AgregmathKL - Contributions de l’utilisateur [fr]

Utilisateur:Nil

2011-11-17T20:48:17Z

Nil : Page blanchie

Page de suggestions

2011-11-17T20:47:25Z

Nil : /* Et un petit logo ? */

== Des pages pour les références bibliographiques ? ==
Pourquoi ne créerait on pas aussi une page par référence ? L'idéal serait une page qui ressemblerait aux pages pour les images sur wikipédia ( type http://fr.wikipedia.org/wiki/Fichier:Bentley_4%C2%BD_Litre_-_20090924.jpg ) : je pense surtout à une liste des leçons (ou autres pages) dans lesquelles la référence serait citée, à la manière de la liste des pages qui utilisent une image sur wikipédia. (Est-ce que ça s'automatise facilement ce genre de choses ?). Et pourquoi pas aussi des avis plus généraux sur les bouquins, des erreurs relevées, etc... voire des pages qui parleraient des références en général. (Nil <- Je signe parce que c'est pas forcément super pratique d'aller chercher le nom de l'auteur dans l'historique de ce que j'ai pu voir, mais peut être qu'il y a des astuces... j'avoue ne pas être très au point côté "wikiétiquette".)

Gwenael : en fait, ça me semble assez compliqué, parce que l'exemple que tu donnes, ça marche pour des fichiers media, pas pour des références. Cela dit, on pourrait faire de vraies pages pour discuter des références. Qu'en pensez-vous ?

Nil : Ça me semble être une bonne idée.

==Et un petit logo ?==
Je sais pas vous, je trouve ça un peu triste ce coin vide en haut à gauche. Ça ne me paraît pas trop difficile à combler, je me propose même de faire la réalisation sous inkscape si aucun de nos géniaux graphistes ne s'y colle. La question c'est surtout quoi mettre en logo ? Qu'en pensez-vous ? (Nil)

Gwenael : Fais-toi plaisir, effectivement, c'est un peu triste sans rien.

JB : Je trouverai très bon esprit de mettre un gros compte à rebours ...

Nil : Ah j'aime bien, pourquoi pas le lapin d'Alice au pays des Merveilles ?

Nil : Wahou, superbe logo les jeunes !

==Et un "coin café" ?==
Pourquoi pas aussi une petite page où on pourrait discuter de manière plus légère, pour poser des questions du type : "Au passage est-ce que certains d'entre vous sont actifs sur wikipédia ?", ou autre... (Nil)

==Un endroit où uploader nos développements ?==
Je sais qu'on trouve les développements assez facilement dans les bouquins mais ça pourrait être assez pratique de pouvoir les stocker en ligne : on y aurait accès sans avoir à aller à la BU.
Par exemple j'ai tapé les deux préparés pour ma leçon, plusieurs fois on a eu des développements tapés par des gens (Gwen, Laurent, etc.) et ça serait sympa de pouvoir les rendre disponibles pour les autres (au moins la source .tex). (Florent)

Gwenael : Je crois avoir activé cette fonctionnalité. On peut maintenant uploader des .tex et des .pdf (en plus des images).

==Des versions numériques des livres ?==
Si certains d'entre vous ont trouvé des versions numériques de certains livres utiles, ça pourrait être bien de partagé les liens ;) Car on ne peut pas toujours avoir les livres que l'on veut chez soi.
On pourrait ajouter ça dans la partie bibliogaphie déjà créée !

Gwen : En fait, je garde pas les liens. Mais j'ai trouvé tous les bouquins en cherchant '[titre du bouquin] djvu' sur mon moteur de recherche préféré... Évidemment ya pas tout mais bon, les plus connus sont presque tous dispo.

Nil : Documentation > Ressources électroniques > Sciences et Philosophies > Springerlink Permet de récupérer une bonne partie des ouvrages Springer en pdf (Notamment les Bourbaki.)

249 -- Suites de variables de Bernoulli indépendantes.

2011-05-19T20:35:19Z

Nil : /* Chaînes de Markov */

====Éléments presque sûrement indispensables :====
*Absence de i avant les deux « l » dans Bernoulli.
*Loi de Bernoulli, évidemment, qui appelle les loi binomiale et géométrique. (Et pourquoi pas les lois de Rademacher et loi hypergéométrique.)
*L'indépendance, qui figure dans l'intitulé de la leçon, est à mon avis un concept subtil qui mérite d'être exposé, même si la sous-partie en question ne contient qu'essentiellement des définitions. Donner le Lemme de Borel-Cantelli me paraît quasi-obligatoire, dans la mesure où c'est un outil fondamental pour démontrer les lois des grands nombres (en plus ça permet d'évoquer la loi du 0-1 de Kolmogorov, qui est quand même très jolie.) Remarquer que l'indépendance globale est plus forte que l'indépendance "n à n".
*Les lois des grands nombres parce qu'elles confirment l'intuition naturelle qu'on a pour une infinité de lancers de piles ou faces. Pour des variables de Bernoulli indépendantes, la loi faible se retrouve rapidement en écrivant l'inégalité de Tchebytchev. C'est pour cela qu'on a choisi de l'énoncer avec les hypothèses
#Variables <math>L^2</math> deux à deux non-corrélées, <math>\lim_{n \to +\infty}\left(\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}E(X_i)\right)=m</math>,<math>\lim_{n \to +\infty}\left(\frac{1}{n^2}\sum_{i=1}^{n}V(X_i)\right)=0</math> plutôt que
#Variables <math>L^1</math> identiquement indépendantes
En effet la preuve de 1. repose sur l'inégalité de Tchebytchev, et la 2. en est un corollaire. (cf. Ouvrard.)

====Autres éléments qui peuvent avoir leur place dans le plan====
=====Construire une suite de variables de Bernoulli indépendantes=====
L'existence d'une suite de variable aléatoires indépendantes de lois données n'est pas triviale. C'est l'objet du théorème de prolongement de Kolmogorov. On trouve dans l'Ouvrard une construction à partir de la mesure de Lebesgue sur [0,1) qui passe par des Bernoulli. En bonus on obtient des mesures étrangères à Lebesgue et diffuses (c.-à-d. qui ne chargent aucun point.) Je trouve que c'est en plein dans la leçon, les preuves sont élémentaires et belles. (Personnellement je pense même que ça fait un bon développement.)
=====Le Théorème de la limite Centrale=====
Historiquement, le premier TCL a été prouvé pour des Bernoulli (Théorème de Moivre-Laplace) : voilà une belle manière d'introduire le TCL dans cette leçon. On peut en parler notamment pour donner un intervalle de confiance approximatif pour l'estimateur du paramètre de la loi de Bernoulli. Le théorème de Berry-Esséen donne une majoration de l'erreur commise en faisant cette approximation : chouette non ? (C'est peut-être l'occasion de parler de statistiques à moindre coût.)
=====Plus de statistiques=====
Le théorème de Glivenko-Cantelli donne la convergence uniforme p.s. des fonctions de répartition empiriques vers la fonction de répartition de la loi des variables identiquement indépendantes considérées. Les fonctions de répartition empiriques sont des sommes d'indicatrices, qui sont toujours des variables de Bernoulli. On peut penser aussi au théorème de Varadarajan, qui lui donne la convergence étroite des mesures empiriques, et qui prends parfois le nom de "principe fondamental de la statistique". La seule référence qu'on ait trouvé à ce propos est le premier chapitre du cours de statistiques de Benoît Cadre.
=====Chaînes de Markov=====
Mentionner la marche aléatoire sur <math>\mathbb{Z}</math> permet d'introduire les chaînes de Markov. On peut alors énoncer que cette marche aléatoire est récurrente si et seulement si la loi de Bernoulli est uniforme. En marchant aléatoirement (et uniformément) sur <math>\mathbb{Z}^d</math>, on peut énoncer le théorème de Polya, qui dit que la marche est récurrente si et seulement si <math>d \leq 2</math>.
La loi de l'arcsinus ( voir [http://images.math.cnrs.fr/La-loi-de-l-arcsinus.html cette sympathique vidéo] trouvée sur images des maths pour une introduction ) a sa place une fois qu'on a parlé de marche aléatoire sur <math>\mathbb{Z}</math> (voir Lesigné).

=====Martingales=====
La marche aléatoire sur <math>\mathbb{Z}</math> peut être vue comme un modèle pour la ruine du joueur. L'occasion d'introduire la notion de martingale, si on est à l'aise avec la notion d'espérance conditionnelle.

====Développements possibles====
*[[Média:Devdyadique.tex | Autour du développement dyadique :]] construction d'une suite indépendante de variables de loi quelconque et mesures singulières en bonus (Ouvrard p. 52).
*Théorème de Weierstrass via les polynômes de Bernstein. (Zuily-Queffelec) ([[Média: Bernstein_proba.tex | .tex]], [[Média: Bersntein_proba.pdf | .pdf]])
*Grandes déviations pour les bernoulli. (Lesigné)
*Théorème de Polya.
*[[Média:Ruinedujoueur.tex | Ruine du joueur.]] (Ouvrard)
*Processus de Galton-Watson.

====Références====
*Ouvrard
*Barbe-Ledoux
*Zuily-Queffelec
*Emmanuel Lesigné, "Pile ou Face : Une introduction aux théorèmes limites du Calcul des Probabilités" : ce petit livre est une mine d'or pour cette leçon, et pour cause : l'auteur se propose d'introduire les probabilités uniquement en considérant des Bernoulli (!) En réalité il va très loin, traite notamment les "grandes déviations" pour les Bernoulli, mais aussi la loi du log itéré, celle de l'arcsinus, et plein d'autres choses marrantes.
--[[Utilisateur:Nil|Nil]] 19 mai 2011 à 22:26 (CEST)

249 -- Suites de variables de Bernoulli indépendantes.

2011-05-19T20:28:32Z

Nil : /* Développements possibles */

====Éléments presque sûrement indispensables :====
*Absence de i avant les deux « l » dans Bernoulli.
*Loi de Bernoulli, évidemment, qui appelle les loi binomiale et géométrique. (Et pourquoi pas les lois de Rademacher et loi hypergéométrique.)
*L'indépendance, qui figure dans l'intitulé de la leçon, est à mon avis un concept subtil qui mérite d'être exposé, même si la sous-partie en question ne contient qu'essentiellement des définitions. Donner le Lemme de Borel-Cantelli me paraît quasi-obligatoire, dans la mesure où c'est un outil fondamental pour démontrer les lois des grands nombres (en plus ça permet d'évoquer la loi du 0-1 de Kolmogorov, qui est quand même très jolie.) Remarquer que l'indépendance globale est plus forte que l'indépendance "n à n".
*Les lois des grands nombres parce qu'elles confirment l'intuition naturelle qu'on a pour une infinité de lancers de piles ou faces. Pour des variables de Bernoulli indépendantes, la loi faible se retrouve rapidement en écrivant l'inégalité de Tchebytchev. C'est pour cela qu'on a choisi de l'énoncer avec les hypothèses
#Variables <math>L^2</math> deux à deux non-corrélées, <math>\lim_{n \to +\infty}\left(\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}E(X_i)\right)=m</math>,<math>\lim_{n \to +\infty}\left(\frac{1}{n^2}\sum_{i=1}^{n}V(X_i)\right)=0</math> plutôt que
#Variables <math>L^1</math> identiquement indépendantes
En effet la preuve de 1. repose sur l'inégalité de Tchebytchev, et la 2. en est un corollaire. (cf. Ouvrard.)

====Autres éléments qui peuvent avoir leur place dans le plan====
=====Construire une suite de variables de Bernoulli indépendantes=====
L'existence d'une suite de variable aléatoires indépendantes de lois données n'est pas triviale. C'est l'objet du théorème de prolongement de Kolmogorov. On trouve dans l'Ouvrard une construction à partir de la mesure de Lebesgue sur [0,1) qui passe par des Bernoulli. En bonus on obtient des mesures étrangères à Lebesgue et diffuses (c.-à-d. qui ne chargent aucun point.) Je trouve que c'est en plein dans la leçon, les preuves sont élémentaires et belles. (Personnellement je pense même que ça fait un bon développement.)
=====Le Théorème de la limite Centrale=====
Historiquement, le premier TCL a été prouvé pour des Bernoulli (Théorème de Moivre-Laplace) : voilà une belle manière d'introduire le TCL dans cette leçon. On peut en parler notamment pour donner un intervalle de confiance approximatif pour l'estimateur du paramètre de la loi de Bernoulli. Le théorème de Berry-Esséen donne une majoration de l'erreur commise en faisant cette approximation : chouette non ? (C'est peut-être l'occasion de parler de statistiques à moindre coût.)
=====Plus de statistiques=====
Le théorème de Glivenko-Cantelli donne la convergence uniforme p.s. des fonctions de répartition empiriques vers la fonction de répartition de la loi des variables identiquement indépendantes considérées. Les fonctions de répartition empiriques sont des sommes d'indicatrices, qui sont toujours des variables de Bernoulli. On peut penser aussi au théorème de Varadarajan, qui lui donne la convergence étroite des mesures empiriques, et qui prends parfois le nom de "principe fondamental de la statistique". La seule référence qu'on ait trouvé à ce propos est le premier chapitre du cours de statistiques de Benoît Cadre.
=====Chaînes de Markov=====
Mentionner la marche aléatoire sur <math>\mathbb{Z}</math> permet d'introduire les chaînes de Markov. On peut alors énoncer que cette marche aléatoire est récurrente si et seulement si la loi de Bernoulli est uniforme. En marchant aléatoirement (et uniformément) sur <math>\mathbb{Z}^d</math>, on peut énoncer le théorème de Polya, qui dit que la marche est récurrente si et seulement si <math>d \leq 2</math>.
=====Martingales=====
La marche aléatoire sur <math>\mathbb{Z}</math> peut être vue comme un modèle pour la ruine du joueur. L'occasion d'introduire la notion de martingale, si on est à l'aise avec la notion d'espérance conditionnelle.

====Développements possibles====
*[[Média:Devdyadique.tex | Autour du développement dyadique :]] construction d'une suite indépendante de variables de loi quelconque et mesures singulières en bonus (Ouvrard p. 52).
*Théorème de Weierstrass via les polynômes de Bernstein. (Zuily-Queffelec) ([[Média: Bernstein_proba.tex | .tex]], [[Média: Bersntein_proba.pdf | .pdf]])
*Grandes déviations pour les bernoulli. (Lesigné)
*Théorème de Polya.
*[[Média:Ruinedujoueur.tex | Ruine du joueur.]] (Ouvrard)
*Processus de Galton-Watson.

====Références====
*Ouvrard
*Barbe-Ledoux
*Zuily-Queffelec
*Emmanuel Lesigné, "Pile ou Face : Une introduction aux théorèmes limites du Calcul des Probabilités" : ce petit livre est une mine d'or pour cette leçon, et pour cause : l'auteur se propose d'introduire les probabilités uniquement en considérant des Bernoulli (!) En réalité il va très loin, traite notamment les "grandes déviations" pour les Bernoulli, mais aussi la loi du log itéré, celle de l'arcsinus, et plein d'autres choses marrantes.
--[[Utilisateur:Nil|Nil]] 19 mai 2011 à 22:26 (CEST)

249 -- Suites de variables de Bernoulli indépendantes.

2011-05-19T20:26:44Z

Nil : /* Références */ Bouquin trivialisant la leçon.

====Éléments presque sûrement indispensables :====
*Absence de i avant les deux « l » dans Bernoulli.
*Loi de Bernoulli, évidemment, qui appelle les loi binomiale et géométrique. (Et pourquoi pas les lois de Rademacher et loi hypergéométrique.)
*L'indépendance, qui figure dans l'intitulé de la leçon, est à mon avis un concept subtil qui mérite d'être exposé, même si la sous-partie en question ne contient qu'essentiellement des définitions. Donner le Lemme de Borel-Cantelli me paraît quasi-obligatoire, dans la mesure où c'est un outil fondamental pour démontrer les lois des grands nombres (en plus ça permet d'évoquer la loi du 0-1 de Kolmogorov, qui est quand même très jolie.) Remarquer que l'indépendance globale est plus forte que l'indépendance "n à n".
*Les lois des grands nombres parce qu'elles confirment l'intuition naturelle qu'on a pour une infinité de lancers de piles ou faces. Pour des variables de Bernoulli indépendantes, la loi faible se retrouve rapidement en écrivant l'inégalité de Tchebytchev. C'est pour cela qu'on a choisi de l'énoncer avec les hypothèses
#Variables <math>L^2</math> deux à deux non-corrélées, <math>\lim_{n \to +\infty}\left(\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}E(X_i)\right)=m</math>,<math>\lim_{n \to +\infty}\left(\frac{1}{n^2}\sum_{i=1}^{n}V(X_i)\right)=0</math> plutôt que
#Variables <math>L^1</math> identiquement indépendantes
En effet la preuve de 1. repose sur l'inégalité de Tchebytchev, et la 2. en est un corollaire. (cf. Ouvrard.)

====Autres éléments qui peuvent avoir leur place dans le plan====
=====Construire une suite de variables de Bernoulli indépendantes=====
L'existence d'une suite de variable aléatoires indépendantes de lois données n'est pas triviale. C'est l'objet du théorème de prolongement de Kolmogorov. On trouve dans l'Ouvrard une construction à partir de la mesure de Lebesgue sur [0,1) qui passe par des Bernoulli. En bonus on obtient des mesures étrangères à Lebesgue et diffuses (c.-à-d. qui ne chargent aucun point.) Je trouve que c'est en plein dans la leçon, les preuves sont élémentaires et belles. (Personnellement je pense même que ça fait un bon développement.)
=====Le Théorème de la limite Centrale=====
Historiquement, le premier TCL a été prouvé pour des Bernoulli (Théorème de Moivre-Laplace) : voilà une belle manière d'introduire le TCL dans cette leçon. On peut en parler notamment pour donner un intervalle de confiance approximatif pour l'estimateur du paramètre de la loi de Bernoulli. Le théorème de Berry-Esséen donne une majoration de l'erreur commise en faisant cette approximation : chouette non ? (C'est peut-être l'occasion de parler de statistiques à moindre coût.)
=====Plus de statistiques=====
Le théorème de Glivenko-Cantelli donne la convergence uniforme p.s. des fonctions de répartition empiriques vers la fonction de répartition de la loi des variables identiquement indépendantes considérées. Les fonctions de répartition empiriques sont des sommes d'indicatrices, qui sont toujours des variables de Bernoulli. On peut penser aussi au théorème de Varadarajan, qui lui donne la convergence étroite des mesures empiriques, et qui prends parfois le nom de "principe fondamental de la statistique". La seule référence qu'on ait trouvé à ce propos est le premier chapitre du cours de statistiques de Benoît Cadre.
=====Chaînes de Markov=====
Mentionner la marche aléatoire sur <math>\mathbb{Z}</math> permet d'introduire les chaînes de Markov. On peut alors énoncer que cette marche aléatoire est récurrente si et seulement si la loi de Bernoulli est uniforme. En marchant aléatoirement (et uniformément) sur <math>\mathbb{Z}^d</math>, on peut énoncer le théorème de Polya, qui dit que la marche est récurrente si et seulement si <math>d \leq 2</math>.
=====Martingales=====
La marche aléatoire sur <math>\mathbb{Z}</math> peut être vue comme un modèle pour la ruine du joueur. L'occasion d'introduire la notion de martingale, si on est à l'aise avec la notion d'espérance conditionnelle.

====Développements possibles====
*[[Média:Devdyadique.tex | Autour du développement dyadique :]] construction d'une suite indépendante de variables de loi quelconque et mesures singulières en bonus (Ouvrard p. 52).
*Théorème de Weierstrass via les polynômes de Bernstein. (Zuily-Queffelec) ([[Média: Bernstein_proba.tex | .tex]], [[Média: Bersntein_proba.pdf | .pdf]])
*Grandes déviations pour les bernoulli. (Je suis en train de voir avec Laurent Pater pour une référence.)
*Théorème de Polya.
*[[Média:Ruinedujoueur.tex | Ruine du joueur.]] (Ouvrard)
*Processus de Galton-Watson.

====Références====
*Ouvrard
*Barbe-Ledoux
*Zuily-Queffelec
*Emmanuel Lesigné, "Pile ou Face : Une introduction aux théorèmes limites du Calcul des Probabilités" : ce petit livre est une mine d'or pour cette leçon, et pour cause : l'auteur se propose d'introduire les probabilités uniquement en considérant des Bernoulli (!) En réalité il va très loin, traite notamment les "grandes déviations" pour les Bernoulli, mais aussi la loi du log itéré, celle de l'arcsinus, et plein d'autres choses marrantes.
--[[Utilisateur:Nil|Nil]] 19 mai 2011 à 22:26 (CEST)

249 -- Suites de variables de Bernoulli indépendantes.

2011-05-19T20:25:46Z

Nil : /* Références */ Bouquin trivialisant la leçon.

====Éléments presque sûrement indispensables :====
*Absence de i avant les deux « l » dans Bernoulli.
*Loi de Bernoulli, évidemment, qui appelle les loi binomiale et géométrique. (Et pourquoi pas les lois de Rademacher et loi hypergéométrique.)
*L'indépendance, qui figure dans l'intitulé de la leçon, est à mon avis un concept subtil qui mérite d'être exposé, même si la sous-partie en question ne contient qu'essentiellement des définitions. Donner le Lemme de Borel-Cantelli me paraît quasi-obligatoire, dans la mesure où c'est un outil fondamental pour démontrer les lois des grands nombres (en plus ça permet d'évoquer la loi du 0-1 de Kolmogorov, qui est quand même très jolie.) Remarquer que l'indépendance globale est plus forte que l'indépendance "n à n".
*Les lois des grands nombres parce qu'elles confirment l'intuition naturelle qu'on a pour une infinité de lancers de piles ou faces. Pour des variables de Bernoulli indépendantes, la loi faible se retrouve rapidement en écrivant l'inégalité de Tchebytchev. C'est pour cela qu'on a choisi de l'énoncer avec les hypothèses
#Variables <math>L^2</math> deux à deux non-corrélées, <math>\lim_{n \to +\infty}\left(\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}E(X_i)\right)=m</math>,<math>\lim_{n \to +\infty}\left(\frac{1}{n^2}\sum_{i=1}^{n}V(X_i)\right)=0</math> plutôt que
#Variables <math>L^1</math> identiquement indépendantes
En effet la preuve de 1. repose sur l'inégalité de Tchebytchev, et la 2. en est un corollaire. (cf. Ouvrard.)

====Autres éléments qui peuvent avoir leur place dans le plan====
=====Construire une suite de variables de Bernoulli indépendantes=====
L'existence d'une suite de variable aléatoires indépendantes de lois données n'est pas triviale. C'est l'objet du théorème de prolongement de Kolmogorov. On trouve dans l'Ouvrard une construction à partir de la mesure de Lebesgue sur [0,1) qui passe par des Bernoulli. En bonus on obtient des mesures étrangères à Lebesgue et diffuses (c.-à-d. qui ne chargent aucun point.) Je trouve que c'est en plein dans la leçon, les preuves sont élémentaires et belles. (Personnellement je pense même que ça fait un bon développement.)
=====Le Théorème de la limite Centrale=====
Historiquement, le premier TCL a été prouvé pour des Bernoulli (Théorème de Moivre-Laplace) : voilà une belle manière d'introduire le TCL dans cette leçon. On peut en parler notamment pour donner un intervalle de confiance approximatif pour l'estimateur du paramètre de la loi de Bernoulli. Le théorème de Berry-Esséen donne une majoration de l'erreur commise en faisant cette approximation : chouette non ? (C'est peut-être l'occasion de parler de statistiques à moindre coût.)
=====Plus de statistiques=====
Le théorème de Glivenko-Cantelli donne la convergence uniforme p.s. des fonctions de répartition empiriques vers la fonction de répartition de la loi des variables identiquement indépendantes considérées. Les fonctions de répartition empiriques sont des sommes d'indicatrices, qui sont toujours des variables de Bernoulli. On peut penser aussi au théorème de Varadarajan, qui lui donne la convergence étroite des mesures empiriques, et qui prends parfois le nom de "principe fondamental de la statistique". La seule référence qu'on ait trouvé à ce propos est le premier chapitre du cours de statistiques de Benoît Cadre.
=====Chaînes de Markov=====
Mentionner la marche aléatoire sur <math>\mathbb{Z}</math> permet d'introduire les chaînes de Markov. On peut alors énoncer que cette marche aléatoire est récurrente si et seulement si la loi de Bernoulli est uniforme. En marchant aléatoirement (et uniformément) sur <math>\mathbb{Z}^d</math>, on peut énoncer le théorème de Polya, qui dit que la marche est récurrente si et seulement si <math>d \leq 2</math>.
=====Martingales=====
La marche aléatoire sur <math>\mathbb{Z}</math> peut être vue comme un modèle pour la ruine du joueur. L'occasion d'introduire la notion de martingale, si on est à l'aise avec la notion d'espérance conditionnelle.

====Développements possibles====
*[[Média:Devdyadique.tex | Autour du développement dyadique :]] construction d'une suite indépendante de variables de loi quelconque et mesures singulières en bonus (Ouvrard p. 52).
*Théorème de Weierstrass via les polynômes de Bernstein. (Zuily-Queffelec) ([[Média: Bernstein_proba.tex | .tex]], [[Média: Bersntein_proba.pdf | .pdf]])
*Grandes déviations pour les bernoulli. (Je suis en train de voir avec Laurent Pater pour une référence.)
*Théorème de Polya.
*[[Média:Ruinedujoueur.tex | Ruine du joueur.]] (Ouvrard)
*Processus de Galton-Watson.

====Références====
*Ouvrard
*Barbe-Ledoux
*Zuily-Queffelec
*Emmanuel Lesigné, "Pile ou Face : Une introduction aux théorèmes limites du Calcul des Probabilités" : ce petit livre est une mine d'or pour cette leçon, et pour cause : l'auteur se propose d'introduire les probabilités uniquement en considérant des Bernoulli (!) En réalité il va très loin, traite notamment les "grandes déviations" pour les Bernoulli, mais aussi la loi du log itéré, celle de l'arcsinus, et plein d'autres choses marrantes.
--[[Utilisateur:Nil|Nil]] 19 mai 2011 à 22:25 (CEST)

107 -- Représentations et caractères d'un groupe fini sur un C-espace vectoriel. Exemples.

2011-01-13T16:12:30Z

Nil : Page créée avec « ===Divers=== Des illustrations pour les leçons de groupes »

===Divers===
[[Des illustrations pour les leçons de groupes]]

183 -- Utilisation des groupes en géométrie.

2011-01-13T16:12:16Z

Nil :

== Plan possible ==
Voici le plan que Laurent et moi (Gwenael) avons proposé [[Média:Plan_groupes_geometrie.tex‎]]. À noter, pour les références, l'excellent livre de Moulin, Ramis et Warusfel, et pour l'étude des polyèdres réguliers de <math>\mathbb R^3</math>, le poly d'Arnaudiès. C'est la seule référence qu'on ait trouvée qui ne suppose pas les polyèdres réguliers connus pour la classification.

== Développements envisageables ==
Classification des sous-groupes finis de SO(3). [[Média:Sous_groupes_finis_SO3.tex]]

Action de <math>PSL_2(\mathbb Z)</math> sur le demi-plan de Poincaré (peut-être un peu court).

Action du groupe circulaire sur la droite projective complexe. [[Média:groupecirc.tex]] (attention il y a des images insérées dans le tex qui produiront une erreur puisqu'elles ne seront pas sur votre poste... à virer du code donc, ou vous pouvez me les demander (Laurent) ;)).

Nota : pour le groupe circulaire, à trouver dans Audin : c'est là où c'est le mieux fait, mais malheureusement ça reste pas génial ! Notamment, il n'y a aucune démonstration concernant les figures obtenues une fois le point (ou la droite) envoyé à l'infini. Elle ne le mentionne pas, mais il faut donc impérativement adjoindre à l'apprentissage de ce développement, une lecture de la partie de géométrie plane sur les inversions (qui est pas mal faite dans le même livre), et, c'est mon avis mais il y a peut être mieux, voir l'homographie mise en jeu comme une composée d'inversion et de symétrie. Sans ça on peut pas vraiment justifier les figures, or elles sont fondamentales dans la démonstration...

== Références ==
Moulin, Ramis, Warufsel. ''Cours de mathématiques pures et appliquées - Volume 1 - Algèbre et géométrie''.

J.-M. Arnaudiès. ''Les cinq polyèdres réguliers de <math>\mathbb R^3</math> et leurs groupes''. Centre de Documentation Universitaire.

M. Audin. ''Géométrie''.

M. Alessandri. ''Thèmes de géométrie''.

P. Tauvel. ''Cours de géométrie''.

Y. Ladegaillerie. ''Géométrie - Affine, projective, euclidienne et anallagmatique''.

J.-P. Serre. ''Cours d'arithmétique''.

===Divers===
[[Des illustrations pour les leçons de groupes]]

101 -- Groupe opérant sur un ensemble. Exemples et applications.

2011-01-13T16:11:06Z

Nil : Page créée avec « ===Divers=== Des illustrations pour les leçons de groupes »

===Divers===
[[Des illustrations pour les leçons de groupes]]

103 -- Conjugaison dans un groupe. Exemples de sous-groupes distingués et de groupes quotients. Applications.

2011-01-13T16:11:01Z

Nil :

Le plan que Perrine et moi avons fait pour cette leçon :

== I) Conjugaison et Groupe quotient ==

Naturellement mené par la question : à quelle condition un sous-groupe peut-il être noyau d'un morphisme ?

1- conjugaison et sous-groupes distingués (exemple des permutations de même profil)

2 - classe à gauche (permet de montrer Lagrange et Frobénius - F-G-N oraux X-ENS algèbre 1 p. 48)

3 - groupe quotient (factorisation de morphismes...)

== II) Simplicité et résolubilité ==

Notions aux implications importantes via Galois pour la résolution par radicaux des polynômes et la résolution par quadrature des équations différentielles.

Théorèmes de Sylow, groupe dérivé, Lie-Kolchin (Chambert-Loir "a field guide to algebra" p. 98), suite de Jordan-Hölder (Delcourt "Théorie des groupes")

== III) Devissage de groupes ==

Autrement dit comment se ramener à des groupes plus petits pour étudier les propriétés du groupe de départ.

Théorème chinois et structure des abéliens de type fini. La caractérisation du produit direct(avoir deux sous-groupes distingués H, K avec HK=G et H<math>\cap</math>K={e}) amène la définition du produit semi-direct et sa caractérisation (idem mais K n'est pas distingué). Ceci permet de lister les groupes d'ordre 8 ou 12 (Delcourt p.99)

== Medley de rapports de jury ==

Des exemples et applications en géométrie élémentaire sont nécessaires.

La notion de produit semi-direct n’est plus au programme, mais lorsqu’elle est utilisée il faut savoir la
définir proprement

En général le stabilisateur d'un élément n'est pas un sous-groupe distingué contrairement à ce qu'a pu entendre le jury.

Les candidats parlent de groupes simples et de sous-groupe dérivé ou de groupe quotient sans savoir utiliser ces no-
tions. Il faudrait savoir par exemple que

- tout morphisme de source un groupe simple est soit injectif soit trivial.

- dans un groupe simple, toute réunion de classes de conjugaison non triviale engendre le groupe (par
exemple les éléments de la forme x 2 y x).

- tout morphisme d’un groupe G vers un groupe abélien se factorise via G ab := G/D(G).
.

Il faut bien connaître le cas du groupe <math>\mathfrak{S}_4</math>, notamment <math>V_4 \rightarrow \mathfrak{A}_4 \rightarrow \mathfrak{S}_4</math> et faire le lien avec le tétraèdre.

===Divers===
[[Des illustrations pour les leçons de groupes]]

105 -- Groupe des permutations d'un ensemble fini. Applications.

2011-01-13T16:10:42Z

Nil :

Une idée en l'air, qui est transmise par Vladimir Arnold sur http://www.irem.univ-paris-diderot.fr/videos/la_mathematique_experimentale/ (excellente conférence au demeurant) : la notion de groupe de permutations est la "vraie" définition (si on voit ledit ensemble comme géométrique), la définition axiomatique n'est finalement pas très maniable. Et le théorème de Cayley (un groupe s'identifie comme sous-ensemble du groupe de permutation d'un ensemble fini) est là pour nous dire qu'il n'y a justement rien de plus que ces permutations. Idée qu'il s'agit de faire ressortir dans la défense du plan, à mon sens. (Simon)

===Divers===
[[Des illustrations pour les leçons de groupes]]

Des illustrations pour les leçons de groupes

2011-01-13T16:09:42Z

Nil : Page créée avec « Quelques pistes pour égayer les plans de leçons sur les groupes par des illustrations, pertinentes si possible. Les [http://fr.wikipedia.org/wiki/Graphe_de_Cayley graph... »

Quelques pistes pour égayer les plans de leçons sur les groupes par des illustrations, pertinentes si possible.

Les [http://fr.wikipedia.org/wiki/Graphe_de_Cayley graphes de Cayley] sont à mon avis parfaits pour la leçon [[108 -- Exemples de parties génératrices d'un groupe. Applications]], pourquoi pas également pour des actions de groupes (et des représentations ?) (voir notamment l'illustration de
[http://fr.wikipedia.org/wiki/Repr%C3%A9sentations_du_groupe_sym%C3%A9trique_d%27indice_quatre cet article] de wikipédia, "Graphe de Cayley du groupe symétrique d'indice quatre en tant que groupe de rotations d'un dé standard." (Cliquer sur l'illustration pour l'agrandir.) Attention, les graphes de Cayley ne sont pas uniques mais dépendent du système de générateurs choisis.

Le [http://fr.wikipedia.org/wiki/Graphe_des_cycles graphe des cycles] d'un groupe aurait sa place dans la leçon [[ 104 -- Groupes finis. Exemples et applications. ]], notamment parce qu'il est caractéristique d'un groupe à isomorphisme près, pour les groupes d'ordres inférieur à 16. Intéressant à avoir en tête en tous cas. Voir aussi l'article [http://fr.wikipedia.org/wiki/Liste_des_petits_groupes liste des petits groupes] sur wikipédia pour avoir les graphe de tous les groupes jusqu'à l'ordre 16.

108 -- Exemples de parties génératrices d'un groupe. Applications.

2011-01-13T15:54:39Z

Nil : Page créée avec « ===Divers=== Des illustrations pour les leçons de groupes »

===Divers===
[[Des illustrations pour les leçons de groupes]]

249 -- Suites de variables de Bernoulli indépendantes.

2011-01-07T17:00:32Z

Nil : /* Développements possibles */

====Éléments presque sûrement indispensables :====
*Absence de i avant les deux « l » dans Bernoulli.
*Loi de Bernoulli, évidemment, qui appelle les loi binomiale et géométrique. (Et pourquoi pas les lois de Rademacher et loi hypergéométrique.)
*L'indépendance, qui figure dans l'intitulé de la leçon, est à mon avis un concept subtil qui mérite d'être exposé, même si la sous-partie en question ne contient qu'essentiellement des définitions. Donner le Lemme de Borel-Cantelli me paraît quasi-obligatoire, dans la mesure où c'est un outil fondamental pour démontrer les lois des grands nombres (en plus ça permet d'évoquer la loi du 0-1 de Kolmogorov, qui est quand même très jolie.) Remarquer que l'indépendance globale est plus forte que l'indépendance "n à n".
*Les lois des grands nombres parce qu'elles confirment l'intuition naturelle qu'on a pour une infinité de lancers de piles ou faces. Pour des variables de Bernoulli indépendantes, la loi faible se retrouve rapidement en écrivant l'inégalité de Tchebytchev. C'est pour cela qu'on a choisi de l'énoncer avec les hypothèses
#Variables <math>L^2</math> deux à deux non-corrélées, <math>\lim_{n \to +\infty}\left(\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}E(X_i)\right)=m</math>,<math>\lim_{n \to +\infty}\left(\frac{1}{n^2}\sum_{i=1}^{n}V(X_i)\right)=0</math> plutôt que
#Variables <math>L^1</math> identiquement indépendantes
En effet la preuve de 1. repose sur l'inégalité de Tchebytchev, et la 2. en est un corollaire. (cf. Ouvrard.)

====Autres éléments qui peuvent avoir leur place dans le plan====
=====Construire une suite de variables de Bernoulli indépendantes=====
L'existence d'une suite de variable aléatoires indépendantes de lois données n'est pas triviale. C'est l'objet du théorème de prolongement de Kolmogorov. On trouve dans l'Ouvrard une construction à partir de la mesure de Lebesgue sur [0,1) qui passe par des Bernoulli. En bonus on obtient des mesures étrangères à Lebesgue et diffuses (c.-à-d. qui ne chargent aucun point.) Je trouve que c'est en plein dans la leçon, les preuves sont élémentaires et belles. (Personnellement je pense même que ça fait un bon développement.)
=====Le Théorème de la limite Centrale=====
Historiquement, le premier TCL a été prouvé pour des Bernoulli (Théorème de Moivre-Laplace) : voilà une belle manière d'introduire le TCL dans cette leçon. On peut en parler notamment pour donner un intervalle de confiance approximatif pour l'estimateur du paramètre de la loi de Bernoulli. Le théorème de Berry-Esséen donne une majoration de l'erreur commise en faisant cette approximation : chouette non ? (C'est peut-être l'occasion de parler de statistiques à moindre coût.)
=====Plus de statistiques=====
Le théorème de Glivenko-Cantelli donne la convergence uniforme p.s. des fonctions de répartition empiriques vers la fonction de répartition de la loi des variables identiquement indépendantes considérées. Les fonctions de répartition empiriques sont des sommes d'indicatrices, qui sont toujours des variables de Bernoulli. On peut penser aussi au théorème de Varadarajan, qui lui donne la convergence étroite des mesures empiriques, et qui prends parfois le nom de "principe fondamental de la statistique". La seule référence qu'on ait trouvé à ce propos est le premier chapitre du cours de statistiques de Benoît Cadre.
=====Chaînes de Markov=====
Mentionner la marche aléatoire sur <math>\mathbb{Z}</math> permet d'introduire les chaînes de Markov. On peut alors énoncer que cette marche aléatoire est récurrente si et seulement si la loi de Bernoulli est uniforme. En marchant aléatoirement (et uniformément) sur <math>\mathbb{Z}^d</math>, on peut énoncer le théorème de Polya, qui dit que la marche est récurrente si et seulement si <math>d \leq 2</math>.
=====Martingales=====
La marche aléatoire sur <math>\mathbb{Z}</math> peut être vue comme un modèle pour la ruine du joueur. L'occasion d'introduire la notion de martingale, si on est à l'aise avec la notion d'espérance conditionnelle.

====Développements possibles====
*[[Média:Devdyadique.tex | Autour du développement dyadique :]] construction d'une suite indépendante de variables de loi quelconque et mesures singulières en bonus (Ouvrard p. 52).
*Théorème de Weierstrass via les polynômes de Bernstein. (Zuily-Queffelec) ([[Média: Bernstein_proba.tex | .tex]], [[Média: Bersntein_proba.pdf | .pdf]])
*Grandes déviations pour les bernoulli. (Je suis en train de voir avec Laurent Pater pour une référence.)
*Théorème de Polya.
*[[Média:Ruinedujoueur.tex | Ruine du joueur.]] (Ouvrard)
*Processus de Galton-Watson.

====Références====
*Ouvrard
*Barbe-Ledoux
*Zuily-Queffelec

--[[Utilisateur:Nil|Nil]] 9 décembre 2010 à 17:47 (CET)

Développements

2011-01-07T16:59:17Z

Nil : /* Développements d'analyse */

Certains d'entre nous tapent leurs développements. Vous pouvez, en plus des liens mis dans les pages leçons, les rassembler ici.

== Développements d'algèbre ==

'''Pensez à ajouter les sources de vos développements : bien utile parfois !'''

[[Média:Sous_groupes_finis_SO3.tex | Sous groupes finis de <math>\mathcal{SO}(3)</math>]]

[[Média:Groupecirc.tex | Groupe circulaire]]

[[Média:Commutant.tex | Commutant d'un endomorphisme.]] (Gwen : J'ai remplacé l'ancienne version par une moins succincte)

[[Média:Groupe_d_ordre_douze.tex | Groupes d'ordre 12]]

[[Média:Simplicité_An.tex | Simplicité de <math>\mathfrak{A}_n</math>]]

[[Média:Caratheodory.tex | Caratheodory (and co)]]

[[Média:Sylow.tex | Sylow]]

[[Média:AutomorphismesdeZnZ.tex | Automorphismes de <math>\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}</math>]]

[[Média:DenombrementpolyirreFq.tex | Polynômes irréductibles sur <math>\mathbb{F}_q</math>]]

[[Média:dunford.tex | Décomposition de Dunford et application à <math>A</math> diagonalisable <math>\Leftrightarrow \; \exp(A)</math> diagonalisable]]

[[Média:element_primitif.tex | Théorème de l'élément primitif]]

== Développements d'analyse ==
[[Média:MethodedeLaplace.tex | Méthode de Laplace]]

[[Média:ProlongementGamma.tex | Prolongement de la fonction <math>\Gamma</math>]]

[[Média:devdyadique.tex | Bernoulli et développement dyadique]]

[[Média:Ruinedujoueur.tex‎ | Ruine du joueur]]

[[Média:John-Loewner.tex | Ellipsoïde de John-Loewner]]

[[Média:weierstrass.tex | Le théorème de Weierstrass (via les polynômes de Bernstein)]]

-> Le même résultat en passant par les probabilités : ([[Média: Bernstein_proba.tex | .tex]], [[Média: Bersntein_proba.pdf | .pdf]])

[[Média:glaeser.tex | Le théorème de Glaeser]]

[[Média:LemmedeMorse.tex | Lemme de Morse]]

[[Média:Brouwer.tex | Théorème de Brouwer en dimension 2]]

== Développements mixtes ==

[[Media:Lie-Kolchin.tex|Lie-Kolchin]]

[[Media:exponentielle.tex|Surjectivité de l'exponentielle]]

[[Média:Simplicité SO(3).tex | Simplicité de SO(3)]]

Fichier:Bersntein proba.pdf

2011-01-07T16:56:29Z

Nil : (Théorème de Weierstrass via les polynômes de Bersntein, en utilisant des méthodes probabilistes. On donne également une vitesse de convergence dont on démontre l'optimalité dans le cas général.)

(Théorème de Weierstrass via les polynômes de Bersntein, en utilisant des méthodes probabilistes. On donne également une vitesse de convergence dont on démontre l'optimalité dans le cas général.)

Développements

2011-01-07T16:56:06Z

Nil : /* Développements d'analyse */

Certains d'entre nous tapent leurs développements. Vous pouvez, en plus des liens mis dans les pages leçons, les rassembler ici.

== Développements d'algèbre ==

'''Pensez à ajouter les sources de vos développements : bien utile parfois !'''

[[Média:Sous_groupes_finis_SO3.tex | Sous groupes finis de <math>\mathcal{SO}(3)</math>]]

[[Média:Groupecirc.tex | Groupe circulaire]]

[[Média:Commutant.tex | Commutant d'un endomorphisme.]] (Gwen : J'ai remplacé l'ancienne version par une moins succincte)

[[Média:Groupe_d_ordre_douze.tex | Groupes d'ordre 12]]

[[Média:Simplicité_An.tex | Simplicité de <math>\mathfrak{A}_n</math>]]

[[Média:Caratheodory.tex | Caratheodory (and co)]]

[[Média:Sylow.tex | Sylow]]

[[Média:AutomorphismesdeZnZ.tex | Automorphismes de <math>\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}</math>]]

[[Média:DenombrementpolyirreFq.tex | Polynômes irréductibles sur <math>\mathbb{F}_q</math>]]

[[Média:dunford.tex | Décomposition de Dunford et application à <math>A</math> diagonalisable <math>\Leftrightarrow \; \exp(A)</math> diagonalisable]]

[[Média:element_primitif.tex | Théorème de l'élément primitif]]

== Développements d'analyse ==
[[Média:MethodedeLaplace.tex | Méthode de Laplace]]

[[Média:ProlongementGamma.tex | Prolongement de la fonction <math>\Gamma</math>]]

[[Média:devdyadique.tex | Bernoulli et développement dyadique]]

[[Média:Ruinedujoueur.tex‎ | Ruine du joueur]]

[[Média:John-Loewner.tex | Ellipsoïde de John-Loewner]]

[[Média:weierstrass.tex | Le théorème de Weierstrass (via les polynômes de Bernstein)]]

-> En passant par les probabilités : ([[Média: Bernstein_proba.tex | .tex]])

[[Média:glaeser.tex | Le théorème de Glaeser]]

[[Média:LemmedeMorse.tex | Lemme de Morse]]

[[Média:Brouwer.tex | Théorème de Brouwer en dimension 2]]

== Développements mixtes ==

[[Media:Lie-Kolchin.tex|Lie-Kolchin]]

[[Media:exponentielle.tex|Surjectivité de l'exponentielle]]

[[Média:Simplicité SO(3).tex | Simplicité de SO(3)]]

Développements

2011-01-07T16:55:53Z

Nil : /* Développements d'analyse */

Certains d'entre nous tapent leurs développements. Vous pouvez, en plus des liens mis dans les pages leçons, les rassembler ici.

== Développements d'algèbre ==

'''Pensez à ajouter les sources de vos développements : bien utile parfois !'''

[[Média:Sous_groupes_finis_SO3.tex | Sous groupes finis de <math>\mathcal{SO}(3)</math>]]

[[Média:Groupecirc.tex | Groupe circulaire]]

[[Média:Commutant.tex | Commutant d'un endomorphisme.]] (Gwen : J'ai remplacé l'ancienne version par une moins succincte)

[[Média:Groupe_d_ordre_douze.tex | Groupes d'ordre 12]]

[[Média:Simplicité_An.tex | Simplicité de <math>\mathfrak{A}_n</math>]]

[[Média:Caratheodory.tex | Caratheodory (and co)]]

[[Média:Sylow.tex | Sylow]]

[[Média:AutomorphismesdeZnZ.tex | Automorphismes de <math>\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}</math>]]

[[Média:DenombrementpolyirreFq.tex | Polynômes irréductibles sur <math>\mathbb{F}_q</math>]]

[[Média:dunford.tex | Décomposition de Dunford et application à <math>A</math> diagonalisable <math>\Leftrightarrow \; \exp(A)</math> diagonalisable]]

[[Média:element_primitif.tex | Théorème de l'élément primitif]]

== Développements d'analyse ==
[[Média:MethodedeLaplace.tex | Méthode de Laplace]]

[[Média:ProlongementGamma.tex | Prolongement de la fonction <math>\Gamma</math>]]

[[Média:devdyadique.tex | Bernoulli et développement dyadique]]

[[Média:Ruinedujoueur.tex‎ | Ruine du joueur]]

[[Média:John-Loewner.tex | Ellipsoïde de John-Loewner]]

[[Média:weierstrass.tex | Le théorème de Weierstrass (via les polynômes de Bernstein)]]

-> En passant par les probabilités : ([[Média: Bernstein_proba.tex | .tex]])
[[Média:glaeser.tex | Le théorème de Glaeser]]

[[Média:LemmedeMorse.tex | Lemme de Morse]]

[[Média:Brouwer.tex | Théorème de Brouwer en dimension 2]]

== Développements mixtes ==

[[Media:Lie-Kolchin.tex|Lie-Kolchin]]

[[Media:exponentielle.tex|Surjectivité de l'exponentielle]]

[[Média:Simplicité SO(3).tex | Simplicité de SO(3)]]

Développements

2011-01-07T16:55:31Z

Nil : /* Développements d'analyse */

Certains d'entre nous tapent leurs développements. Vous pouvez, en plus des liens mis dans les pages leçons, les rassembler ici.

== Développements d'algèbre ==

'''Pensez à ajouter les sources de vos développements : bien utile parfois !'''

[[Média:Sous_groupes_finis_SO3.tex | Sous groupes finis de <math>\mathcal{SO}(3)</math>]]

[[Média:Groupecirc.tex | Groupe circulaire]]

[[Média:Commutant.tex | Commutant d'un endomorphisme.]] (Gwen : J'ai remplacé l'ancienne version par une moins succincte)

[[Média:Groupe_d_ordre_douze.tex | Groupes d'ordre 12]]

[[Média:Simplicité_An.tex | Simplicité de <math>\mathfrak{A}_n</math>]]

[[Média:Caratheodory.tex | Caratheodory (and co)]]

[[Média:Sylow.tex | Sylow]]

[[Média:AutomorphismesdeZnZ.tex | Automorphismes de <math>\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}</math>]]

[[Média:DenombrementpolyirreFq.tex | Polynômes irréductibles sur <math>\mathbb{F}_q</math>]]

[[Média:dunford.tex | Décomposition de Dunford et application à <math>A</math> diagonalisable <math>\Leftrightarrow \; \exp(A)</math> diagonalisable]]

[[Média:element_primitif.tex | Théorème de l'élément primitif]]

== Développements d'analyse ==
[[Média:MethodedeLaplace.tex | Méthode de Laplace]]

[[Média:ProlongementGamma.tex | Prolongement de la fonction <math>\Gamma</math>]]

[[Média:devdyadique.tex | Bernoulli et développement dyadique]]

[[Média:Ruinedujoueur.tex‎ | Ruine du joueur]]

[[Média:John-Loewner.tex | Ellipsoïde de John-Loewner]]

[[Média:weierstrass.tex | Le théorème de Weierstrass (via les polynômes de Bernstein)]]

-> En passant par les probabilités : ([[Média: Bersntein_proba.tex | .tex]])
[[Média:glaeser.tex | Le théorème de Glaeser]]

[[Média:LemmedeMorse.tex | Lemme de Morse]]

[[Média:Brouwer.tex | Théorème de Brouwer en dimension 2]]

== Développements mixtes ==

[[Media:Lie-Kolchin.tex|Lie-Kolchin]]

[[Media:exponentielle.tex|Surjectivité de l'exponentielle]]

[[Média:Simplicité SO(3).tex | Simplicité de SO(3)]]

Développements

2011-01-07T16:53:27Z

Nil : /* Développements d'analyse */ Polynômes de Bernstein, version proba.

Certains d'entre nous tapent leurs développements. Vous pouvez, en plus des liens mis dans les pages leçons, les rassembler ici.

== Développements d'algèbre ==

'''Pensez à ajouter les sources de vos développements : bien utile parfois !'''

[[Média:Sous_groupes_finis_SO3.tex | Sous groupes finis de <math>\mathcal{SO}(3)</math>]]

[[Média:Groupecirc.tex | Groupe circulaire]]

[[Média:Commutant.tex | Commutant d'un endomorphisme.]] (Gwen : J'ai remplacé l'ancienne version par une moins succincte)

[[Média:Groupe_d_ordre_douze.tex | Groupes d'ordre 12]]

[[Média:Simplicité_An.tex | Simplicité de <math>\mathfrak{A}_n</math>]]

[[Média:Caratheodory.tex | Caratheodory (and co)]]

[[Média:Sylow.tex | Sylow]]

[[Média:AutomorphismesdeZnZ.tex | Automorphismes de <math>\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}</math>]]

[[Média:DenombrementpolyirreFq.tex | Polynômes irréductibles sur <math>\mathbb{F}_q</math>]]

[[Média:dunford.tex | Décomposition de Dunford et application à <math>A</math> diagonalisable <math>\Leftrightarrow \; \exp(A)</math> diagonalisable]]

[[Média:element_primitif.tex | Théorème de l'élément primitif]]

== Développements d'analyse ==
[[Média:MethodedeLaplace.tex | Méthode de Laplace]]

[[Média:ProlongementGamma.tex | Prolongement de la fonction <math>\Gamma</math>]]

[[Média:devdyadique.tex | Bernoulli et développement dyadique]]

[[Média:Ruinedujoueur.tex‎ | Ruine du joueur]]

[[Média:John-Loewner.tex | Ellipsoïde de John-Loewner]]

[[Média:weierstrass.tex | Le théorème de Weierstrass (via les polynômes de Bernstein)]]

-> En passant par les probabilités : ([[Média:Bersntein_proba.tex | .tex]])
[[Média:glaeser.tex | Le théorème de Glaeser]]

[[Média:LemmedeMorse.tex | Lemme de Morse]]

[[Média:Brouwer.tex | Théorème de Brouwer en dimension 2]]

== Développements mixtes ==

[[Media:Lie-Kolchin.tex|Lie-Kolchin]]

[[Media:exponentielle.tex|Surjectivité de l'exponentielle]]

[[Média:Simplicité SO(3).tex | Simplicité de SO(3)]]

Fichier:Bernstein proba.tex

2011-01-07T16:51:02Z

Nil : Théorème de Weierstrass via les polynômes de Bersntein, en utilisant des méthodes probabilistes. On donne également une vitesse de convergence dont on démontre l'optimalité dans le cas général.

Théorème de Weierstrass via les polynômes de Bersntein, en utilisant des méthodes probabilistes. On donne également une vitesse de convergence dont on démontre l'optimalité dans le cas général.

239 -- Fonctions définies par une intégrale dépendant d'un paramètre. Exemples et applications.

2011-01-04T15:16:37Z

Nil : a déplacé 239 -- Fonctions définies par une intégrale dépendant d'un paramètre. vers 239 -- Fonctions définies par une intégrale dépendant d'un paramètre. Exemples et Applications. : intitulé du nouveau programme

Je vous propose ce que l'on avait fait quand nous (Alan Hertgen et Florent Demeslay) avions préparé notre leçon :

= Plan =

== Régularité ==
[ZQ]

Théorèmes de
* continuité ;
* dérivabilité avec contre-exemple construit par Adrien Richou pour montrer la petite subtilité avec le presque partout dans le théorème de dérivabilité ;
* holomorphie.

Etude asymptotique :
* Méthode de Laplace ;
* Phase stationnaire ;
* Lemme de Van der Corput. [CL]

== Théorie de Cauchy ==
[Rud]

Intégration sur un chemin, indice, formule de Cauchy et théorème des résidus.

== Convolution ==
[Bre]

Fonctions convolables, suites régularisantes, fonctions plateaux, converge uniforme et <math>L^p</math>.

== Transformée de Fourier ==
[ZQ]

Dans le cadre <math>\mathcal{S}(\mathbb{R})</math> exclusivement : définition, isomorphisme, formule d'inversion, formule sommatoire de Poisson, application aux EDP.

= Développements possibles =
[ZQ]

* Prolongement de <math>\Gamma</math> avec formule d'Euler (à télécharger : [[Média:ProlongementGamma.tex]])
* Méthode de Laplace (à télécharger : [[Média:MethodedeLaplace.tex]])
* Formule sommatoire de Poisson + <math>\theta</math> de Jacobi

= Références =
* [ZQ] Zuily-Quéffelec : Analyse pour l'Agrégation
* [Bre] Brézis : Analyse fonctionnelle
* [Rud] Rudin : Analyse réelle et complexe
* [CL] Chambert-Loir : Analyse 2

239 -- Fonctions définies par une intégrale dépendant d'un paramètre.

2011-01-04T15:16:37Z

#REDIRECTION [[239 -- Fonctions définies par une intégrale dépendant d'un paramètre. Exemples et Applications.]]

Leçons d'analyse old

2011-01-04T15:14:45Z

Nil : Intitulés du nouveau programme

Cette page donne les leçons d'Analyse et Probabilités du nouveau programme. La fonction "comparer deux versions" de l'onglet historique permet d'avoir un bon coup d'oeil de ce qui a été modifié par rapport à l'année précédente.

[[201 -- Espaces de fonctions : exemples et applications.]]

[[202 -- Exemples de parties denses et applications.]]

[[203 -- Utilisation de la notion de compacité.]]

[[204 -- Connexité. Exemples et applications.]]

[[205 -- Espaces complets. Exemples et applications.]]

[[206 -- Théorèmes de point fixe. Exemples et applications.]]

[[207 -- Prolongement de fonctions. Exemples et applications.]]

[[208 -- Espaces vectoriels normés, applications linéaires continues. Exemples ]]

[[213 -- Espaces de Hilbert. Bases hilbertiennes. Exemples et applications.]]

[[214 -- Théorème d'inversion locale, théorème des fonctions implicites. Exemples et applications.]]

[[215 -- Applications différentiables définies sur un ouvert de Rn. Exemples et applications.]]

[[216 -- Études métriques de courbes. Exemples.]]

[[217 -- Sous-variétés de Rn. Exemples.]]

[[218 -- Applications des formules de Taylor.]]

[[219 -- Problèmes d'extremums.]]

[[220 -- Équations différentielles X' = f(t,X) ; exemples d'études qualitatives des solutions.]]

[[221 -- Équations différentielles linéaires, systèmes d'équations différentielles linéaires. Exemples et applications.]]

[[223 -- Convergence des suites numériques. Exemples et applications.]]

[[224 -- Comportement asymptotique des suites numériques. Rapidité de convergence. Exemples.]]

[[226 -- Comportement d'une suite réelle ou vectorielle définie par une itération u_n+1 = f(u_n). Exemples.]]

[[228 -- Continuité et dérivabilité des fonctions réelles d'une variable réelle. Exemples et contre-exemples.]]

[[229 -- Fonctions monotones. Fonctions convexes. Exemples et applications.]]

[[230 -- Séries de nombres réels ou complexes. Comportement des restes ou des sommes partielles des séries numériques. Exemples.]]

[[232 -- Méthodes d'approximation des solutions d'une équation F(x)=0. Exemples.]]

[[234 -- Espaces L^p, 1 ≤ p ≤ +∞.]]

[[235 -- Suites et séries de fonctions intégrables. Exemples et applications.]]

[[236 -- Illustrer par des exemples quelques méthodes de calculs d'intégrales de fonctions d'une ou plusieurs variables réelles.]]

[[238 -- Méthodes de calcul approché d'intégrales et d'une solution d'une équation différentielle.]]

[[239 -- Fonctions définies par une intégrale dépendant d'un paramètre. Exemples et Applications.]]

[[240 -- Transformation de Fourier, produit de convolution. Applications.]]

[[241 -- Suites et séries de fonctions. Exemples et contre-exemples.]]

[[242 -- Utilisation en probabilités de la transformation de Fourier ou de Laplace et du produit de convolution.]]

[[243 -- Convergence des séries entières, propriétés de la somme. Exemples et applications.]]

[[245 -- Fonctions holomorphes et méromorphes sur un ouvert de C.]]

[[246 -- Séries de Fourier. Exemples et applications.]]

[[247 -- Exemples de problèmes d'interversion de limites.]]

[[249 -- Suites de variables de Bernoulli indépendantes.]]

[[250 -- Loi des grands nombres. Théorème de la limite centrale. Applications.]]

[[251 -- Indépendance d'événements et de variables aléatoires. Exemples.]]

[[252 -- Loi binomiale, loi de Poisson. Applications.]]

[[253 -- Utilisation de la notion de convexité en analyse.]]

[[254 -- Espaces de Schwartz et distributions tempérées.]]

[[255 -- Dérivation au sens des distributions. Exemples et Applications.]]

[[256 -- Transformation de Fourier dans S(R^d) et S'(R^d).]]

Leçons d'analyse old

2010-12-28T20:24:06Z

Nil :

==== /!\ Ces leçons sont celles de l'année dernière. (Pour l'instant...) ====

[[201 -- Espaces de fonctions. Exemples et applications.]]

[[202 -- Exemples de parties denses et applications.]]

[[203 -- Utilisation de la notion de compacité.]]

[[204 -- Connexité. Exemples et applications.]]

[[205 -- Espaces complets. Exemples et applications.]]

[[206 -- Théorèmes de point fixe.]]

[[207 -- Prolongement de fonctions. Exemples et applications.]]

[[208 -- Espaces vectoriels normés, applications linéaires continues. Exemples ]]

[[213 -- Espaces de Hilbert. Bases hilbertiennes. Exemples et applications.]]

[[214 -- Théorème d'inversion locale, théorème des fonctions implicites. Exemples et applications.]]

[[215 -- Applications différentiables définies sur un ouvert de Rn. Exemples et applications.]]

[[216 -- Études métriques de courbes. Exemples.]]

[[217 -- Sous-variétés de Rn]]

[[218 -- Applications des formules de Taylor.]]

[[219 -- Problèmes d'extremums.]]

[[220 -- Équations différentielles X' = f(t,X) ; exemples d'études qualitatives des solutions.]]

[[221 -- Équations différentielles linéaires, systèmes d'équations différentielles linéaires. Exemples et applications.]]

[[223 -- Convergence des suites numériques. Exemples et applications.]]

[[224 -- Comportement asymptotique des suites numériques. Rapidité de convergence. Exemples.]]

[[225 -- Étude locale de surfaces. Exemples.]]

[[226 -- Comportement d'une suite réelle ou vectorielle définie par une itération u_n+1 = f(u_n). Exemples.]]

[[228 -- Continuité et dérivabilité des fonctions réelles d'une variable réelle. Exemples et contre-exemples.]]

[[229 -- Fonctions monotones. Fonctions convexes. Exemples et applications.]]

[[230 -- Séries de nombres réels ou complexes. Comportement des restes ou des sommes partielles des séries numériques. Exemples.]]

[[232 -- Méthodes d'approximation des solutions d'une équation F(x)=0. Exemples.]]

[[234 -- Espaces L^p, 1 ≤ p ≤ +∞.]]

[[235 -- Suites et séries de fonctions intégrables. Exemples et applications.]]

[[236 -- Illustrer par des exemples quelques méthodes de calculs d'intégrales de fonctions d'une ou plusieurs variables réelles.]]

[[238 -- Méthodes de calcul approché d'intégrales.]]

[[239 -- Fonctions définies par une intégrale dépendant d'un paramètre.]]

[[240 -- Transformation de Fourier, produit de convolution. Applications.]]

[[241 -- Suites et séries de fonctions. Exemples et contre-exemples.]]

[[242 -- Utilisation en probabilités de la transformation de Fourier ou de Laplace et du produit de convolution.]]

[[243 -- Convergence des séries entières, propriétés de la somme. Exemples et applications.]]

[[245 -- Fonctions holomorphes et méromorphes sur un ouvert de C.]]

[[246 -- Séries de Fourier. Exemples et applications.]]

[[247 -- Exemples de problèmes d'interversion de limites.]]

[[249 -- Suites de variables de Bernoulli indépendantes.]]

[[250 -- Loi des grands nombres. Théorème limite central. Applications.]]

[[251 -- Indépendance d'événements et de variables aléatoires. Exemples.]]

[[252 -- Loi binomiale, loi de Poisson. Applications.]]

Leçons d'analyse old

2010-12-28T20:22:42Z

Nil :

/!\ Ces leçons sont celles de l'année dernière. (Pour l'instant...)

[[201 -- Espaces de fonctions. Exemples et applications.]]

[[202 -- Exemples de parties denses et applications.]]

[[203 -- Utilisation de la notion de compacité.]]

[[204 -- Connexité. Exemples et applications.]]

[[205 -- Espaces complets. Exemples et applications.]]

[[206 -- Théorèmes de point fixe.]]

[[207 -- Prolongement de fonctions. Exemples et applications.]]

[[208 -- Espaces vectoriels normés, applications linéaires continues. Exemples ]]

[[213 -- Espaces de Hilbert. Bases hilbertiennes. Exemples et applications.]]

[[214 -- Théorème d'inversion locale, théorème des fonctions implicites. Exemples et applications.]]

[[215 -- Applications différentiables définies sur un ouvert de Rn. Exemples et applications.]]

[[216 -- Études métriques de courbes. Exemples.]]

[[217 -- Sous-variétés de Rn]]

[[218 -- Applications des formules de Taylor.]]

[[219 -- Problèmes d'extremums.]]

[[220 -- Équations différentielles X' = f(t,X) ; exemples d'études qualitatives des solutions.]]

[[221 -- Équations différentielles linéaires, systèmes d'équations différentielles linéaires. Exemples et applications.]]

[[223 -- Convergence des suites numériques. Exemples et applications.]]

[[224 -- Comportement asymptotique des suites numériques. Rapidité de convergence. Exemples.]]

[[225 -- Étude locale de surfaces. Exemples.]]

[[226 -- Comportement d'une suite réelle ou vectorielle définie par une itération u_n+1 = f(u_n). Exemples.]]

[[228 -- Continuité et dérivabilité des fonctions réelles d'une variable réelle. Exemples et contre-exemples.]]

[[229 -- Fonctions monotones. Fonctions convexes. Exemples et applications.]]

[[230 -- Séries de nombres réels ou complexes. Comportement des restes ou des sommes partielles des séries numériques. Exemples.]]

[[232 -- Méthodes d'approximation des solutions d'une équation F(x)=0. Exemples.]]

[[234 -- Espaces L^p, 1 ≤ p ≤ +∞.]]

[[235 -- Suites et séries de fonctions intégrables. Exemples et applications.]]

[[236 -- Illustrer par des exemples quelques méthodes de calculs d'intégrales de fonctions d'une ou plusieurs variables réelles.]]

[[238 -- Méthodes de calcul approché d'intégrales.]]

[[239 -- Fonctions définies par une intégrale dépendant d'un paramètre.]]

[[240 -- Transformation de Fourier, produit de convolution. Applications.]]

[[241 -- Suites et séries de fonctions. Exemples et contre-exemples.]]

[[242 -- Utilisation en probabilités de la transformation de Fourier ou de Laplace et du produit de convolution.]]

[[243 -- Convergence des séries entières, propriétés de la somme. Exemples et applications.]]

[[245 -- Fonctions holomorphes et méromorphes sur un ouvert de C.]]

[[246 -- Séries de Fourier. Exemples et applications.]]

[[247 -- Exemples de problèmes d'interversion de limites.]]

[[249 -- Suites de variables de Bernoulli indépendantes.]]

[[250 -- Loi des grands nombres. Théorème limite central. Applications.]]

[[251 -- Indépendance d'événements et de variables aléatoires. Exemples.]]

[[252 -- Loi binomiale, loi de Poisson. Applications.]]

Leçons d'algèbre old

2010-12-28T20:21:40Z

Nil :

Cette page donne les leçons d'Algèbre et Géométrie du nouveau programme. La fonction "comparer deux versions" de l'onglet historique permet d'avoir un bon coup d'oeil de ce qui a été modifié par rapport à l'année précédente.

[[101 -- Groupe opérant sur un ensemble. Exemples et applications.]]

[[103 -- Exemples et applications des notions de sous-groupe distingué et de groupe quotient.]]

[[104 -- Groupes finis. Exemples et applications.]]

[[105 -- Groupe des permutations d'un ensemble fini. Applications.]]

[[106 -- Groupe linéaire d'un espace vectoriel de dimension finie E, sous-groupes de GL(E). Applications.]]

[[107 -- Représentations et caractères d'un groupe fini sur un C-espace vectoriel. ]]

[[108 -- Exemples de parties génératrices d'un groupe. Applications]]

[[109 -- Anneaux Z/nZ. Applications.]]

[[110 -- Nombres premiers. Applications.]]

[[111 -- Anneaux principaux. Applications.]]

[[112 -- Corps finis. Applications.]]

[[113 -- Groupes des nombres complexes de module 1. Sous-groupes des racines de l'unité. Applications]]

[[114 -- Anneau des séries formelles. Applications.]]

[[116 -- Polynômes irréductibles à une indéterminée. Corps de rupture. Exemples et applications.]]

[[117 -- Algèbre des polynômes à n indéterminées (n ≥ 2). Polynômes symétriques. Applications.]]

[[118 -- Exemples d'utilisation de la notion de dimension d'un espace vectoriel.]]

[[119 -- Exemples d'actions de groupes sur des espaces de matrices.]]

[[120 -- Dimension d'un espace vectoriel (on se limitera au cas de la dimension finie). Rang. Exemples et applications.]]

[[123 -- Déterminant. Exemples et applications.]]

[[124 -- Polynômes d'endomorphisme en dimension finie. Réduction d'un endomorphisme en dimension finie. Applications.]]

[[125 -- Sous-espaces stables d'un endomorphisme d'un espace vectoriel de dimension finie. Applications.]]

[[126 -- Endomorphismes diagonalisables en dimension finie.]]

[[127 -- Exponentielle de matrices. Applications.]]

[[128 -- Endomorphismes trigonalisables. Endomorphismes nilpotents. ]]

[[130 -- Matrices symétriques réelles, matrices hermitiennes.]]

[[131 -- Formes quadratiques sur un espace vectoriel de dimension finie. Orthogonalité, isotropie. Applications.]]

[[132 -- Formes linéaires et hyperplans en dimension finie. Exemples et applications.]]

[[133 -- Endomorphismes remarquables d'un espace vectoriel euclidien de dimension finie.]]

[[135 -- Isométries d'un espace affine euclidien de dimension finie. Forme réduite. Applications en dimensions 2 ou 3.]]

[[136 -- Coniques. Applications.]]

[[137 -- Barycentres dans un espace affine réel de dimension finie. Convexité. Applications.]]

[[139 -- Applications des nombres complexes à la géométrie.]]

[[140 -- Systèmes d'équations linéaires. Systèmes échelonnés. Résolution. Exemples et applications.]]

[[141 -- Utilisation des groupes en géométrie.]]

[[144 -- Problèmes d'angles et de distances en dimension 2 ou 3.]]

[[145 -- Méthodes combinatoires, problèmes de dénombrement.]]

[[146 -- Résultant, applications.]]

[[148 -- Formes quadratiques réelles. Exemples et applications.]]

[[149 -- Représentations de groupes finis de petit cardinal.]]

Leçons d'algèbre old

2010-12-28T20:19:23Z

Nil : Mise à jour nouveau programme !

[[101 -- Groupe opérant sur un ensemble. Exemples et applications.]]

[[103 -- Exemples et applications des notions de sous-groupe distingué et de groupe quotient.]]

[[104 -- Groupes finis. Exemples et applications.]]

[[105 -- Groupe des permutations d'un ensemble fini. Applications.]]

[[106 -- Groupe linéaire d'un espace vectoriel de dimension finie E, sous-groupes de GL(E). Applications.]]

[[107 -- Représentations et caractères d'un groupe fini sur un C-espace vectoriel. ]]

[[108 -- Exemples de parties génératrices d'un groupe. Applications]]

[[109 -- Anneaux Z/nZ. Applications.]]

[[110 -- Nombres premiers. Applications.]]

[[111 -- Anneaux principaux. Applications.]]

[[112 -- Corps finis. Applications.]]

[[113 -- Groupes des nombres complexes de module 1. Sous-groupes des racines de l'unité. Applications]]

[[114 -- Anneau des séries formelles. Applications.]]

[[116 -- Polynômes irréductibles à une indéterminée. Corps de rupture. Exemples et applications.]]

[[117 -- Algèbre des polynômes à n indéterminées (n ≥ 2). Polynômes symétriques. Applications.]]

[[118 -- Exemples d'utilisation de la notion de dimension d'un espace vectoriel.]]

[[119 -- Exemples d'actions de groupes sur des espaces de matrices.]]

[[120 -- Dimension d'un espace vectoriel (on se limitera au cas de la dimension finie). Rang. Exemples et applications.]]

[[123 -- Déterminant. Exemples et applications.]]

[[124 -- Polynômes d'endomorphisme en dimension finie. Réduction d'un endomorphisme en dimension finie. Applications.]]

[[125 -- Sous-espaces stables d'un endomorphisme d'un espace vectoriel de dimension finie. Applications.]]

[[126 -- Endomorphismes diagonalisables en dimension finie.]]

[[127 -- Exponentielle de matrices. Applications.]]

[[128 -- Endomorphismes trigonalisables. Endomorphismes nilpotents. ]]

[[130 -- Matrices symétriques réelles, matrices hermitiennes.]]

[[131 -- Formes quadratiques sur un espace vectoriel de dimension finie. Orthogonalité, isotropie. Applications.]]

[[132 -- Formes linéaires et hyperplans en dimension finie. Exemples et applications.]]

[[133 -- Endomorphismes remarquables d'un espace vectoriel euclidien de dimension finie.]]

[[135 -- Isométries d'un espace affine euclidien de dimension finie. Forme réduite. Applications en dimensions 2 ou 3.]]

[[136 -- Coniques. Applications.]]

[[137 -- Barycentres dans un espace affine réel de dimension finie. Convexité. Applications.]]

[[139 -- Applications des nombres complexes à la géométrie.]]

[[140 -- Systèmes d'équations linéaires. Systèmes échelonnés. Résolution. Exemples et applications.]]

[[141 -- Utilisation des groupes en géométrie.]]

[[144 -- Problèmes d'angles et de distances en dimension 2 ou 3.]]

[[145 -- Méthodes combinatoires, problèmes de dénombrement.]]

[[146 -- Résultant, applications.]]

[[148 -- Formes quadratiques réelles. Exemples et applications.]]

[[149 -- Représentations de groupes finis de petit cardinal.]]

Page de suggestions

2010-12-26T01:08:54Z

Nil : /* Des versions numériques des livres ? */

== Des pages pour les références bibliographiques ? ==
Pourquoi ne créerait on pas aussi une page par référence ? L'idéal serait une page qui ressemblerait aux pages pour les images sur wikipédia ( type http://fr.wikipedia.org/wiki/Fichier:Bentley_4%C2%BD_Litre_-_20090924.jpg ) : je pense surtout à une liste des leçons (ou autres pages) dans lesquelles la référence serait citée, à la manière de la liste des pages qui utilisent une image sur wikipédia. (Est-ce que ça s'automatise facilement ce genre de choses ?). Et pourquoi pas aussi des avis plus généraux sur les bouquins, des erreurs relevées, etc... voire des pages qui parleraient des références en général. (Nil <- Je signe parce que c'est pas forcément super pratique d'aller chercher le nom de l'auteur dans l'historique de ce que j'ai pu voir, mais peut être qu'il y a des astuces... j'avoue ne pas être très au point côté "wikiétiquette".)

Gwenael : en fait, ça me semble assez compliqué, parce que l'exemple que tu donnes, ça marche pour des fichiers media, pas pour des références. Cela dit, on pourrait faire de vraies pages pour discuter des références. Qu'en pensez-vous ?

Nil : Ça me semble être une bonne idée.

==Et un petit logo ?==
Je sais pas vous, je trouve ça un peu triste ce coin vide en haut à gauche. Ça ne me paraît pas trop difficile à combler, je me propose même de faire la réalisation sous inkscape si aucun de nos géniaux graphistes ne s'y colle. La question c'est surtout quoi mettre en logo ? Qu'en pensez-vous ? (Nil)

Gwenael : Fais-toi plaisir, effectivement, c'est un peu triste sans rien.

JB : Je trouverai très bon esprit de mettre un gros compte à rebours ...

Nil : Ah j'aime bien, pourquoi pas le lapin d'Alice au pays des Merveilles ?

==Et un "coin café" ?==
Pourquoi pas aussi une petite page où on pourrait discuter de manière plus légère, pour poser des questions du type : "Au passage est-ce que certains d'entre vous sont actifs sur wikipédia ?", ou autre... (Nil)

==Un endroit où uploader nos développements ?==
Je sais qu'on trouve les développements assez facilement dans les bouquins mais ça pourrait être assez pratique de pouvoir les stocker en ligne : on y aurait accès sans avoir à aller à la BU.
Par exemple j'ai tapé les deux préparés pour ma leçon, plusieurs fois on a eu des développements tapés par des gens (Gwen, Laurent, etc.) et ça serait sympa de pouvoir les rendre disponibles pour les autres (au moins la source .tex). (Florent)

Gwenael : Je crois avoir activé cette fonctionnalité. On peut maintenant uploader des .tex et des .pdf (en plus des images).

==Des versions numériques des livres ?==
Si certains d'entre vous ont trouvé des versions numériques de certains livres utiles, ça pourrait être bien de partagé les liens ;) Car on ne peut pas toujours avoir les livres que l'on veut chez soi.
On pourrait ajouter ça dans la partie bibliogaphie déjà créée !

Gwen : En fait, je garde pas les liens. Mais j'ai trouvé tous les bouquins en cherchant '[titre du bouquin] djvu' sur mon moteur de recherche préféré... Évidemment ya pas tout mais bon, les plus connus sont presque tous dispo.

Nil : Documentation > Ressources électroniques > Sciences et Philosophies > Springerlink Permet de récupérer une bonne partie des ouvrages Springer en pdf (Notamment les Bourbaki.)

Utilisateur:Nil

2010-12-16T23:42:19Z

Nil :

Ceci est une invitation officielle à passer boire le thé à la maison si vous en avez envie.

Nil

PS : Si vous m'appelez avant, j'aurais peut être le temps de faire quelques pancakes ; ) (06 45 67 82 96).

Utilisateur:Nil

2010-12-16T23:41:04Z

Nil : Invitation à boire le thé

Bibliographie

2010-12-13T22:55:01Z

Nil : Page créée avec « =====Rémi Goblot, Algèbre Linéaire===== Une référence d'algèbre linéaire bien adaptée à l'agrégation à mon avis : *Des "fondements" avec suffisamment de générali... »

=====Rémi Goblot, Algèbre Linéaire=====
Une référence d'algèbre linéaire bien adaptée à l'agrégation à mon avis :
*Des "fondements" avec suffisamment de généralités (Pas mal de modules notamment, pour "éclairer" les notions vues sur les espaces vectoriels).
*Une table des matières qui entre bien en résonance avec les intitulés de leçons.
*Applications à la géométrie à chaque fin de chapitre.
--[[Utilisateur:Nil|Nil]] 13 décembre 2010 à 23:55 (CET)

249 -- Suites de variables de Bernoulli indépendantes.

2010-12-12T22:44:40Z

Nil : Annulation des modifications 111 de Nil (discussion)

====Éléments presque sûrement indispensables :====
*Absence de i avant les deux « l » dans Bernoulli.
*Loi de Bernoulli, évidemment, qui appelle les loi binomiale et géométrique. (Et pourquoi pas les lois de Rademacher et loi hypergéométrique.)
*L'indépendance, qui figure dans l'intitulé de la leçon, est à mon avis un concept subtil qui mérite d'être exposé, même si la sous-partie en question ne contient qu'essentiellement des définitions. Donner le Lemme de Borel-Cantelli me paraît quasi-obligatoire, dans la mesure où c'est un outil fondamental pour démontrer les lois des grands nombres (en plus ça permet d'évoquer la loi du 0-1 de Kolmogorov, qui est quand même très jolie.) Remarquer que l'indépendance globale est plus forte que l'indépendance "n à n".
*Les lois des grands nombres parce qu'elles confirment l'intuition naturelle qu'on a pour une infinité de lancers de piles ou faces. Pour des variables de Bernoulli indépendantes, la loi faible se retrouve rapidement en écrivant l'inégalité de Tchebytchev. C'est pour cela qu'on a choisi de l'énoncer avec les hypothèses
#Variables <math>L^2</math> deux à deux non-corrélées, <math>\lim_{n \to +\infty}\left(\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}E(X_i)\right)=m</math>,<math>\lim_{n \to +\infty}\left(\frac{1}{n^2}\sum_{i=1}^{n}V(X_i)\right)=0</math> plutôt que
#Variables <math>L^1</math> identiquement indépendantes
En effet la preuve de 1. repose sur l'inégalité de Tchebytchev, et la 2. en est un corollaire. (cf. Ouvrard.)

====Autres éléments qui peuvent avoir leur place dans le plan====
=====Construire une suite de variables de Bernoulli indépendantes=====
L'existence d'une suite de variable aléatoires indépendantes de lois données n'est pas triviale. C'est l'objet du théorème de prolongement de Kolmogorov. On trouve dans l'Ouvrard une construction à partir de la mesure de Lebesgue sur [0,1) qui passe par des Bernoulli. En bonus on obtient des mesures étrangères à Lebesgue et diffuses (c.-à-d. qui ne chargent aucun point.) Je trouve que c'est en plein dans la leçon, les preuves sont élémentaires et belles. (Personnellement je pense même que ça fait un bon développement.)
=====Le Théorème de la limite Centrale=====
Historiquement, le premier TCL a été prouvé pour des Bernoulli (Théorème de Moivre-Laplace) : voilà une belle manière d'introduire le TCL dans cette leçon. On peut en parler notamment pour donner un intervalle de confiance approximatif pour l'estimateur du paramètre de la loi de Bernoulli. Le théorème de Berry-Esséen donne une majoration de l'erreur commise en faisant cette approximation : chouette non ? (C'est peut-être l'occasion de parler de statistiques à moindre coût.)
=====Plus de statistiques=====
Le théorème de Glivenko-Cantelli donne la convergence uniforme p.s. des fonctions de répartition empiriques vers la fonction de répartition de la loi des variables identiquement indépendantes considérées. Les fonctions de répartition empiriques sont des sommes d'indicatrices, qui sont toujours des variables de Bernoulli. On peut penser aussi au théorème de Varadarajan, qui lui donne la convergence étroite des mesures empiriques, et qui prends parfois le nom de "principe fondamental de la statistique". La seule référence qu'on ait trouvé à ce propos est le premier chapitre du cours de statistiques de Benoît Cadre.
=====Chaînes de Markov=====
Mentionner la marche aléatoire sur <math>\mathbb{Z}</math> permet d'introduire les chaînes de Markov. On peut alors énoncer que cette marche aléatoire est récurrente si et seulement si la loi de Bernoulli est uniforme. En marchant aléatoirement (et uniformément) sur <math>\mathbb{Z}^d</math>, on peut énoncer le théorème de Polya, qui dit que la marche est récurrente si et seulement si <math>d \leq 2</math>.
=====Martingales=====
La marche aléatoire sur <math>\mathbb{Z}</math> peut être vue comme un modèle pour la ruine du joueur. L'occasion d'introduire la notion de martingale, si on est à l'aise avec la notion d'espérance conditionnelle.

====Développements possibles====
*[[Média:Devdyadique.tex | Autour du développement dyadique :]] construction d'une suite indépendante de variables de loi quelconque et mesures singulières en bonus (Ouvrard p. 52).
*Théorème de Weierstrass via les polynômes de Bernstein. (Zuily-Queffelec)
*Grandes déviations pour les bernoulli. (Je suis en train de voir avec Laurent Pater pour une référence.)
*Théorème de Polya.
*[[Média:Ruinedujoueur.tex | Ruine du joueur.]] (Ouvrard)
*Processus de Galton-Watson.

====Références====
*Ouvrard
*Barbe-Ledoux
*Zuily-Queffelec

--[[Utilisateur:Nil|Nil]] 9 décembre 2010 à 17:47 (CET)

249 -- Suites de variables de Bernoulli indépendantes.

2010-12-12T22:43:10Z

Nil :

====I) Éléments presque sûrement indispensables :====
*Absence de i avant les deux « l » dans Bernoulli.
*Loi de Bernoulli, évidemment, qui appelle les loi binomiale et géométrique. (Et pourquoi pas les lois de Rademacher et loi hypergéométrique.)
*L'indépendance, qui figure dans l'intitulé de la leçon, est à mon avis un concept subtil qui mérite d'être exposé, même si la sous-partie en question ne contient qu'essentiellement des définitions. Donner le Lemme de Borel-Cantelli me paraît quasi-obligatoire, dans la mesure où c'est un outil fondamental pour démontrer les lois des grands nombres (en plus ça permet d'évoquer la loi du 0-1 de Kolmogorov, qui est quand même très jolie.) Remarquer que l'indépendance globale est plus forte que l'indépendance "n à n".
*Les lois des grands nombres parce qu'elles confirment l'intuition naturelle qu'on a pour une infinité de lancers de piles ou faces. Pour des variables de Bernoulli indépendantes, la loi faible se retrouve rapidement en écrivant l'inégalité de Tchebytchev. C'est pour cela qu'on a choisi de l'énoncer avec les hypothèses
#Variables <math>L^2</math> deux à deux non-corrélées, <math>\lim_{n \to +\infty}\left(\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}E(X_i)\right)=m</math>,<math>\lim_{n \to +\infty}\left(\frac{1}{n^2}\sum_{i=1}^{n}V(X_i)\right)=0</math> plutôt que
#Variables <math>L^1</math> identiquement indépendantes
En effet la preuve de 1. repose sur l'inégalité de Tchebytchev, et la 2. en est un corollaire. (cf. Ouvrard.)

====II) Autres éléments qui peuvent avoir leur place dans le plan====
=====Construire une suite de variables de Bernoulli indépendantes=====
L'existence d'une suite de variable aléatoires indépendantes de lois données n'est pas triviale. C'est l'objet du théorème de prolongement de Kolmogorov. On trouve dans l'Ouvrard une construction à partir de la mesure de Lebesgue sur [0,1) qui passe par des Bernoulli. En bonus on obtient des mesures étrangères à Lebesgue et diffuses (c.-à-d. qui ne chargent aucun point.) Je trouve que c'est en plein dans la leçon, les preuves sont élémentaires et belles. (Personnellement je pense même que ça fait un bon développement.)
=====Le Théorème de la limite Centrale=====
Historiquement, le premier TCL a été prouvé pour des Bernoulli (Théorème de Moivre-Laplace) : voilà une belle manière d'introduire le TCL dans cette leçon. On peut en parler notamment pour donner un intervalle de confiance approximatif pour l'estimateur du paramètre de la loi de Bernoulli. Le théorème de Berry-Esséen donne une majoration de l'erreur commise en faisant cette approximation : chouette non ? (C'est peut-être l'occasion de parler de statistiques à moindre coût.)
=====Plus de statistiques=====
Le théorème de Glivenko-Cantelli donne la convergence uniforme p.s. des fonctions de répartition empiriques vers la fonction de répartition de la loi des variables identiquement indépendantes considérées. Les fonctions de répartition empiriques sont des sommes d'indicatrices, qui sont toujours des variables de Bernoulli. On peut penser aussi au théorème de Varadarajan, qui lui donne la convergence étroite des mesures empiriques, et qui prends parfois le nom de "principe fondamental de la statistique". La seule référence qu'on ait trouvé à ce propos est le premier chapitre du cours de statistiques de Benoît Cadre.
=====Chaînes de Markov=====
Mentionner la marche aléatoire sur <math>\mathbb{Z}</math> permet d'introduire les chaînes de Markov. On peut alors énoncer que cette marche aléatoire est récurrente si et seulement si la loi de Bernoulli est uniforme. En marchant aléatoirement (et uniformément) sur <math>\mathbb{Z}^d</math>, on peut énoncer le théorème de Polya, qui dit que la marche est récurrente si et seulement si <math>d \leq 2</math>.
=====Martingales=====
La marche aléatoire sur <math>\mathbb{Z}</math> peut être vue comme un modèle pour la ruine du joueur. L'occasion d'introduire la notion de martingale, si on est à l'aise avec la notion d'espérance conditionnelle.

====III) Développements possibles====
*[[Média:Devdyadique.tex | Autour du développement dyadique :]] construction d'une suite indépendante de variables de loi quelconque et mesures singulières en bonus (Ouvrard p. 52).
*Théorème de Weierstrass via les polynômes de Bernstein. (Zuily-Queffelec)
*Grandes déviations pour les bernoulli. (Je suis en train de voir avec Laurent Pater pour une référence.)
*Théorème de Polya.
*[[Média:Ruinedujoueur.tex | Ruine du joueur.]] (Ouvrard)
*Processus de Galton-Watson.

====IV) Références====
*Ouvrard
*Barbe-Ledoux
*Zuily-Queffelec

--[[Utilisateur:Nil|Nil]] 9 décembre 2010 à 17:47 (CET)

249 -- Suites de variables de Bernoulli indépendantes.

2010-12-12T16:44:42Z

Nil : /* Développements possibles */

====Éléments presque sûrement indispensables :====
*Absence de i avant les deux « l » dans Bernoulli.
*Loi de Bernoulli, évidemment, qui appelle les loi binomiale et géométrique. (Et pourquoi pas les lois de Rademacher et loi hypergéométrique.)
*L'indépendance, qui figure dans l'intitulé de la leçon, est à mon avis un concept subtil qui mérite d'être exposé, même si la sous-partie en question ne contient qu'essentiellement des définitions. Donner le Lemme de Borel-Cantelli me paraît quasi-obligatoire, dans la mesure où c'est un outil fondamental pour démontrer les lois des grands nombres (en plus ça permet d'évoquer la loi du 0-1 de Kolmogorov, qui est quand même très jolie.) Remarquer que l'indépendance globale est plus forte que l'indépendance "n à n".
*Les lois des grands nombres parce qu'elles confirment l'intuition naturelle qu'on a pour une infinité de lancers de piles ou faces. Pour des variables de Bernoulli indépendantes, la loi faible se retrouve rapidement en écrivant l'inégalité de Tchebytchev. C'est pour cela qu'on a choisi de l'énoncer avec les hypothèses
#Variables <math>L^2</math> deux à deux non-corrélées, <math>\lim_{n \to +\infty}\left(\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}E(X_i)\right)=m</math>,<math>\lim_{n \to +\infty}\left(\frac{1}{n^2}\sum_{i=1}^{n}V(X_i)\right)=0</math> plutôt que
#Variables <math>L^1</math> identiquement indépendantes
En effet la preuve de 1. repose sur l'inégalité de Tchebytchev, et la 2. en est un corollaire. (cf. Ouvrard.)

====Autres éléments qui peuvent avoir leur place dans le plan====
=====Construire une suite de variables de Bernoulli indépendantes=====
L'existence d'une suite de variable aléatoires indépendantes de lois données n'est pas triviale. C'est l'objet du théorème de prolongement de Kolmogorov. On trouve dans l'Ouvrard une construction à partir de la mesure de Lebesgue sur [0,1) qui passe par des Bernoulli. En bonus on obtient des mesures étrangères à Lebesgue et diffuses (c.-à-d. qui ne chargent aucun point.) Je trouve que c'est en plein dans la leçon, les preuves sont élémentaires et belles. (Personnellement je pense même que ça fait un bon développement.)
=====Le Théorème de la limite Centrale=====
Historiquement, le premier TCL a été prouvé pour des Bernoulli (Théorème de Moivre-Laplace) : voilà une belle manière d'introduire le TCL dans cette leçon. On peut en parler notamment pour donner un intervalle de confiance approximatif pour l'estimateur du paramètre de la loi de Bernoulli. Le théorème de Berry-Esséen donne une majoration de l'erreur commise en faisant cette approximation : chouette non ? (C'est peut-être l'occasion de parler de statistiques à moindre coût.)
=====Plus de statistiques=====
Le théorème de Glivenko-Cantelli donne la convergence uniforme p.s. des fonctions de répartition empiriques vers la fonction de répartition de la loi des variables identiquement indépendantes considérées. Les fonctions de répartition empiriques sont des sommes d'indicatrices, qui sont toujours des variables de Bernoulli. On peut penser aussi au théorème de Varadarajan, qui lui donne la convergence étroite des mesures empiriques, et qui prends parfois le nom de "principe fondamental de la statistique". La seule référence qu'on ait trouvé à ce propos est le premier chapitre du cours de statistiques de Benoît Cadre.
=====Chaînes de Markov=====
Mentionner la marche aléatoire sur <math>\mathbb{Z}</math> permet d'introduire les chaînes de Markov. On peut alors énoncer que cette marche aléatoire est récurrente si et seulement si la loi de Bernoulli est uniforme. En marchant aléatoirement (et uniformément) sur <math>\mathbb{Z}^d</math>, on peut énoncer le théorème de Polya, qui dit que la marche est récurrente si et seulement si <math>d \leq 2</math>.
=====Martingales=====
La marche aléatoire sur <math>\mathbb{Z}</math> peut être vue comme un modèle pour la ruine du joueur. L'occasion d'introduire la notion de martingale, si on est à l'aise avec la notion d'espérance conditionnelle.

====Développements possibles====
*[[Média:Devdyadique.tex | Autour du développement dyadique :]] construction d'une suite indépendante de variables de loi quelconque et mesures singulières en bonus (Ouvrard p. 52).
*Théorème de Weierstrass via les polynômes de Bernstein. (Zuily-Queffelec)
*Grandes déviations pour les bernoulli. (Je suis en train de voir avec Laurent Pater pour une référence.)
*Théorème de Polya.
*[[Média:Ruinedujoueur.tex | Ruine du joueur.]] (Ouvrard)
*Processus de Galton-Watson.

====Références====
*Ouvrard
*Barbe-Ledoux
*Zuily-Queffelec

--[[Utilisateur:Nil|Nil]] 9 décembre 2010 à 17:47 (CET)

208 -- Espaces vectoriels normés, applications linéaires continues. Exemples.

2010-12-09T16:49:50Z

Nil : correction suite à remarque de Simon

Quelques remarques qui me paraissent pertinentes : (Nil)

====Définir un espace vectoriel normé ?====
Dans [N. Bourbaki, Topologie Générale, IX, p. 29] on apprend qu'il suffit que l'espace vectoriel soit sur un corps muni d'une valeur absolue pour définir une norme. C'est donc une notion qui s'étend au delà des <math>(\mathbb{C}</math> ou <math>\mathbb{R}</math>)-espaces vectoriels. Par exemple, on peut définir des <math>\mathbb Q</math>-espaces vectoriels normés, mais aussi des <math>\mathbb{Q}_p</math>-espaces vectoriels normés, où les <math>\mathbb{Q}_p</math> désignent les corps p-adiques : définir les EVN avec cette généralité me paraît donc tout à fait dangereux. En revanche, parler de <math>\mathbb Q</math>-espaces vectoriels normés permet d'éclairer certains résultats, qui sont vrais sur <math>\mathbb{C}</math> ou <math>\mathbb{R}</math> mais pas sur <math>\mathbb Q</math>, parce que la complétude interviens dans la preuve. (En dimension finie : La complétude bien sûr, mais aussi l'équivalence de toutes les normes, et probablement également la continuité automatique des applications linéaires (à vérifier)).

====Situer les EVN dans le paysage topologique====
La norme est une manière simple de répondre à la question : "Comment fabriquer une topologie sur un EV qui rende continues les opérations ?". Tout Espace vectoriel sur un corps muni d'une valeur absolu peut être muni d'une norme (Voici une idée de preuve donnée par Christophe Cheverry : Tout Espace vectoriel <math>E</math> admet une base algébrique <math>(b_i)_{i \in I}</math>, d'où <math>\forall x \in E, \exists J \subset I</math> fini tel que <math> x=\sum_{i \in J}x_i b_i </math>. On pose alors <math>\|x\|=max(|x_i|)</math> ). Noter quand même que l'existence d'une base algébrique est une conséquence de l'axiome du choix). Pour autant, toute topologie d'espace vectoriel n'est pas issue d'une norme. En contre-exemple, on peut penser, par décroissance de risque à mon avis, à de la topologie faible et à de la topologie d'espace vectoriel localement convexe (Issue d'une famille de semi-normes, en particulier pas forcément séparée : c'est peut être pas mal puisque les distributions sont au programme maintenant.) L'exemple le moins dangereux qu'on ait trouvé est <math>\mathcal L^p</math> muni de sa semi-norme, qui n'est pas séparé. (1)

(1) note de SB : je suppose qu'il s'agit de l'exemple "consistant" le moins dangereux. Parce que sinon la topologie grossière convient : elle rend continue tout le monde, donc munit bien n'importe quel e.v. d'une structure d'e.v.t. Je retourne tout de suite voir LMB. :-)

Et mes remarques (toujours SB) : franchement les Q_p-normes c'est pipô (aucun jury ne viendra nous ennuyer dessus) et je pense aussi que la question de la normabilité d'un e.v. est un peu pathologique. Ou alors ils sont bizarres dans les jurys, il y a quand même des maths qui "font sens" (c'est un anglicisme, je sais) un peu plus...

249 -- Suites de variables de Bernoulli indépendantes.

2010-12-09T16:47:11Z

Nil : signature

====Éléments presque sûrement indispensables :====
*Loi de Bernoulli, évidemment, qui appelle les loi binomiale et géométrique. (Et pourquoi pas les lois de Rademacher et loi hypergéométrique.)
*L'indépendance, qui figure dans l'intitulé de la leçon, est à mon avis un concept subtil qui mérite d'être exposé, même si la sous-partie en question ne contient qu'essentiellement des définitions. Donner le Lemme de Borel-Cantelli me paraît quasi-obligatoire, dans la mesure où c'est un outil fondamental pour démontrer les lois des grands nombres (en plus ça permet d'évoquer la loi du 0-1 de Kolmogorov, qui est quand même très jolie.) Remarquer que l'indépendance globale est plus forte que l'indépendance "n à n".
*Les lois des grands nombres parce qu'elles confirment l'intuition naturelle qu'on a pour une infinité de lancers de piles ou faces. Pour des variables de Bernoulli indépendantes, la loi faible se retrouve rapidement en écrivant l'inégalité de Tchebytchev. C'est pour cela qu'on a choisi de l'énoncer avec les hypothèses
#Variables <math>L^2</math> deux à deux non-corrélées, <math>\lim_{n \to +\infty}\left(\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}E(X_i)\right)=m</math>,<math>\lim_{n \to +\infty}\left(\frac{1}{n^2}\sum_{i=1}^{n}V(X_i)\right)=0</math> plutôt que
#Variables <math>L^1</math> identiquement indépendantes
En effet la preuve de 1. repose sur l'inégalité de Tchebytchev, et la 2. en est un corollaire. (cf. Ouvrard.)

====Autres éléments qui peuvent avoir leur place dans le plan====
=====Construire une suite de variables de Bernoulli indépendantes=====
L'existence d'une suite de variable aléatoires indépendantes de lois données n'est pas triviale. C'est l'objet du théorème de prolongement de Kolmogorov. On trouve dans l'Ouvrard une construction à partir de la mesure de Lebesgue sur [0,1) qui passe par des Bernoulli. En bonus on obtient des mesures étrangères à Lebesgue et diffuses (c.-à-d. qui ne chargent aucun point.) Je trouve que c'est en plein dans la leçon, les preuves sont élémentaires et belles. (Personnellement je pense même que ça fait un bon développement.)
=====Le Théorème de la limite Centrale=====
Historiquement, le premier TCL a été prouvé pour des Bernoulli (Théorème de Moivre-Laplace) : voilà une belle manière d'introduire le TCL dans cette leçon. On peut en parler notamment pour donner un intervalle de confiance approximatif pour l'estimateur du paramètre de la loi de Bernoulli. Le théorème de Berry-Esséen donne une majoration de l'erreur commise en faisant cette approximation : chouette non ? (C'est peut-être l'occasion de parler de statistiques à moindre coût.)
=====Plus de statistiques=====
Le théorème de Glivenko-Cantelli donne la convergence uniforme p.s. des fonctions de répartition empiriques vers la fonction de répartition de la loi des variables identiquement indépendantes considérées. Les fonctions de répartition empiriques sont des sommes d'indicatrices, qui sont toujours des variables de Bernoulli. On peut penser aussi au théorème de Varadarajan, qui lui donne la convergence étroite des mesures empiriques, et qui prends parfois le nom de "principe fondamental de la statistique". La seule référence qu'on ait trouvé à ce propos est le premier chapitre du cours de statistiques de Benoît Cadre.
=====Chaînes de Markov=====
Mentionner la marche aléatoire sur <math>\mathbb{Z}</math> permet d'introduire les chaînes de Markov. On peut alors énoncer que cette marche aléatoire est récurrente si et seulement si la loi de Bernoulli est uniforme. En marchant aléatoirement (et uniformément) sur <math>\mathbb{Z}^d</math>, on peut énoncer le théorème de Polya, qui dit que la marche est récurrente si et seulement si <math>d \leq 2</math>.
=====Martingales=====
La marche aléatoire sur <math>\mathbb{Z}</math> peut être vue comme un modèle pour la ruine du joueur. L'occasion d'introduire la notion de martingale, si on est à l'aise avec la notion d'espérance conditionnelle.

====Développements possibles====
*Autour du développement dyadique : construction d'une suite indépendante de variables de loi quelconque et mesures singulières en bonus (Ouvrard p. 52).
*Théorème de Weierstrass via les polynômes de Bernstein. (Zuily-Queffelec)
*Grandes déviations pour les bernoulli. (Je suis en train de voir avec Laurent Pater pour une référence.)
*Théorème de Polya.
*Ruine du joueur. (Ouvrard)
*Processus de Galton-Watson.

====Références====
*Ouvrard
*Barbe-Ledoux
*Zuily-Queffelec

--[[Utilisateur:Nil|Nil]] 9 décembre 2010 à 17:47 (CET)

249 -- Suites de variables de Bernoulli indépendantes.

2010-12-09T16:45:47Z

Nil :

249 -- Suites de variables de Bernoulli indépendantes.

2010-12-09T14:20:27Z

Nil : Page créée avec « ====Éléments presque sûrement indispensables :==== *Loi de Bernoulli, évidemment, qui appelle les loi binomiale et géométrique. (Et pourquoi pas les lois de Rademacher ... »

228 -- Continuité, dérivabilité, dérivation faible des fonctions réelles d'une variable réelle. Exemples et applications.

2010-12-09T13:55:59Z

Nil : /* Développements */ correction pointage du lien glaeser

== Développements ==
[[Média:weierstrass.tex | Le théorème de Weierstrass (via les polynômes de bernstein)]].

[[Média:glaeser.tex | Le théorème de Glaeser]].

208 -- Espaces vectoriels normés, applications linéaires continues. Exemples.

2010-11-13T20:10:55Z

Nil :

Quelques remarques qui me paraissent pertinentes : (Nil)

====Définir un espace vectoriel normé ?====
Dans [N. Bourbaki, Topologie Générale, IX, p. 29] on apprend qu'il suffit que l'espace vectoriel soit sur un corps muni d'une valeur absolue pour définir une norme. C'est donc une notion qui s'étend au delà des <math>(\mathbb{C}</math> ou <math>\mathbb{R}</math>)-espaces vectoriels. Par exemple, on peut définir des <math>\mathbb Q</math>-espaces vectoriels normés, mais aussi des <math>\mathbb{Q}_p</math>-espaces vectoriels normés, où les <math>\mathbb{Q}_p</math> désignent les corps p-adiques : définir les EVN avec cette généralité me paraît donc tout à fait dangereux. En revanche, parler de <math>\mathbb Q</math>-espaces vectoriels normés permet d'éclairer certains résultats, qui sont vrais sur <math>\mathbb{C}</math> ou <math>\mathbb{R}</math> mais pas sur <math>\mathbb Q</math>, parce que la complétude interviens dans la preuve. (En dimension finie : La complétude bien sûr, mais aussi l'équivalence de toutes les normes, et probablement également la continuité automatique des applications linéaires (à vérifier)).

====Situer les EVN dans le paysage topologique====
La norme est une manière simple de répondre à la question : "Comment fabriquer une topologie sur un EV qui rende continues les opérations ?". Tout Espace vectoriel sur un corps muni d'une valeur absolu peut être muni d'une norme (Voici une idée de preuve donnée par Christophe Cheverry : Tout Espace vectoriel <math>E</math> admet une base algébrique <math>(b_i)_{i \in I}</math>, d'où <math>\forall x \in E, \exists J \subset I</math> fini tel que <math> x=\sum_{i \in J}x_i b_i </math>. On pose alors <math>\|x\|=max(x_i)</math> ). Pour autant, toute topologie d'espace vectoriel n'est pas issue d'une norme. En contre-exemple, on peut penser, par décroissance de risque à mon avis, à de la topologie faible et à de la topologie d'espace vectoriel localement convexe (Issue d'une famille de semi-normes, en particulier pas forcément séparée : c'est peut être pas mal puisque les distributions sont au programme maintenant.) L'exemple le moins dangereux qu'on ait trouvé est <math>\mathcal L^p</math> muni de sa semi-norme, qui n'est pas séparé.

Page de suggestions

2010-11-13T20:06:46Z

Nil : /* Des pages pour les références bibliographiques ? */

== Des pages pour les références bibliographiques ? ==
Pourquoi ne créerait on pas aussi une page par référence ? L'idéal serait une page qui ressemblerait aux pages pour les images sur wikipédia ( type http://fr.wikipedia.org/wiki/Fichier:Bentley_4%C2%BD_Litre_-_20090924.jpg ) : je pense surtout à une liste des leçons (ou autres pages) dans lesquelles la référence serait citée, à la manière de la liste des pages qui utilisent une image sur wikipédia. (Est-ce que ça s'automatise facilement ce genre de choses ?). Et pourquoi pas aussi des avis plus généraux sur les bouquins, des erreurs relevées, etc... voire des pages qui parleraient des références en général. (Nil <- Je signe parce que c'est pas forcément super pratique d'aller chercher le nom de l'auteur dans l'historique de ce que j'ai pu voir, mais peut être qu'il y a des astuces... j'avoue ne pas être très au point côté "wikiétiquette".)

Gwenael : en fait, ça me semble assez compliqué, parce que l'exemple que tu donnes, ça marche pour des fichiers media, pas pour des références. Cela dit, on pourrait faire de vraies pages pour discuter des références. Qu'en pensez-vous ?

Nil : Ça me semble être une bonne idée.

==Et un petit logo ?==
Je sais pas vous, je trouve ça un peu triste ce coin vide en haut à gauche. Ça ne me paraît pas trop difficile à combler, je me propose même de faire la réalisation sous inkscape si aucun de nos géniaux graphistes ne s'y colle. La question c'est surtout quoi mettre en logo ? Qu'en pensez-vous ? (Nil)

Gwenael : Fais-toi plaisir, effectivement, c'est un peu triste sans rien.

JB : Je trouverai très bon esprit de mettre un gros compte à rebours ...

Nil : Ah j'aime bien, pourquoi pas le lapin d'Alice au pays des Merveilles ?

==Et un "coin café" ?==
Pourquoi pas aussi une petite page où on pourrait discuter de manière plus légère, pour poser des questions du type : "Au passage est-ce que certains d'entre vous sont actifs sur wikipédia ?", ou autre... (Nil)

==Un endroit où uploader nos développements ?==
Je sais qu'on trouve les développements assez facilement dans les bouquins mais ça pourrait être assez pratique de pouvoir les stocker en ligne : on y aurait accès sans avoir à aller à la BU.
Par exemple j'ai tapé les deux préparés pour ma leçon, plusieurs fois on a eu des développements tapés par des gens (Gwen, Laurent, etc.) et ça serait sympa de pouvoir les rendre disponibles pour les autres (au moins la source .tex). (Florent)

Gwenael : Je crois avoir activé cette fonctionnalité. On peut maintenant uploader des .tex et des .pdf (en plus des images).

208 -- Espaces vectoriels normés, applications linéaires continues. Exemples.

2010-11-13T14:15:07Z

Nil : Page créée avec « /!\ Page en travaux /!\ (Nil) ====Définir un espace vectoriel normé ?==== Dans [N. Bourbaki, Topologie Générale, IX, p. 29] on apprend qu'il suffit que l'espace vectorie... »

/!\ Page en travaux /!\ (Nil)

====Définir un espace vectoriel normé ?====
Dans [N. Bourbaki, Topologie Générale, IX, p. 29] on apprend qu'il suffit que l'espace vectoriel soit sur un corps muni d'une valeur absolue pour définir une norme. C'est donc une notion qui s'étend au delà des <math>(\mathbb{C}</math> ou <math>\mathbb{R}</math>)-espaces vectoriels. Par exemple, on peut définir des <math>\mathbb Q</math>-espaces vectoriels normés, mais aussi des <math>\mathbb{Q}_p</math>-espaces vectoriels normés, où les <math>\mathbb{Q}_p</math> désignent les corps p-adiques : définir les EVN avec cette généralité me paraît donc tout à fait dangereux. En revanche, parler de <math>\mathbb Q</math>-espaces vectoriels normés permet d'éclairer certains résultats, qui sont vrais sur <math>\mathbb{C}</math> ou <math>\mathbb{R}</math> mais pas sur <math>\mathbb Q</math>, parce que la complétude interviens dans la preuve. (En dimension finie : La complétude bien sûr, mais aussi l'équivalence de toutes les normes, et probablement également la continuité automatique des applications linéaires (à vérifier)).

====Situer les EVN dans le paysage topologique====
La norme est une manière simple de répondre à la question : "Comment fabriquer une topologie sur un EV qui rende continues les opérations ?". Tout Espace vectoriel sur un corps muni d'une valeur absolu peut être muni d'une norme. (Voir une idée de preuve donnée par Christophe Cheverry) Pour autant, toute topologie d'espace vectoriel n'est pas issue d'une norme. En contre-exemple, on peut penser, par décroissance de risque à mon avis, à de la topologie faible et à de la topologie d'espace vectoriel localement convexe (Issue d'une famille de semi-normes, en particulier pas forcément séparée : c'est peut être pas mal puisque les distributions sont au programme maintenant.) L'exemple le moins dangereux qu'on ait trouvé est <math>\mathcal L^p</math> muni de sa semi-norme, qui n'est pas séparé.

====A propos de la notion de normes équivalentes====

Page de suggestions

2010-10-29T10:06:04Z

Nil : /* Et un petit logo ? */

== Des pages pour les références bibliographiques ? ==
Pourquoi ne créerait on pas aussi une page par référence ? L'idéal serait une page qui ressemblerait aux pages pour les images sur wikipédia ( type http://fr.wikipedia.org/wiki/Fichier:Bentley_4%C2%BD_Litre_-_20090924.jpg ) : je pense surtout à une liste des leçons (ou autres pages) dans lesquelles la référence serait citée, à la manière de la liste des pages qui utilisent une image sur wikipédia. (Est-ce que ça s'automatise facilement ce genre de choses ?). Et pourquoi pas aussi des avis plus généraux sur les bouquins, des erreurs relevées, etc... voire des pages qui parleraient des références en général. (Nil <- Je signe parce que c'est pas forcément super pratique d'aller chercher le nom de l'auteur dans l'historique de ce que j'ai pu voir, mais peut être qu'il y a des astuces... j'avoue ne pas être très au point côté "wikiétiquette".)

Gwenael : je me renseigne. Effectivement, ça serait pas mal.

==Et un petit logo ?==
Je sais pas vous, je trouve ça un peu triste ce coin vide en haut à gauche. Ça ne me paraît pas trop difficile à combler, je me propose même de faire la réalisation sous inkscape si aucun de nos géniaux graphistes ne s'y colle. La question c'est surtout quoi mettre en logo ? Qu'en pensez-vous ? (Nil)

Gwenael : Fais-toi plaisir, effectivement, c'est un peu triste sans rien.

JB : Je trouverai très bon esprit de mettre un gros compte à rebours ...

Nil : Ah j'aime bien, pourquoi pas le lapin d'Alice au pays des Merveilles ?

==Et un "coin café" ?==
Pourquoi pas aussi une petite page où on pourrait discuter de manière plus légère, pour poser des questions du type : "Au passage est-ce que certains d'entre vous sont actifs sur wikipédia ?", ou autre... (Nil)

==Un endroit où uploader nos développements ?==
Je sais qu'on trouve les développements assez facilement dans les bouquins mais ça pourrait être assez pratique de pouvoir les stocker en ligne : on y aurait accès sans avoir à aller à la BU.
Par exemple j'ai tapé les deux préparés pour ma leçon, plusieurs fois on a eu des développements tapés par des gens (Gwen, Laurent, etc.) et ça serait sympa de pouvoir les rendre disponibles pour les autres (au moins la source .tex). (Florent)

Gwenael : Je crois avoir activé cette fonctionnalité. On peut maintenant uploader des .tex et des .pdf (en plus des images).

Page de suggestions

2010-10-26T10:10:41Z

Nil : /* Et un "coin café" */

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2010-10-26T10:09:37Z

Nil : Suggestion de création d'un "coin café"

Page de suggestions

2010-10-26T10:08:39Z

Nil :

Page de suggestions

2010-10-26T10:03:07Z

Nil :

Page de suggestions

2010-10-26T10:01:41Z

Nil : Proposition de créations de pages pour les références, Question du logo.