AgregmathKL - Contributions de l’utilisateur [fr]

255 -- Espaces de Schwartz. Distributions. Dérivation au sens des distributions.

2011-02-23T18:23:29Z

Simon : D(\Omega) n'est pas métrisable.

Attention : l'espace <math>D(\Omega)</math> n'est pas métrisable, c'est <math>D'(\Omega)</math> qui l'est. Voir ce lien : [http://fr.wikipedia.org/wiki/Distribution_%28math%C3%A9matiques%29#Espace_des_fonctions_tests]

105 -- Groupe des permutations d'un ensemble fini. Applications.

2010-12-25T15:45:31Z

Simon : Page créée avec « Une idée en l'air, qui est transmise par Vladimir Arnold sur http://www.irem.univ-paris-diderot.fr/videos/la_mathematique_experimentale/ (excellente conférence au demeurant... »

Une idée en l'air, qui est transmise par Vladimir Arnold sur http://www.irem.univ-paris-diderot.fr/videos/la_mathematique_experimentale/ (excellente conférence au demeurant) : la notion de groupe de permutations est la "vraie" définition (si on voit ledit ensemble comme géométrique), la définition axiomatique n'est finalement pas très maniable. Et le théorème de Cayley (un groupe s'identifie comme sous-ensemble du groupe de permutation d'un ensemble fini) est là pour nous dire qu'il n'y a justement rien de plus que ces permutations. Idée qu'il s'agit de faire ressortir dans la défense du plan, à mon sens. (Simon)

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2010-12-18T11:26:00Z

Simon : Ajout du lien développements Simon

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J'(Simon)ai écrit [http://perso.eleves.bretagne.ens-cachan.fr/~sbill404/fichiers/dvpts.odt/ un texte] qui comprend les leçons déjà étudiées (au premier trimestre) qui figurent au programme de l'option info. Il contient les remarques du jury et des exemples de développements référencés (essentiellement volées sur le site de Laurent Pater et sur Dynamaths). Il vous intéressera sûrement moins si vous n'êtes pas en option D, mais au cas où...

208 -- Espaces vectoriels normés, applications linéaires continues. Exemples.

2010-11-15T18:51:00Z

Simon : /* Situer les EVN dans le paysage topologique */

Quelques remarques qui me paraissent pertinentes : (Nil)

====Définir un espace vectoriel normé ?====
Dans [N. Bourbaki, Topologie Générale, IX, p. 29] on apprend qu'il suffit que l'espace vectoriel soit sur un corps muni d'une valeur absolue pour définir une norme. C'est donc une notion qui s'étend au delà des <math>(\mathbb{C}</math> ou <math>\mathbb{R}</math>)-espaces vectoriels. Par exemple, on peut définir des <math>\mathbb Q</math>-espaces vectoriels normés, mais aussi des <math>\mathbb{Q}_p</math>-espaces vectoriels normés, où les <math>\mathbb{Q}_p</math> désignent les corps p-adiques : définir les EVN avec cette généralité me paraît donc tout à fait dangereux. En revanche, parler de <math>\mathbb Q</math>-espaces vectoriels normés permet d'éclairer certains résultats, qui sont vrais sur <math>\mathbb{C}</math> ou <math>\mathbb{R}</math> mais pas sur <math>\mathbb Q</math>, parce que la complétude interviens dans la preuve. (En dimension finie : La complétude bien sûr, mais aussi l'équivalence de toutes les normes, et probablement également la continuité automatique des applications linéaires (à vérifier)).

====Situer les EVN dans le paysage topologique====
La norme est une manière simple de répondre à la question : "Comment fabriquer une topologie sur un EV qui rende continues les opérations ?". Tout Espace vectoriel sur un corps muni d'une valeur absolu peut être muni d'une norme (Voici une idée de preuve donnée par Christophe Cheverry : Tout Espace vectoriel <math>E</math> admet une base algébrique <math>(b_i)_{i \in I}</math>, d'où <math>\forall x \in E, \exists J \subset I</math> fini tel que <math> x=\sum_{i \in J}x_i b_i </math>. On pose alors <math>\|x\|=max(x_i)</math> ) (1). Noter quand même que l'existence d'une base algébrique est une conséquence de l'axiome du choix). Pour autant, toute topologie d'espace vectoriel n'est pas issue d'une norme. En contre-exemple, on peut penser, par décroissance de risque à mon avis, à de la topologie faible et à de la topologie d'espace vectoriel localement convexe (Issue d'une famille de semi-normes, en particulier pas forcément séparée : c'est peut être pas mal puisque les distributions sont au programme maintenant.) L'exemple le moins dangereux qu'on ait trouvé est <math>\mathcal L^p</math> muni de sa semi-norme, qui n'est pas séparé. (2)

(1) note de Simon Billouet : plus précisément <math>|x\|=max(|x_i|)</math>.

(2) note de SB : je suppose qu'il s'agit de l'exemple "consistant" le moins dangereux. Parce que sinon la topologie grossière convient : elle rend continue tout le monde, donc munit bien n'importe quel e.v. d'une structure d'e.v.t. Je retourne tout de suite voir LMB. :-)

Et mes remarques (toujours SB) : franchement les Q_p-normes c'est pipô (aucun jury ne viendra nous ennuyer dessus) et je pense aussi que la question de la normabilité d'un e.v. est un peu pathologique. Ou alors ils sont bizarres dans les jurys, il y a quand même des maths qui "font sens" (c'est un anglicisme, je sais) un peu plus...

208 -- Espaces vectoriels normés, applications linéaires continues. Exemples.

2010-11-15T18:50:25Z

Simon : /* Situer les EVN dans le paysage topologique */ Suite et fin des remarques de SB

Quelques remarques qui me paraissent pertinentes : (Nil)

====Définir un espace vectoriel normé ?====
Dans [N. Bourbaki, Topologie Générale, IX, p. 29] on apprend qu'il suffit que l'espace vectoriel soit sur un corps muni d'une valeur absolue pour définir une norme. C'est donc une notion qui s'étend au delà des <math>(\mathbb{C}</math> ou <math>\mathbb{R}</math>)-espaces vectoriels. Par exemple, on peut définir des <math>\mathbb Q</math>-espaces vectoriels normés, mais aussi des <math>\mathbb{Q}_p</math>-espaces vectoriels normés, où les <math>\mathbb{Q}_p</math> désignent les corps p-adiques : définir les EVN avec cette généralité me paraît donc tout à fait dangereux. En revanche, parler de <math>\mathbb Q</math>-espaces vectoriels normés permet d'éclairer certains résultats, qui sont vrais sur <math>\mathbb{C}</math> ou <math>\mathbb{R}</math> mais pas sur <math>\mathbb Q</math>, parce que la complétude interviens dans la preuve. (En dimension finie : La complétude bien sûr, mais aussi l'équivalence de toutes les normes, et probablement également la continuité automatique des applications linéaires (à vérifier)).

====Situer les EVN dans le paysage topologique====
La norme est une manière simple de répondre à la question : "Comment fabriquer une topologie sur un EV qui rende continues les opérations ?". Tout Espace vectoriel sur un corps muni d'une valeur absolu peut être muni d'une norme (Voici une idée de preuve donnée par Christophe Cheverry : Tout Espace vectoriel <math>E</math> admet une base algébrique <math>(b_i)_{i \in I}</math>, d'où <math>\forall x \in E, \exists J \subset I</math> fini tel que <math> x=\sum_{i \in J}x_i b_i </math>. On pose alors <math>\|x\|=max(x_i)</math> ) (1). Noter quand même que l'existence d'une base algébrique est une conséquence de l'axiome du choix). Pour autant, toute topologie d'espace vectoriel n'est pas issue d'une norme. En contre-exemple, on peut penser, par décroissance de risque à mon avis, à de la topologie faible et à de la topologie d'espace vectoriel localement convexe (Issue d'une famille de semi-normes, en particulier pas forcément séparée : c'est peut être pas mal puisque les distributions sont au programme maintenant.) L'exemple le moins dangereux qu'on ait trouvé est <math>\mathcal L^p</math> muni de sa semi-norme, qui n'est pas séparé. (2)

(1) note de Simon Billouet : plus précisément <math>|x\|=max(|x_i|)</math>
(2) note de SB : je suppose qu'il s'agit de l'exemple "consistant" le moins dangereux. Parce que sinon la topologie grossière convient : elle rend continue tout le monde, donc munit bien n'importe quel e.v. d'une structure d'e.v.t. Je retourne tout de suite voir LMB. :-)

Et mes remarques (toujours SB) : franchement les Q_p-normes c'est pipô (aucun jury ne viendra nous ennuyer dessus) et je pense aussi que la question de la normabilité d'un e.v. est un peu pathologique. Ou alors ils sont bizarres dans les jurys, il y a quand même des maths qui "font sens" (c'est un anglicisme, je sais) un peu plus...

208 -- Espaces vectoriels normés, applications linéaires continues. Exemples.

2010-11-15T18:46:36Z

Simon : /* Situer les EVN dans le paysage topologique */

Quelques remarques qui me paraissent pertinentes : (Nil)

====Définir un espace vectoriel normé ?====
Dans [N. Bourbaki, Topologie Générale, IX, p. 29] on apprend qu'il suffit que l'espace vectoriel soit sur un corps muni d'une valeur absolue pour définir une norme. C'est donc une notion qui s'étend au delà des <math>(\mathbb{C}</math> ou <math>\mathbb{R}</math>)-espaces vectoriels. Par exemple, on peut définir des <math>\mathbb Q</math>-espaces vectoriels normés, mais aussi des <math>\mathbb{Q}_p</math>-espaces vectoriels normés, où les <math>\mathbb{Q}_p</math> désignent les corps p-adiques : définir les EVN avec cette généralité me paraît donc tout à fait dangereux. En revanche, parler de <math>\mathbb Q</math>-espaces vectoriels normés permet d'éclairer certains résultats, qui sont vrais sur <math>\mathbb{C}</math> ou <math>\mathbb{R}</math> mais pas sur <math>\mathbb Q</math>, parce que la complétude interviens dans la preuve. (En dimension finie : La complétude bien sûr, mais aussi l'équivalence de toutes les normes, et probablement également la continuité automatique des applications linéaires (à vérifier)).

====Situer les EVN dans le paysage topologique====
La norme est une manière simple de répondre à la question : "Comment fabriquer une topologie sur un EV qui rende continues les opérations ?". Tout Espace vectoriel sur un corps muni d'une valeur absolu peut être muni d'une norme (Voici une idée de preuve donnée par Christophe Cheverry : Tout Espace vectoriel <math>E</math> admet une base algébrique <math>(b_i)_{i \in I}</math>, d'où <math>\forall x \in E, \exists J \subset I</math> fini tel que <math> x=\sum_{i \in J}x_i b_i </math>. On pose alors <math>\|x\|=max(x_i)</math> ) (note de Simon Billouet : plus précisément <math>|x\|=max(|x_i|)</math>. Noter quand même que l'existence d'une base algébrique est une conséquence de l'axiome du choix). Pour autant, toute topologie d'espace vectoriel n'est pas issue d'une norme. En contre-exemple, on peut penser, par décroissance de risque à mon avis, à de la topologie faible et à de la topologie d'espace vectoriel localement convexe (Issue d'une famille de semi-normes, en particulier pas forcément séparée : c'est peut être pas mal puisque les distributions sont au programme maintenant.) L'exemple le moins dangereux qu'on ait trouvé est <math>\mathcal L^p</math> muni de sa semi-norme, qui n'est pas séparé. (note de Simon Billouet : je suppose qu'il s'agit de l'exemple "consistant" le moins dangereux. Parce que sinon la topologie grossière convient : elle rend continue tout le monde, donc munit bien n'importe quel e.v. d'une structure d'e.v.t. Je retourne tout de suite voir LMB. :-) )

208 -- Espaces vectoriels normés, applications linéaires continues. Exemples.

2010-11-15T18:46:05Z

Simon : /* Situer les EVN dans le paysage topologique */

Quelques remarques qui me paraissent pertinentes : (Nil)

====Définir un espace vectoriel normé ?====
Dans [N. Bourbaki, Topologie Générale, IX, p. 29] on apprend qu'il suffit que l'espace vectoriel soit sur un corps muni d'une valeur absolue pour définir une norme. C'est donc une notion qui s'étend au delà des <math>(\mathbb{C}</math> ou <math>\mathbb{R}</math>)-espaces vectoriels. Par exemple, on peut définir des <math>\mathbb Q</math>-espaces vectoriels normés, mais aussi des <math>\mathbb{Q}_p</math>-espaces vectoriels normés, où les <math>\mathbb{Q}_p</math> désignent les corps p-adiques : définir les EVN avec cette généralité me paraît donc tout à fait dangereux. En revanche, parler de <math>\mathbb Q</math>-espaces vectoriels normés permet d'éclairer certains résultats, qui sont vrais sur <math>\mathbb{C}</math> ou <math>\mathbb{R}</math> mais pas sur <math>\mathbb Q</math>, parce que la complétude interviens dans la preuve. (En dimension finie : La complétude bien sûr, mais aussi l'équivalence de toutes les normes, et probablement également la continuité automatique des applications linéaires (à vérifier)).

====Situer les EVN dans le paysage topologique====
La norme est une manière simple de répondre à la question : "Comment fabriquer une topologie sur un EV qui rende continues les opérations ?". Tout Espace vectoriel sur un corps muni d'une valeur absolu peut être muni d'une norme (Voici une idée de preuve donnée par Christophe Cheverry : Tout Espace vectoriel <math>E</math> admet une base algébrique <math>(b_i)_{i \in I}</math>, d'où <math>\forall x \in E, \exists J \subset I</math> fini tel que <math> x=\sum_{i \in J}x_i b_i </math>. On pose alors <math>\|x\|=max(x_i)</math> ) (note de Simon Billouet : plus précisément <math>|x\|=max(|x_i|</math>. Noter quand même que l'existence d'une base algébrique est une conséquence de l'axiome du choix). Pour autant, toute topologie d'espace vectoriel n'est pas issue d'une norme. En contre-exemple, on peut penser, par décroissance de risque à mon avis, à de la topologie faible et à de la topologie d'espace vectoriel localement convexe (Issue d'une famille de semi-normes, en particulier pas forcément séparée : c'est peut être pas mal puisque les distributions sont au programme maintenant.) L'exemple le moins dangereux qu'on ait trouvé est <math>\mathcal L^p</math> muni de sa semi-norme, qui n'est pas séparé. (note de Simon Billouet : je suppose qu'il s'agit de l'exemple "consistant" le moins dangereux. Parce que sinon la topologie grossière convient : elle rend continue tout le monde, donc munit bien n'importe quel e.v. d'une structure d'e.v.t. Je retourne tout de suite voir LMB. :-) )

229 -- Fonctions monotones. Fonctions convexes. Exemples et applications.

2010-10-25T18:49:10Z

Simon : Page créée avec « Dans la liste des développements pour la leçon 229, il y a ceux qu'Antoine Marnat et moi-même (Simon Billouet) avons proposé : ellipsoïde de John-Löwner (développement... »

Dans la liste des développements pour la leçon 229, il y a ceux qu'Antoine Marnat et moi-même (Simon Billouet) avons proposé : ellipsoïde de John-Löwner (développement qui se recase dans plein de leçons, et pour être honnête on l'avait mis pour avoir un troisième développement...) ; théorème des trois droites d'Hadamard (que je trouve à la limite du hors-sujet, il faut en tout cas être très à l'aise sur l'holomorphie et particulièrement le principe du maximum pour le présenter) ; théorème de Helly et théorème de Dini.

Pour ceux qui trouvent que l'alliance "Helly/Dini" est artificielle, je suis d'accord. Une solution trouvée pour les fans de probas peut être trouvée en mettant un "Helly/Prokorov". Le théorème de Prokorov est une application de Helly qui dit qu'une suite de probabilités tendues sur <math>\mathbb{R}</math> (i.e. <math>\forall \epsilon, \exists K</math> compact tel que <math>\forall n, p_{n}(K)>1-\epsilon</math>) admet une sous-suite qui converge étroitement. Je ne ferai pas ce choix mais bon...

Enfin, un développement qui rentrerait plus dans la leçon est de développer la méthode du gradient (on peut même prendre un exemple si on est trop court). L'intérêt est que ça se recase aussi dans des leçons type "Convergence des suites numériques" pour des raisons que je n'expliciterai pas. LA référence sur le sujet est le bouquin de Ciarlet "Introduction à l'analyse numérique matricielle et à l'optimisation".