doit être connue.

Les groupes à 1-paramètre peuvent trouver leurs places dans cette leçon. On peut s’interroger si ces sous-groupes constituent des sous-variétés fermées de GL(n, R). L’étude du logarithme (quand il est défini) trouve toute sa place dans cette leçon.

Les applications aux équations différentielles doivent être évoquées sans constituer l’essentiel de la leçon. On pourra par exemple faire le lien entre réduction et comportement asymptotique.

Les notions d’algèbres de Lie ne sont pas au programme de l’Agrégation, on conseille de n’aborder ces sujets qu’à condition d’avoir une certaine solidité.

== Exemples ==

[[Fichier:Pdf.png|alt=Tex|link= |24px]] [[Média:Exponentielle.pdf| Exponentielle de matrices avec deux developpements]]

[[Fichier:Pdf.png|alt=Pdf|link=|24px]] [[Média:Plan127.pdf | Plan scanné de l'année 2012-2013]]

[[Fichier:Pdf.png|alt=Pdf|link=|24px]] [[Média:156_2013-2014.pdf | Plan scanné de l'année 2013-2014]]

[[Fichier:Pdf.png|alt=Pdf|link=|24px]] [[Média:156_2014-2015.pdf | Plan scanné de l'année 2014-2015]]

[[Fichier:Pdf.png|alt=Pdf|link=|24px]] [[Média:156_2016-2017.pdf | Plan scanné de l'année 2016-2017]]

[[Fichier:Pdf.png|alt=Pdf|link=|24px]] [[Média:156_2017-2018.pdf | Plan scanné de l'année 2017-2018]]

== Exercices posés lors de la présentation ==

[[Fichier:Pdf.png|alt=Pdf|link={{filepath:Q156-2013.pdf|24px]] [[Fichier:Tex.png|alt=Pdf|link=Média:Q156-2013.tex}}|24px]]

[[Category:Leçon de l'option D]]
[[Category:leçon d'algèbre]]

155 -- Endomorphismes diagonalisables en dimension finie.

2019-02-22T15:25:52Z

Louis G :

154 -- Sous-espaces stables par un endomorphisme ou une famille d'endomorphismes d'un espace vectoriel de dimension finie. Applications.

2019-02-22T15:25:37Z

Louis G :

153 -- Polynômes d'endomorphisme en dimension finie. Réduction d'un endomorphisme en dimension finie. Applications.

2019-02-22T15:25:22Z

Louis G :

152 -- Déterminant. Exemples et applications.

2019-02-22T15:25:07Z

Louis G :

151 -- Dimension d'un espace vectoriel (on se limitera au cas de la dimension finie). Rang. Exemples et applications.

2019-02-22T15:24:52Z

Louis G :

150 -- Exemples d'actions de groupes sur les espaces de matrices.

2019-02-22T15:24:37Z

Louis G :

== Plans ==

[[Fichier:Pdf.png|alt=Pdf|link=|24px]] [[Média:150_2012-2013.pdf | Plan scanné de l'année 2012-2013]]

[[Fichier:Pdf.png|alt=Pdf|link=|24px]] [[Média:150_2013-2014.pdf | Plan scanné de l'année 2013-2014]]

[[Fichier:Pdf.png|alt=Pdf|link=|24px]] [[Média:150_2014-2015.pdf | Plan scanné de l'année 2014-2015]]

[[Fichier:Pdf.png|alt=Pdf|link=|24px]] [[Média:150_2015-2016.pdf | Plan scanné de l'année 2015-2016]]

[[Fichier:Pdf.png|alt=Pdf|link=|24px]] [[Média:150_2016-2017.pdf | Plan scanné de l'année 2016-2017]]

[[Fichier:Pdf.png|alt=Pdf|link=|24px]] [[Média:150_2017-2018.pdf | Plan scanné de l'année 2017-2018]]

== Développements ==
* Algorithme des facteurs invariants [OA]
* Sous-groupes compacts de <math>GL_n</math> (à télécharger : [[Média:SousgroupescompactsGLn.tex]]) [Ale]
* Bruhat [X-ENS 2]
<DynamicPageList>
category = Développement de la leçon 150
</DynamicPageList>

= Exemple de Plan =

== Action par translation ==

Définition de l'action à gauche et à droite.

1. Pivot de Gauss [GRI]
*Matrices échelonnées obtenues par opérations élémentaires
*Même orbite si Ker A = Ker B

2. Bruhat [X-ENS1]
*Définition de l'action, décomposition de Bruhat, action sur les groupes de drapeaux

== Equivalence ==
[OA]

Définition

1. Sur un corps
*Théorème <math>J_r</math>
*Appli : équivalence sur une extension de corps, équivalence à la transposée, densité de <math>GL_n</math>

2. Sur un anneau euclidien
*Réduite de Smith via l'algo
*Théorème de structure des module de type fini

== Similitude ==
[OA]

Définition

1. Cas général
*Réduction de Frobenius
*invariants de similitude de M = facteurs invariants de <math>M-XIn</math>
*Appli : similitude sur extension de corps, similitude à la transposée et surtout Jordan

2. Propriétés topologiques des orbites [X-ENS 2]
*bornée, fermée, 0 dans l'adhérence

3. Restrictions
*Brauer
*Matrices normales (donc symétriques, hermitiennes, orthogonales, unitaires) [Gou]
*Appli : connexité par arcs de <math>O_n, U_n, SU_n</math>

== Congruence ==
[Gri]

*Définition
*Réduction des formes quadratiques sur R, C et un corps fini.
*Sous-groupes compacts de <math>GL_n</math> [Ale]

= Bibliographie =
*[OA] : Objectif Agreg
*[Gri] : J. Grifone, Algèbre Linéaire
*[Ale] : M. Alessandri, Thèmes de géométrie
*[Gou] : X. Gourdon, Algèbre

[[Category:leçon d'algèbre]]
[[Category:Leçon de maths pour l'option D]]

144 -- Racines d'un polynôme. Fonctions symétriques élémentaires. Exemples et applications.

2019-02-22T15:24:25Z

Louis G :

125 -- Extensions de corps. Exemples et applications.

2019-02-22T15:24:01Z

Louis G :

[[Fichier:Pdf.png|alt=Pdf|link=|24px]] [[Média:125_2012-2013.pdf | Plan scanné de l'année 2012-2013]]

[[Fichier:Pdf.png|alt=Pdf|link=|24px]] [[Média:125_2013-2014.pdf | Plan scanné de l'année 2013-2014]]

[[Fichier:Pdf.png|alt=Pdf|link=|24px]] [[Média:125_2014-2015.pdf | Plan scanné de l'année 2014-2015]]

[[Fichier:Pdf.png|alt=Pdf|link=|24px]] [[Média:125_2015-2016.pdf | Plan scanné de l'année 2015-2016]]

[[Fichier:Pdf.png|alt=Pdf|link=|24px]] [[Média:125_2016-2017.pdf | Plan scanné de l'année 2016-2017]]

[[Fichier:Pdf.png|alt=Pdf|link=|24px]] [[Média:125_2017-2018.pdf | Plan scanné de l'année 2017-2018]]

== Exercices posés lors de la présentation ==

[[Fichier:Pdf.png|alt=Pdf|link={{filepath:Q125-2013.pdf}}|24px]] [[Fichier:Tex.png|alt=Pdf|link={{filepath:Q125-2013.tex}}|24px]]

[[Category:leçon d'algèbre]]

126 -- Exemples d'équations en arithmétique.

2019-02-22T15:23:40Z

Louis G :

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== Exercices posés lors de la présentation ==

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[[Category:leçon d'algèbre]]

126 -- Exemples d'équations en arithmétique.

2019-02-22T15:23:22Z

Louis G :

[[Fichier:Pdf.png|alt=Pdf|link=|24px]] [[Média:126_2013-2014.pdf | Plan scanné de l'année 2013-2014]]

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== Exercices posés lors de la présentation ==

[[Fichier:Pdf.png|alt=Pdf|link={{filepath:Q126-2013.pdf|24px]] [[Fichier:Tex.png|alt=Tex|link=Média:Q126-2013.tex}}|24px]]

[[Category:leçon d'algèbre]]

125 -- Extensions de corps. Exemples et applications.

2019-02-22T15:23:14Z

Louis G :

[[Fichier:Pdf.png|alt=Pdf|link=|24px]] [[Média:125_2012-2013.pdf | Plan scanné de l'année 2012-2013]]

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== Exercices posés lors de la présentation ==

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[[Category:leçon d'algèbre]]

122 -- Anneaux principaux. Applications.

2019-02-22T15:22:54Z

Louis G :

[[Fichier:Pdf.png|alt=Pdf|link=|24px]] [[Média:122_2012-2013.pdf | Plan scanné de l'année 2012-2013]]

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== Exercices posés lors de la présentation ==

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[[Category:leçon d'algèbre]]

121 -- Nombres premiers. Applications.

2019-02-22T15:22:14Z

Louis G :

[[Fichier:Pdf.png|alt=Pdf|link=|24px]] [[Média:121_2012-2013.pdf | Plan scanné de l'année 2012-2013]]

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== Développements ==
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== Exercices posés lors de la présentation ==

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[[Category:leçon d'algèbre]]
[[Category:Leçon de maths pour l'option D]]

120 -- Anneaux Z/nZ. Applications.

2019-02-22T15:22:00Z

Louis G :

110 -- Caractères d'un groupe abélien fini et transformée de Fourier discrète. Applications.

2019-02-22T15:21:43Z

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