AgregmathKL - Contributions de l’utilisateur [fr]

Fichier:264 2015-2016.pdf

2016-10-21T13:35:53Z

Manon Rufini :

264 -- Variables aléatoires discrètes. Exemples et applications.

2016-10-21T13:35:43Z

Manon Rufini :

[[Fichier:Pdf.png|alt=Pdf|link=|24px]] [[Média:264_2013-2014.pdf | Plan scanné de l'année 2013-2014]]

[[Fichier:Pdf.png|alt=Pdf|link=|24px]] [[Média:264_2014-2015.pdf | Plan scanné de l'année 2014-2015]]

[[Fichier:Pdf.png|alt=Pdf|link=|24px]] [[Média:264_2015-2016.pdf | Plan scanné de l'année 2015-2016]]

== Exercices posés lors de la présentation ==

[[Fichier:Pdf.png|alt=Pdf|link={{filepath:Q264-2013.pdf}}|24px]] [[Fichier:Tex.png|alt=Tex|link={{filepath:Q264-2013.tex}}|24px]]

[[Category: Leçon d'analyse]]
[[Category:Leçon de maths pour l'option D]]

Fichier:263 2015-2016.pdf

2016-10-21T13:35:08Z

Manon Rufini :

263 -- Variables aléatoires à densité. Exemples et applications.

2016-10-21T13:34:58Z

Manon Rufini :

Fichier:262 2015-2016.pdf

2016-10-21T13:34:24Z

Manon Rufini :

262 -- Convergences d'une suite de variables aléatoires. Théorèmes limites. Exemples et applications.

2016-10-21T13:34:13Z

Manon Rufini :

Fichier:261 2015-2016.pdf

2016-10-21T13:33:30Z

Manon Rufini :

261 -- Loi d'une variable aléatoire : caractérisations, exemples, applications.

2016-10-21T13:33:19Z

Manon Rufini :

[[Fichier:Pdf.png|alt=Pdf|link=|24px]] [[Média:261_2013-2014.pdf | Plan scanné de l'année 2013-2014]]

[[Fichier:Pdf.png|alt=Pdf|link=|24px]] [[Média:261_2014-2015.pdf | Plan scanné de l'année 2014-2015]]

[[Fichier:Pdf.png|alt=Pdf|link=|24px]] [[Média:261_2015-2016.pdf | Plan scanné de l'année 2015-2016]]

== Exercices posés lors de la présentation ==

[[Fichier:Pdf.png|alt=Pdf|link={{filepath:Q261-2013.pdf}}|24px]] [[Fichier:Tex.png|alt=Tex|link={{filepath:Q261-2013.tex}}|24px]]

[[Category:Leçon d'analyse]]

Fichier:260 2015-2016.pdf

2016-10-21T13:32:40Z

Manon Rufini :

260 -- Espérance, variance et moments d'une variable aléatoire.

2016-10-21T13:32:24Z

Manon Rufini :

Fichier:254 2015-2016.pdf

2016-10-21T13:31:40Z

Manon Rufini :

254 -- Espaces de Schwartz S(R^d) et distributions tempérées. Transformation de Fourier dans S(R^d) et S'(R^d).

2016-10-21T13:31:29Z

Manon Rufini :

Fichier:253 2015-2016.pdf

2016-10-21T13:30:45Z

Manon Rufini :

253 -- Utilisation de la notion de convexité en analyse.

2016-10-21T13:30:35Z

Manon Rufini :

[[Fichier:Pdf.png|alt=Pdf|link=|24px]] [[Média:253_2012-2013.pdf | Plan scanné de l'année 2012-2013]]

[[Fichier:Pdf.png|alt=Pdf|link=|24px]] [[Média:253_2013-2014.pdf | Plan scanné de l'année 2013-2014]]

[[Fichier:Pdf.png|alt=Pdf|link=|24px]] [[Média:253_2014-2015.pdf | Plan scanné de l'année 2014-2015]]

[[Fichier:Pdf.png|alt=Pdf|link=|24px]] [[Média:253_2015-2016.pdf | Plan scanné de l'année 2015-2016]]

== Exercices posés lors de la présentation ==

[[Fichier:Pdf.png|alt=Pdf|link={{filepath:Q253-2013.pdf}}|24px]] [[Fichier:Tex.png|alt=Pdf|link={{filepath:Q253-2013.tex}}|24px]]
[[Category:Leçon d'analyse]]

Fichier:249 2015-2016.pdf

2016-10-21T13:29:37Z

Manon Rufini :

249 -- Suites de variables de Bernoulli indépendantes.

2016-10-21T13:29:22Z

Manon Rufini :

====Éléments presque sûrement indispensables :====
*Absence de i avant les deux « l » dans Bernoulli.
*Loi de Bernoulli, évidemment, qui appelle les loi binomiale et géométrique. (Et pourquoi pas les lois de Rademacher et loi hypergéométrique.)
*L'indépendance, qui figure dans l'intitulé de la leçon, est à mon avis un concept subtil qui mérite d'être exposé, même si la sous-partie en question ne contient qu'essentiellement des définitions. Donner le Lemme de Borel-Cantelli me paraît quasi-obligatoire, dans la mesure où c'est un outil fondamental pour démontrer les lois des grands nombres (en plus ça permet d'évoquer la loi du 0-1 de Kolmogorov, qui est quand même très jolie.) Remarquer que l'indépendance globale est plus forte que l'indépendance "n à n".
*Les lois des grands nombres parce qu'elles confirment l'intuition naturelle qu'on a pour une infinité de lancers de piles ou faces. Pour des variables de Bernoulli indépendantes, la loi faible se retrouve rapidement en écrivant l'inégalité de Tchebytchev. C'est pour cela qu'on a choisi de l'énoncer avec les hypothèses
#Variables <math>L^2</math> deux à deux non-corrélées, <math>\lim_{n \to +\infty}\left(\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}E(X_i)\right)=m</math>,<math>\lim_{n \to +\infty}\left(\frac{1}{n^2}\sum_{i=1}^{n}V(X_i)\right)=0</math> plutôt que
#Variables <math>L^1</math> identiquement indépendantes
En effet la preuve de 1. repose sur l'inégalité de Tchebytchev, et la 2. en est un corollaire. (cf. Ouvrard.)

====Autres éléments qui peuvent avoir leur place dans le plan====
=====Construire une suite de variables de Bernoulli indépendantes=====
L'existence d'une suite de variable aléatoires indépendantes de lois données n'est pas triviale. C'est l'objet du théorème de prolongement de Kolmogorov. On trouve dans l'Ouvrard une construction à partir de la mesure de Lebesgue sur [0,1) qui passe par des Bernoulli. En bonus on obtient des mesures étrangères à Lebesgue et diffuses (c.-à-d. qui ne chargent aucun point.) Je trouve que c'est en plein dans la leçon, les preuves sont élémentaires et belles. (Personnellement je pense même que ça fait un bon développement.)
=====Le Théorème de la limite Centrale=====
Historiquement, le premier TCL a été prouvé pour des Bernoulli (Théorème de Moivre-Laplace) : voilà une belle manière d'introduire le TCL dans cette leçon. On peut en parler notamment pour donner un intervalle de confiance approximatif pour l'estimateur du paramètre de la loi de Bernoulli. Le théorème de Berry-Esséen donne une majoration de l'erreur commise en faisant cette approximation : chouette non ? (C'est peut-être l'occasion de parler de statistiques à moindre coût.)
=====Plus de statistiques=====
Le théorème de Glivenko-Cantelli donne la convergence uniforme p.s. des fonctions de répartition empiriques vers la fonction de répartition de la loi des variables identiquement indépendantes considérées. Les fonctions de répartition empiriques sont des sommes d'indicatrices, qui sont toujours des variables de Bernoulli. On peut penser aussi au théorème de Varadarajan, qui lui donne la convergence étroite des mesures empiriques, et qui prends parfois le nom de "principe fondamental de la statistique". La seule référence qu'on ait trouvé à ce propos est le premier chapitre du cours de statistiques de Benoît Cadre.
=====Chaînes de Markov=====
Mentionner la marche aléatoire sur <math>\mathbb{Z}</math> permet d'introduire les chaînes de Markov. On peut alors énoncer que cette marche aléatoire est récurrente si et seulement si la loi de Bernoulli est uniforme. En marchant aléatoirement (et uniformément) sur <math>\mathbb{Z}^d</math>, on peut énoncer le théorème de Polya, qui dit que la marche est récurrente si et seulement si <math>d \leq 2</math>.
La loi de l'arcsinus ( voir [http://images.math.cnrs.fr/La-loi-de-l-arcsinus.html cette sympathique vidéo] trouvée sur images des maths pour une introduction ) a sa place une fois qu'on a parlé de marche aléatoire sur <math>\mathbb{Z}</math> (voir Lesigné).

=====Martingales=====
La marche aléatoire sur <math>\mathbb{Z}</math> peut être vue comme un modèle pour la ruine du joueur. L'occasion d'introduire la notion de martingale, si on est à l'aise avec la notion d'espérance conditionnelle.

====Développements possibles====
*[[Média:Devdyadique.tex | Autour du développement dyadique :]] construction d'une suite indépendante de variables de loi quelconque et mesures singulières en bonus (Ouvrard p. 52).
*Théorème de Weierstrass via les polynômes de Bernstein. (Zuily-Queffelec) ([[Média: Bernstein_proba.tex | .tex]], [[Média: Bersntein_proba.pdf | .pdf]])
*Grandes déviations pour les bernoulli. (Lesigné)
*Théorème de Polya.
*[[Média:Ruinedujoueur.tex | Ruine du joueur.]] (Ouvrard)
*Processus de Galton-Watson.

====Références====
*Ouvrard
*Barbe-Ledoux
*Zuily-Queffelec
*Emmanuel Lesigné, "Pile ou Face : Une introduction aux théorèmes limites du Calcul des Probabilités" : ce petit livre est une mine d'or pour cette leçon, et pour cause : l'auteur se propose d'introduire les probabilités uniquement en considérant des Bernoulli (!) En réalité il va très loin, traite notamment les "grandes déviations" pour les Bernoulli, mais aussi la loi du log itéré, celle de l'arcsinus, et plein d'autres choses marrantes.
--[[Utilisateur:Nil|Nil]] 19 mai 2011 à 22:26 (CEST)

== Exemples ==

[[Fichier:Pdf.png|alt=Pdf|link=|24px]] [[Média:Plan249.pdf | Plan scanné de l'année 2012-2013]]

[[Fichier:Pdf.png|alt=Pdf|link=|24px]] [[Média:249_2013-2014.pdf | Plan scanné de l'année 2013-2014]]

[[Fichier:Pdf.png|alt=Pdf|link=|24px]] [[Média:249_2014-2015.pdf | Plan scanné de l'année 2014-2015]]

[[Fichier:Pdf.png|alt=Pdf|link=|24px]] [[Média:249_2015-2016.pdf | Plan scanné de l'année 2015-2016]]

[[Category:Leçon d'analyse]]

Fichier:246 2015-2016.pdf

2016-10-21T13:23:38Z

Manon Rufini :

246 -- Séries de Fourier. Exemples et applications.

2016-10-21T13:23:25Z

Manon Rufini :

"Les différents modes de convergence (L 2 , Fejer, Dirichlet
etc...) doivent être connus. Il faut avoir les idées claires sur la notion de fonctions de classe <math>\mathcal{C}^1</math> par
morceaux (elles ne sont pas forcément continues). Dans le cas d’une fonction continue et <math>\mathcal{C}^1</math> par
morceaux on peut conclure sur la convergence normale de la série Fourier sans utiliser le théorème
de Dirichlet. Cette leçon ne doit pas se réduire à un cours abstrait sur les coefficients de Fourier."

Extrait du rapport du jury 2010.

= Plan de Florian et Basile (2012) =
== Le Plan ==
[[Fichier:Pdf.png|alt=Pdf|link=|24px]] [[Media:lecon246.pdf | Plan leçon 246 et développements]]

== Développements possibles ==
* [[Théorème de Fejér]] ( très important pour cette leçon )
* [[Théorème de Banach-Steinhaus et application aux séries de Fourier]]
* [[Fichier:Pdf.png|alt=Pdf|link=|24px]] [[Media:Poisson.pdf | Formule sommatoire de Poisson]]

== Références ==
* Zuily-Queffelec
* Gourdon, analyse
* (Moisan, Vernotte, Tosel)
* (Madère)

== Autres plans ==

[[Fichier:Pdf.png|alt=Pdf|link=|24px]] [[Média:246_2013-2014.pdf | Plan scanné de l'année 2013-2014]]

[[Fichier:Pdf.png|alt=Pdf|link=|24px]] [[Média:246_2014-2015.pdf | Plan scanné de l'année 2014-2015]]

[[Fichier:Pdf.png|alt=Pdf|link=|24px]] [[Média:246_2015-2016.pdf | Plan scanné de l'année 2015-2016]]

[[Category: Leçon d'analyse]]
[[Category:Leçon de maths pour l'option D]]

Fichier:245 2015-2016.pdf

2016-10-21T13:22:44Z

Manon Rufini :

245 -- Fonctions d'une variable complexe. Exemples et applications.

2016-10-21T13:22:29Z

Manon Rufini :

Fichier:244 2015-2016.pdf

2016-10-21T13:21:19Z

Manon Rufini :

244 -- Fonctions développables en série entière, fonctions analytiques. Exemples.

2016-10-21T13:20:51Z

Manon Rufini :

Fichier:243 2015-2016.pdf

2016-10-21T13:20:16Z

Manon Rufini :

243 -- Séries entières, propriétés de la somme. Exemples et applications.

2016-10-21T13:20:06Z

Manon Rufini :

Fichier:241 2015-2016.pdf

2016-10-21T13:19:29Z

Manon Rufini :

241 -- Suites et séries de fonctions. Exemples et contre-exemples.

2016-10-21T13:19:20Z

Manon Rufini :

[[Fichier:Pdf.png|alt=Pdf|link=|24px]] [[Média:Leçon241.pdf | Plan détaillé de l'année 2012-2013]]

[[Fichier:Tex.png|alt=Tex|link=|24px]] [[Média:Leçon241.tex | Plan détaillé de l'année 2012-2013]]

[[Fichier:Pdf.png|alt=Pdf|link=|24px]] [[Média:241_2012-2013.pdf | Plan scanné de l'année 2012-2013]]

[[Fichier:Pdf.png|alt=Pdf|link=|24px]] [[Média:241_2013-2014.pdf | Plan scanné de l'année 2013-2014]]

[[Fichier:Pdf.png|alt=Pdf|link=|24px]] [[Média:241_2014-2015.pdf | Plan scanné de l'année 2014-2015]]

[[Fichier:Pdf.png|alt=Pdf|link=|24px]] [[Média:241_2015-2016.pdf | Plan scanné de l'année 2015-2016]]

== Exercices posés lors de la présentation ==

[[Fichier:Pdf.png|alt=Pdf|link={{filepath:Q241-2013.pdf|24px]] [[Fichier:Tex.png|alt=Pdf|link=Média:Q241-2013.tex}}|24px]]

[[Category: Leçon d'analyse]]

Fichier:240 2015-2016.pdf

2016-10-21T13:18:11Z

Manon Rufini :

240 -- Produit de convolution, transformation de Fourier. Applications.

2016-10-21T13:17:48Z

Manon Rufini :

Selon Laurent Guillopé (jury aux oraux blancs), il faut savoir calculer la transformée de Fourier :
* d'une fonction constante ;
* d'une fonction créneau (fontion caractéristique de <math> \mathbb{R}^+ </math>) : cela donne l'exemple d'une fonction analytique non <math> L^1</math> ;
* de la Gaussienne ;
* de <math>x\mapsto \frac{1}{1+x^2}</math> ;
* de <math>x\mapsto e^{-|x|}</math> (ces deux dernières étant reliées).

Voici le plan que j'envisage:

* I Convolution
* i)Définitions
Le cas général d'existence semble porter le nom de théorème de Young.
* ii)Régulariastion et approximation
On énonce un théorème qui dit que la convolée garde la régularité de la fonction la plus régulière. Approximations de l'unité. Théorèmes de densité.

* II Transformation de Fourier
* i)Dans <math>L^1(R)</math>, lien avec la convolution. Formule sommatoire de Poisson
* ii)Dans l'espace de Schwartz, inversion, prolongement à <math>L^2(R)</math>
* iii)Application à l'équation de la chaleur

* III Extension de la transformation de Fourier aux distributions tempérées
* i)Définition de l'espace <math>S'(R)</math>
* ii)Transformation de Fourier dans <math>S'(R)</math>, applications à la résolution d'une EDP

Rien de bien original, certes.

== Autres plans ==

[[Fichier:Pdf.png|alt=Pdf|link=|24px]] [[Média:240_2013-2014.pdf | Plan scanné de l'année 2013-2014]]

[[Fichier:Pdf.png|alt=Pdf|link=|24px]] [[Média:240_2014-2015.pdf | Plan scanné de l'année 2014-2015]]

[[Fichier:Pdf.png|alt=Pdf|link=|24px]] [[Média:240_2015-2016.pdf | Plan scanné de l'année 2015-2016]]

[[Category: Leçon d'analyse]]
[[Category:Leçon de maths pour l'option D]]

Fichier:239 2015-2016.pdf

2016-10-21T13:16:50Z

Manon Rufini :

239 -- Fonctions définies par une intégrale dépendant d'un paramètre. Exemples et applications.

2016-10-21T13:16:36Z

Manon Rufini :

Je vous propose ce que l'on avait fait quand nous (Alan Hertgen et Florent Demeslay) avions préparé notre leçon :

= Plan =

== Régularité ==
[ZQ]

Théorèmes de
* continuité ;
* dérivabilité avec contre-exemple construit par Adrien Richou pour montrer la petite subtilité avec le presque partout dans le théorème de dérivabilité ;
* holomorphie.

Etude asymptotique :
* Méthode de Laplace ;
* Phase stationnaire ;
* Lemme de Van der Corput. [CL]

== Théorie de Cauchy ==
[Rud]

Intégration sur un chemin, indice, formule de Cauchy et théorème des résidus.

== Convolution ==
[Bre]

Fonctions convolables, suites régularisantes, fonctions plateaux, converge uniforme et <math>L^p</math>.

== Transformée de Fourier ==
[ZQ]

Dans le cadre <math>\mathcal{S}(\mathbb{R})</math> exclusivement : définition, isomorphisme, formule d'inversion, formule sommatoire de Poisson, application aux EDP.

= Développements possibles =
[ZQ]

* Prolongement de <math>\Gamma</math> avec formule d'Euler (à télécharger : [[Média:ProlongementGamma.tex]])
* Méthode de Laplace (à télécharger : [[Média:MethodedeLaplace.tex]])
* Formule sommatoire de Poisson + <math>\theta</math> de Jacobi
* [[Théorème d'échantillonnage de Shannon]]

= Références =
* [ZQ] Zuily-Quéffelec : Analyse pour l'Agrégation
* [Bre] Brézis : Analyse fonctionnelle
* [Rud] Rudin : Analyse réelle et complexe
* [CL] Chambert-Loir : Analyse 2

= Plans des autres années =

[[Fichier:Pdf.png|alt=Pdf|link=|24px]] [[Média:239_2012-2013.pdf | Plan scanné de l'année 2012-2013]]

[[Fichier:Pdf.png|alt=Pdf|link=|24px]] [[Média:239_2013-2014.pdf | Plan scanné de l'année 2013-2014]]

[[Fichier:Pdf.png|alt=Pdf|link=|24px]] [[Média:239_2014-2015.pdf | Plan scanné de l'année 2014-2015]]

[[Fichier:Pdf.png|alt=Pdf|link=|24px]] [[Média:239_2015-2016.pdf | Plan scanné de l'année 2015-2016]]

[[Category: Leçon d'analyse]]
[[Category:Leçon de maths pour l'option D]]

Fichier:236 2015-2016.pdf

2016-10-21T13:15:52Z

Manon Rufini :

236 -- Illustrer par des exemples quelques méthodes de calcul d'intégrales de fonctions d'une ou plusieurs variables.

2016-10-21T13:15:42Z

Manon Rufini :

Fichier:235 2015-2016.pdf

2016-10-21T13:15:07Z

Manon Rufini :

235 -- Problèmes d'interversion de limites et d'intégrales.

2016-10-21T13:14:54Z

Manon Rufini :

Fichier:234 2015-2016.pdf

2016-10-21T13:14:15Z

Manon Rufini :

234 -- Fonctions et espaces de fonctions Lebesgue-intégrables.

2016-10-21T13:14:03Z

Manon Rufini :

222 -- Exemples d'équations aux dérivées partielles linéaires.

2016-10-21T13:13:34Z

Manon Rufini :

[[Fichier:Pdf.png|alt=Pdf|link=|24px]] [[Média:222_2014-2015.pdf | Plan scanné de l'année 2014-2015]]

[[Category: Leçon d'analyse]]

222 -- Exemples d'équations aux dérivées partielles linéaires.

2016-10-21T13:13:12Z

Manon Rufini :

Fichier:221 2015-2016.pdf

2016-10-21T13:12:21Z

Manon Rufini :

221 -- Équations différentielles linéaires. Systèmes d'équations différentielles linéaires. Exemples et applications.

2016-10-21T13:12:08Z

Manon Rufini :

Fichier:220 2015-2016.pdf

2016-10-21T13:11:14Z

Manon Rufini :

220 -- Équations différentielles ordinaires. Exemples de résolutions et d'études de solutions en dimension 1 et 2.

2016-10-21T13:11:01Z

Manon Rufini :

Fichier:219 2015-2016.pdf

2016-10-21T13:09:20Z

Manon Rufini :

219 -- Extremums : existence, caractérisation, recherche. Exemples et applications.

2016-10-21T13:09:11Z

Manon Rufini :

Fichier:218 2015-2016.pdf

2016-10-21T13:08:37Z

Manon Rufini :

218 -- Applications des formules de Taylor.

2016-10-21T13:08:27Z

Manon Rufini :

Fichier:217 2015-2016.pdf

2016-10-21T13:07:42Z

Manon Rufini :

217 -- Sous-variétés de Rn. Exemples.

2016-10-21T11:46:58Z

Manon Rufini :

Fichier:215 2015-2016.pdf

2016-10-21T11:46:22Z

Manon Rufini :

215 -- Applications différentiables définies sur un ouvert de Rn. Exemples et applications.

2016-10-21T11:46:00Z

Manon Rufini :