\documentclass[12pt,french]{article}

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\newtheorem{corol}{Corollaire}
\newtheorem{theorem}{Théorème}
\newtheorem{lemme}{Lemme}
\newtheorem{proposit}{Proposition}
\newtheorem{definit}{Définition}
\begin{document}

\begin{center}
\LARGE{Théorème de Benedicks}
\end{center}
\textbf{Notations} \\


Dans toute cette démonstration, notons :
\newline
 \begin{itemize}
\item pour $f \in L^1(\mathbb{R})$, $\hat{f}$ la transformée de Fourier de $f$ définie par $$\hat{f}(\xi) = \displaystyle \int_{\mathbb{R}}^{} f(x) e^{-2i \pi x \xi} \mathrm{d} x,$$ \
\item pour $A \in \mathcal{B}(\mathbb{R})$, |A| sa mesure de Lebesgue et $\mathbf{1}_{A}$ sa fonction caractéristique.
\end{itemize}


\begin{theorem}[Benedicks, 1985]
    Soit $f \in L^1(\mathbb{R})$ de  sorte que $A$ et $B$ soient deux ensembles boréliens de mesure finie, où $$A = \mathrm{supp} \ f \ \ \ \mathrm{et} \ \ \ B = \mathrm{supp} \ \hat{f} .$$ Alors $f$ est nulle presque partout.
    \end{theorem}
    
    \emph{Démonstration} : Soit $f \in L^1(\mathbb{R})$. On peut supposer, sans perte de généralités, que $A$ soit de mesure strictement plus petite que 1. En effet, quitte à remplacer $f$ par sa dilatation $f_{\lambda}$ où l'on a défini $f_{\lambda}(x) = f(\lambda x)$ avec $\lambda > |A|$, on peut se ramener au cas où $|A| < 1$. La mesure de $B$ reste finie, puisqu'un simple calcul montre que $$\widehat{f_{\lambda}}(\xi) = \frac{1}{\lambda} \hat{f} \left(\frac{\xi}{\lambda}\right).$$
     
     
      Notons $\mathbf{1}_{B}$ la fonction caractéristique de l'ensemble $B$, et considérons la fonction 1-périodique $\Phi$ définie sur $\mathbb{R}$ par $$ \Phi(\xi) = \sum_{k \in \mathbb{Z}}^{} \mathbf{1}_{B}(\xi + k).$$
    
    La suite de fonctions positives et mesurables $\left( \displaystyle \sum_{k=-n}^{k=n} \mathbf{1}_{B} (\cdot - n) \right)_{n \ge 0} $ étant croissante, le théorème de Beppo-Lévi assure que $$ \displaystyle \int_{0}^{1} \Phi(\xi) \mathrm{d} \xi = \sum_{k \in  \mathbb{Z}}^{} \displaystyle \int_{0}^{1} \mathbf{1}_{B}(\xi + k) \mathrm{d} \xi = \sum_{k \in \mathbb{Z}}^{} \int_{k}^{k+1} \mathbf{1}_{B}(\xi) \mathrm{d} \xi = \displaystyle \int_{\mathbb{R}}^{} \mathbf{1}_{B}(\xi) \mathrm{d} \xi = |B| < + \infty $$
    Nécessairement, la fonction $\Phi$ est finie presque partout. Ainsi, la série définissant $\Phi$ n'étant constituée que des valeurs zéro ou un, on en déduit que pour presque tout $\xi_{0} \in \mathbb{R}$, $\mathbf{1}_{B}(\xi_{0} + k) \not= 0$ seulement pour un nombre fini d'entiers $k$. Puisque $\hat{f} = \hat{f} \mathbf{1}_{B}$, il en découle la propriété suivante (que nous appellerons (*)) : $$ \mathrm{Pour\ presque\ tout} \ \xi_{0} \in \mathbb{R}, \hat{f}(\xi_{0} + k) \not= 0 \ \mathrm{seulement\ pour\ un\ nombre\ fini\ d'entiers} \ k.$$ 
    
  Fixons $\xi_{0} \in \mathbb{R}$ vérifiant la propriété (*) et considérons la série de fonctions 1-périodique, notée $g$, définie sur $\mathbb{R}$ par  $$g(x) = \sum_{k \in \mathbb{Z}}^{} e^{-2 i \pi \xi_{0}(x + k) } f(x + k).$$
  L'ensemble $A$ étant de mesure finie, par les mêmes raisons que précédemment, on peut démontrer que pour presque tout $x \in \mathbb{R}$, $f(x + k) \not= 0$ seulement pour un nombre fini d'entiers $k$, ce qui montre que la somme $g$ est finie presque partout. Démontrons quelques propriétés associées à la fonction $g$, à savoir : \newline \newline  \hspace*{2cm} (i) $g \in L^1(\mathbb{T})$ où $\mathbb{T} = \mathbb{R}/\!\raisebox{-.65ex}{\ensuremath{\mathbb{Z}}}.$ 
  \newline \newline En effet, pour $n \in \mathbb{N}^{*}$, on a : \[ \begin{aligned}
   \displaystyle \int_{0}^{1} \left| \sum_{k=-n}^{k=n} e^{-2 i \pi \xi_{0}(x + k) } f(x + k) \right| \mathrm{d} x &\le \sum_{k=-n}^{k=n} \displaystyle \int_{0}^{1} \left| f(x +  k) \right| \mathrm{d} x \\ &= \sum_{k=-n}^{k=n} \displaystyle \int_{k}^{k+1} \left| f(x) \right| \mathrm{d} x \end{aligned}  \] et la dernière somme converge lorsque $n \rightarrow + \infty$ vers $\|f\|_{1}$  puisque $f \in L^1(\mathbb{R})$. \\ Dès lors que $g \in L^1(\mathbb{T})$, il est licite de calculer ses coefficients de Fourier (notés $c_{k}(g)$ pour $k$ entier), à savoir : \newline \newline  \hspace*{2cm} (ii) pour tout $k \in \mathbb{Z}$, $c_{k}(g) =  \hat{f}(\xi_{0} + k)$.  \newline \newline En effet, pour tout $k \in \mathbb{Z}$ : 
   \[ \begin{aligned} c_{k}(g) &=  \displaystyle \int_{0}^{1} \sum_{m \in \mathbb{Z}}^{} e^{-2 i \pi \xi_{0}(x + m) } f(x + m) e^{-2 i \pi k x} \mathrm{d} x. \end{aligned}  \] La série apparaissant dans la définition de $c_{k}(g)$ étant presque partout composée d'un nombre fini de termes, il vient :
    \[ \begin{aligned} c_{k}(g) &=  \sum_{m \in \mathbb{Z}}^{}  \displaystyle \int_{0}^{1} e^{-2i \pi \xi_{0}(x + m) } f(x + m) e^{-2i \pi k x} \mathrm{d} x \\ &=  \sum_{m \in \mathbb{Z}}^{} \displaystyle \int_{m}^{1+m} e^{-2 i \pi \xi_{0}y } f(y) e^{-2 i \pi k y} e^{2 i \pi k m} \mathrm{d} y \\ &=  \displaystyle \int_{\mathbb{R}}^{} f(y) e^{-2 i \pi (k+\xi_{0})y} \mathrm{d} y \\ &= \hat{f}(\xi_{0} + k). \end{aligned} \]
    Enfin, la dernière propriété associée à $g$ que nous allons démontrer est la suivante : \newline \newline  \hspace*{2cm} (iii) $\left| \{ x \in [0,1], g(x) \not= 0 \} \right| < 1.$ \newline \newline En effet, on a les inclusions suivantes :  $$ \{ x \in [0,1], g(x) \not= 0 \} \subset \bigcup_{k \in \mathbb{Z}} \{ x \in [0,1], f(x - k) \not= 0 \} \subset \bigcup_{k \in \mathbb{Z}} A \cap [k,k+1].  $$
    La propriété de $\sigma$ sous-additivité de la mesure de Lebesgue assure que
    
    \[ \begin{aligned}  \left| \{ x \in [0,1], g(x) \not= 0 \} \right| &\le \sum_{k \in \mathbb{Z}}^{} |A \cap ([k,k+1])| \\ &= |A|     \end{aligned}.  \] Ayant supposé que $|A| < 1$, on a le résultat voulu. \newline \\ Finalement, soit $\xi_{0} \in \mathbb{R}$ de sorte que $\hat{f}(\xi_{0} +k) \not= 0$ seulement pour un nombre fini d'entiers $k$.
    La propriété (ii) fournit le développement en série de Fourier suivant sur [0,1] : $$ g(x) = \displaystyle \sum_{k \in \mathbb{Z}}^{} \hat{f}(\xi_{0} +k) e^{2 i \pi k x}.$$
   Cette somme étant finie, $g$ est alors un polynôme trigonométrique. Seulement, d'après la propriété (iii), ce polynôme trigonométrique s'annule sur un ensemble de mesure strictement positive, ce qui implique que $ g$ est le polynôme trigonométrique nul. On en déduit que, pour presque tout $\xi_{0} \in \mathbb{R}$ et pour tout $k \in \mathbb{Z}$, $\hat{f}(\xi_{0} + k) = 0$, donc $\hat{f} = 0$ presque partout. Puis, d'après la formule d'inversion de Fourier ($\hat{f}$ étant évidemment intégrable), $f=0$ presque partout, ce qui prouve le théorème de Benedicks.  $\qquad \Box $ \\
\newline \newpage
\textbf{Remarques} \\
\newline
\textbf{1}. Le théorème reste vrai pour $f \in L^p(\mathbb{R})$ ($1 \le p \le \infty$) puisque $L^p(A) \subset L^1(A)$ si $A$ est de mesure finie. \\
\newline
\textbf{2}. En revanche, le théorème est faux dans l'espace des distributions tempérées $\mathcal{S}'(\mathbb{R})$. En effet, considérons la distribution $$T = \sum_{n \in \mathbb{Z}} \delta_{n}$$ où $\delta_{n}$ désigne la masse de Dirac en $n$. On a bien $T \in \mathcal{S}'(\mathbb{R})$ puisque pour tout $f \in \mathcal{S}(\mathbb{R})$, $$ \langle T,f \rangle = \sum_{n \in \mathbb{Z}} f(n) = \sum_{n \in \mathbb{Z}} \frac{(1 + n^2)f(n)}{1+n^2}. $$ 
D'où, $$ \langle T,f \rangle \le C \cdot \| (1+x^2) f \|_{\infty} \ \ \mathrm{avec} \ \ C = \sum_{n \in \mathbb{Z}} \frac{1}{1 + n^2} < \infty$$ ce qui montre que $T \in \mathcal{S}'(\mathbb{R})$. 

Par ailleurs, on a $\mathrm{supp} \ T = \mathbb{Z}$, donc le support de $T$ est de mesure nulle (à fortiori de mesure finie). Notons $\hat{T}$ la transformée de Fourier de $T$. Pour $f \in \mathcal{S}(\mathbb{R})$, on a $$\langle \hat{T},f \rangle = \langle T,\hat{f} \rangle = \sum_{n \in \mathbb{Z}} \hat{f}(n).$$

Pour cette définition de la transformée de Fourier, la formule sommatoire de Poisson s'écrit $$  \sum_{n \in \mathbb{Z}} \hat{f}(n) =  \sum_{n \in \mathbb{Z}} f(n) $$ ce qui implique que $$ \langle \hat{T},f \rangle = \sum_{n \in \mathbb{Z}} f(n) = \langle T,f \rangle,$$ c'est-à-dire $\hat{T} = T$. Le support de $\hat{T}$ est donc le même que celui de $T$, à savoir $\mathbb{Z}$, ensemble de mesure finie. On ne peut donc pas étendre le théorème de Benedicks à l'espace des distributions tempérées $\mathcal{S}'(\mathbb{R})$.
\newline


{\large \textbf{Références}} \\
\newline
M. BENEDICKS \emph{On Fourier Transforms of Functions Supported on Sets of Finite Lebesgue Measure}. J. Fourier Anal. Appl \textbf{106}, 180-183 (1985).
\end{document}