AgregmathKL - Contributions de l’utilisateur [fr]

159 -- Formes linéaires et dualité en dimension finie. Exemples et applications.

2011-06-17T19:29:08Z

Pepere :

Vous avez des idées de développements pour cette leçon ?

Il y a Hahn-Banach en dimension finie, quelque chose du Gourdon à propos des invariants de similitude (preuve par dualité) mais après ?

Le théorème des extrema liés pour moi. Ou sinon le truc que Gwenaël avait fait lors de la leçon sous-variétés: le lieu des matrices dont les colonnes sont normées qui maximise le déterminant est le groupe spécial orthogonal. De mémoire on utilise l'identification de <math>M_n(\mathbb{R})</math> avec son dual via la trace, et on applique le théorème des extréma liés, from GT Calcul différentiel. Au début je l'aimais bien et finalement je l'ai abandonné.

Autres possibilités, plus discutables (Tristan Vaccon) : théorème de Burnside sur les sous-groupes d'exposants finis... (Alessandri), la preuve repose sur l'étude de formes linéaires ; sous-espaces de <math>C(\mathbb{R},\mathbb{C})</math> de dimension finie stables par translation (Leichtnam+ Objectif Agreg, de mémoire), il y a des considérations importantes de dualité.

Autres possibiliés (Pierre M.) : L'enveloppe convexe du groupe orthogonal est la boule unité euclidienne (oraux X-ENS algèbre 1), qui se fait par Han-Banach. Et l'étude des applications linéaires ayant un hyperplan fixe (dilatations et transvections) avec le Perrin.

Accueil

2011-04-05T18:55:50Z

Pepere : /* Divers */

== Bienvenue sur AgregmathKL ! ==
Vous trouverez sur ce wiki, leçon par leçon, des résultats que vous pouvez y mettre, des propositions de développement ainsi que les références bibliographiques utiles.

== Liste des leçons et des développements==
[[Leçons d'algèbre]]

[[Leçons d'analyse]]

[[Leçons d'algèbre et d'analyse pour l'option informatique]]

[[Développements]] (en vrac).

== Liste des références ==

Consultez ici toutes les informations concernant la [[bibliographie]].

== À propos du wiki ==
N'hésitez pas à proposer des modifications sur l'organisation du wiki ou autres à l'aide de la [[Page de suggestions]].

== Une question ? ==
Posez la sur la [[page des questions]].

== Divers ==

J'(Simon)ai écrit [http://perso.eleves.bretagne.ens-cachan.fr/~sbill404/fichiers/dvpts.odt un texte] qui comprend les leçons déjà étudiées (au premier trimestre) qui figurent au programme de l'option info. Il contient les remarques du jury et des exemples de développements référencés (essentiellement volées sur le site de Laurent Pater et sur Dynamaths). Il vous intéressera sûrement moins si vous n'êtes pas en option D, mais au cas où...

Quant à moi j'(Pierre M.)ai répertorié [[Média : Listedesleçons.tex | dans ce document‎]] la liste des leçons (me basant sur celle de ce wiki même) avec les rapports des jurys 2009 et 2010. À titre personnel j'imprimerai le fichier tel quel et remplirai tout à la main.

Fichier:Listedesleçons.tex

2011-04-05T18:48:31Z

Pepere : Toutes les options des options A,B, C, avec les rapports des jurys 2009 et 2010.

Toutes les options des options A,B, C, avec les rapports des jurys 2009 et 2010.

Développements

2010-12-09T18:31:35Z

Pepere : /* Développements d'analyse */

Certains d'entre nous tapent leurs développements. Vous pouvez, en plus des liens mis dans les pages leçons, les rassembler ici.

== Développements d'algèbre ==

[[Média:Sous_groupes_finis_SO3.tex | Sous groupes finis de <math>\mathcal{SO}(3)</math>]]

[[Média:Groupecirc.tex | Groupe circulaire]]

[[Média:Commutant.tex | Commutant d'un endomorphisme]]

[[Média:Groupe_d_ordre_douze.tex | Groupes d'ordre 12]]

[[Média:Simplicité_An.tex | Simplicité de <math>\mathcal{A}_n</math>]]

[[Média:Caratheodory.tex | Caratheodory (and co)]]

[[Média:Sylow.tex | Sylow]]

== Développements d'analyse ==
[[Média:MethodedeLaplace.tex | Méthode de Laplace]]

[[Média:ProlongementGamma.tex | Prolongement de la fonction <math>\Gamma</math>]]

[[Média:devdyadique.tex | Bernoulli et développement dyadique]]

[[Média:Ruinedujoueur.tex‎ | Ruine du joueur]]

[[Média:John-Loewner.tex | Ellipsoïde de John-Loewner]]

== Développements mixtes ==

[[Media:Lie-Kolchin.tex|Lie-Kolchin]]

Fichier:John-Loewner.tex

2010-12-09T18:30:50Z

Pepere :

Développements

2010-12-09T18:29:53Z

Pepere : /* Développements d'algèbre */

Certains d'entre nous tapent leurs développements. Vous pouvez, en plus des liens mis dans les pages leçons, les rassembler ici.

== Développements d'algèbre ==

[[Média:Sous_groupes_finis_SO3.tex | Sous groupes finis de <math>\mathcal{SO}(3)</math>]]

[[Média:Groupecirc.tex | Groupe circulaire]]

[[Média:Commutant.tex | Commutant d'un endomorphisme]]

[[Média:Groupe_d_ordre_douze.tex | Groupes d'ordre 12]]

[[Média:Simplicité_An.tex | Simplicité de <math>\mathcal{A}_n</math>]]

[[Média:Caratheodory.tex | Caratheodory (and co)]]

[[Média:Sylow.tex | Sylow]]

== Développements d'analyse ==
[[Média:MethodedeLaplace.tex | Méthode de Laplace]]

[[Média:ProlongementGamma.tex | Prolongement de la fonction <math>\Gamma</math>]]

[[Média:devdyadique.tex | Bernoulli et développement dyadique]]

[[Média:Ruinedujoueur.tex‎ | Ruine du joueur]]

== Développements mixtes ==

[[Media:Lie-Kolchin.tex|Lie-Kolchin]]

Fichier:Caratheodory.tex

2010-12-09T18:29:06Z

Pepere : Dans R^n Un point de l'enveloppe convexe est barycentre de n+1 points, en corollaire l'enveloppe d'un compact de R^n est compact

Dans R^n Un point de l'enveloppe convexe est barycentre de n+1 points, en corollaire l'enveloppe d'un compact de R^n est compact

Développements

2010-12-09T18:26:17Z

Pepere : /* Développements d'algèbre */

Certains d'entre nous tapent leurs développements. Vous pouvez, en plus des liens mis dans les pages leçons, les rassembler ici.

== Développements d'algèbre ==

[[Média:Sous_groupes_finis_SO3.tex | Sous groupes finis de <math>\mathcal{SO}(3)</math>]]

[[Média:Groupecirc.tex | Groupe circulaire]]

[[Média:Commutant.tex | Commutant d'un endomorphisme]]

[[Média:Groupe_d_ordre_douze.tex | Groupes d'ordre 12]]

[[Média:Simplicité_An.tex | Simplicité de <math>\mathcal{A}_n</math>]]

[[Média:Sylow.tex | Sylow]]

== Développements d'analyse ==
[[Média:MethodedeLaplace.tex | Méthode de Laplace]]

[[Média:ProlongementGamma.tex | Prolongement de la fonction <math>\Gamma</math>]]

[[Média:devdyadique.tex | Bernoulli et développement dyadique]]

[[Média:Ruinedujoueur.tex‎ | Ruine du joueur]]

== Développements mixtes ==

[[Media:Lie-Kolchin.tex|Lie-Kolchin]]

Fichier:Sylow.tex

2010-12-09T18:25:29Z

Pepere : Théorèmes de Sylow et en corollaire l'inexistence de groupe simple d'ordre 63

Théorèmes de Sylow et en corollaire l'inexistence de groupe simple d'ordre 63

Développements

2010-12-09T18:24:01Z

Pepere : /* Développements d'algèbre */

Certains d'entre nous tapent leurs développements. Vous pouvez, en plus des liens mis dans les pages leçons, les rassembler ici.

== Développements d'algèbre ==

[[Média:Sous_groupes_finis_SO3.tex | Sous groupes finis de <math>\mathcal{SO}(3)</math>]]

[[Média:Groupecirc.tex | Groupe circulaire]]

[[Média:Commutant.tex | Commutant d'un endomorphisme]]

[[Média:Groupe_d_ordre_douze.tex | Groupes d'ordre 12]]

[[Média:Simplicité_An.tex | Simplicité de <math>\mathcal{A}_n</math>]]

== Développements d'analyse ==
[[Média:MethodedeLaplace.tex | Méthode de Laplace]]

[[Média:ProlongementGamma.tex | Prolongement de la fonction <math>\Gamma</math>]]

[[Média:devdyadique.tex | Bernoulli et développement dyadique]]

[[Média:Ruinedujoueur.tex‎ | Ruine du joueur]]

== Développements mixtes ==

[[Media:Lie-Kolchin.tex|Lie-Kolchin]]

Fichier:Simplicité An.tex

2010-12-09T18:22:57Z

Pepere :

Développements

2010-12-09T18:21:43Z

Pepere : /* Développements d'analyse */

Certains d'entre nous tapent leurs développements. Vous pouvez, en plus des liens mis dans les pages leçons, les rassembler ici.

== Développements d'algèbre ==

[[Média:Sous_groupes_finis_SO3.tex | Sous groupes finis de <math>\mathcal{SO}(3)</math>]]

[[Média:Groupecirc.tex | Groupe circulaire]]

[[Média:Commutant.tex | Commutant d'un endomorphisme]]

[[Média:Groupe_d_ordre_douze.tex | Groupes d'ordre 12]]

== Développements d'analyse ==
[[Média:MethodedeLaplace.tex | Méthode de Laplace]]

[[Média:ProlongementGamma.tex | Prolongement de la fonction <math>\Gamma</math>]]

[[Média:devdyadique.tex | Bernoulli et développement dyadique]]

[[Média:Ruinedujoueur.tex‎ | Ruine du joueur]]

== Développements mixtes ==

[[Media:Lie-Kolchin.tex|Lie-Kolchin]]

Fichier:Ruinedujoueur.tex

2010-12-09T18:20:42Z

Pepere : Des manips habituelles avec les martingales.

Des manips habituelles avec les martingales.

Développements

2010-12-09T18:18:55Z

Pepere : /* Développements mixtes */

Certains d'entre nous tapent leurs développements. Vous pouvez, en plus des liens mis dans les pages leçons, les rassembler ici.

== Développements d'algèbre ==

[[Média:Sous_groupes_finis_SO3.tex | Sous groupes finis de <math>\mathcal{SO}(3)</math>]]

[[Média:Groupecirc.tex | Groupe circulaire]]

[[Média:Commutant.tex | Commutant d'un endomorphisme]]

[[Média:Groupe_d_ordre_douze.tex | Groupes d'ordre 12]]

== Développements d'analyse ==
[[Média:MethodedeLaplace.tex | Méthode de Laplace]]

[[Média:ProlongementGamma.tex | Prolongement de la fonction <math>\Gamma</math>]]

[[Média:devdyadique.tex | Bernoulli et développement dyadique]]

== Développements mixtes ==

[[Media:Lie-Kolchin.tex|Lie-Kolchin]]

Développements

2010-12-09T18:18:37Z

Pepere : /* Développements mixtes */

Certains d'entre nous tapent leurs développements. Vous pouvez, en plus des liens mis dans les pages leçons, les rassembler ici.

== Développements d'algèbre ==

[[Média:Sous_groupes_finis_SO3.tex | Sous groupes finis de <math>\mathcal{SO}(3)</math>]]

[[Média:Groupecirc.tex | Groupe circulaire]]

[[Média:Commutant.tex | Commutant d'un endomorphisme]]

[[Média:Groupe_d_ordre_douze.tex | Groupes d'ordre 12]]

== Développements d'analyse ==
[[Média:MethodedeLaplace.tex | Méthode de Laplace]]

[[Média:ProlongementGamma.tex | Prolongement de la fonction <math>\Gamma</math>]]

[[Média:devdyadique.tex | Bernoulli et développement dyadique]]

== Développements mixtes ==

[[Media:Lie-Kolchin.jpg|Lie-Kolchin]]

Fichier:Lie-Kolchin.tex

2010-12-09T18:17:24Z

Pepere : Attention à mettre moins de 40 minutes pour faire ce développement !

Attention à mettre moins de 40 minutes pour faire ce développement !

Développements

2010-12-09T18:16:16Z

Pepere : /* Développements d'algèbre */

Fichier:Groupe d ordre douze.tex

2010-12-09T18:15:30Z

Pepere : On liste la totalité des groupes d'ordre 12, avec du théorème de Sylow et du produit semi-direct.

On liste la totalité des groupes d'ordre 12, avec du théorème de Sylow et du produit semi-direct.

Développements

2010-12-09T18:13:44Z

Pepere : /* Développements d'analyse */

Fichier:Devdyadique.tex

2010-12-09T18:12:48Z

Pepere : Construction d'une suite infini de Bernoulli puis suivant des lois quelconques, puis de mesures singulières. Élémentaire mais plutôt joli.

Construction d'une suite infini de Bernoulli puis suivant des lois quelconques, puis de mesures singulières. Élémentaire mais plutôt joli.

Développements

2010-12-09T18:10:41Z

Pepere : /* Développements d'algèbre */

Fichier:Commutant.tex

2010-12-09T18:09:33Z

Pepere : On regarde la dimension du commutant d'un endomorphisme f diagonalisable, puis on montre que ce commutant est réduit aux polynômes en f si et seulement si le polynôme caractéristique de f est égal à son polynôme minimal (c'est-à-dire f cyclique)

On regarde la dimension du commutant d'un endomorphisme f diagonalisable, puis on montre que ce commutant est réduit aux polynômes en f si et seulement si le polynôme caractéristique de f est égal à son polynôme minimal (c'est-à-dire f cyclique)

103 -- Conjugaison dans un groupe. Exemples de sous-groupes distingués et de groupes quotients. Applications.

2010-11-11T15:37:03Z

Pepere : une proposition rapide de plan et des extraits de rapports de jury

Le plan que Perrine et moi avons fait pour cette leçon :

== I) Conjugaison et Groupe quotient ==

Naturellement mené par la question : à quelle condition un sous-groupe peut-il être noyau d'un morphisme ?

1- conjugaison et sous-groupes distingués (exemple des permutations de même profil)

2 - classe à gauche (permet de montrer Lagrange et Frobénius - F-G-N oraux X-ENS algèbre 1 p. 48)

3 - groupe quotient (factorisation de morphismes...)

== II) Simplicité et résolubilité ==

Notions aux implications importantes via Galois pour la résolution par radicaux des polynômes et la résolution par quadrature des équations différentielles.

Théorèmes de Sylow, groupe dérivé, Lie-Kolchin (Chambert-Loir "a field guide to algebra" p. 98), suite de Jordan-Hölder (Delcourt "Théorie des groupes")

== III) Devissage de groupes ==

Autrement dit comment se ramener à des groupes plus petits pour étudier les propriétés du groupe de départ.

Théorème chinois et structure des abéliens de type fini. La caractérisation du produit direct(avoir deux sous-groupes distingués H, K avec HK=G et H<math>\cap</math>K={e}) amène la définition du produit semi-direct et sa caractérisation (idem mais K n'est pas distingué). Ceci permet de lister les groupes d'ordre 8 ou 12 (Delcourt p.99)

== Medley de rapports de jury ==

Des exemples et applications en géométrie élémentaire sont nécessaires.

La notion de produit semi-direct n’est plus au programme, mais lorsqu’elle est utilisée il faut savoir la
définir proprement

En général le stabilisateur d'un élément n'est pas un sous-groupe distingué contrairement à ce qu'a pu entendre le jury.

Les candidats parlent de groupes simples et de sous-groupe dérivé ou de groupe quotient sans savoir utiliser ces no-
tions. Il faudrait savoir par exemple que

- tout morphisme de source un groupe simple est soit injectif soit trivial.

- dans un groupe simple, toute réunion de classes de conjugaison non triviale engendre le groupe (par
exemple les éléments de la forme x 2 y x).

- tout morphisme d’un groupe G vers un groupe abélien se factorise via G ab := G/D(G).
.

Il faut bien connaître le cas du groupe <math>\Sigma_4</math>, notamment <math>V_4 \rightarrow \math{A}_4 \rightarrow \Sigma_4</math> et faire le lien avec le tétraèdre.