\documentclass[a4paper,11pt]{article}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[latin1]{inputenc}
\usepackage[francais]{babel}
\usepackage{array}
\usepackage{multirow}
\usepackage{amsfonts,amsmath,amssymb,amsthm,mathrsfs}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{geometry}
\addtolength{\textwidth}{2cm}
\addtolength{\oddsidemargin}{-1cm}
\addtolength{\topmargin}{-1cm}
\addtolength{\textheight}{2.5cm}
\title{Théorème de Brouwer en dimension 2}
\author{}
\date{}

\theoremstyle{plain}
\newtheorem*{lem}{Lemme}

\theoremstyle{plain}
\newtheorem*{thm}{Théorème}

\begin{document}

\maketitle

\begin{thm}
Soit $D$ le disque unité fermé de $\mathbb{R}^2$. Toute application continue $f: D \rightarrow D$ admet un point fixe.
\end{thm}

On identifie $\mathbb{R}^2$ à $\mathbb{C}$, et on note L la détermination principale du logarithme sur $\mathbb{C} \setminus \mathbb{R}^{-}$. Soit $K$ un compact de $\mathbb{C}$. On désigne par $\mathcal{C}_K$ le groupe multiplicatif des fonctions définies sur $K$ à valeurs dans $\mathbb{C}^*$ et par $\mathcal{E}_K$ le sous-groupe des exponentielles de fonctions continues de $K$ dans $\mathbb{C}$. La topologie considérée sur $\mathcal{C}_K$ est celle de la convergence uniforme.

\bigskip

\begin{lem}
Soit $G$ un groupe topologique et $H$ un sous-groupe de $G$ contenant un voisinage de $e$. Alors $H$ est ouvert et fermé, en particulier $H$ contient la composante connexe de $e$.
\end{lem}

Montrons que $\mathcal{E}_K$ contient un voisinage de $1$. Soit $f$ dans $\mathcal{C}_K$ telle que $\left\| f - 1 \right\| < 1$. On a alors $f = e^g$ avec $g = L(f)$, et donc $f \in \mathcal{E}_K$. En remarquant que $\mathcal{E}_K$ est connexe et en utilisant le lemme, on obtient que $\mathcal{E}_K$ est la composante connexe de $1$ dans  $\mathcal{C}_K$.

On suppose désormais que $K$ est étoilé par rapport à zéro. Soit $f \in \mathcal{C}_K$. Pour $t \in [0,1]$, on note $f_t : K \rightarrow \mathbb{C}^*$, définie par $f_t(z)=f(tz)$. Alors $t \mapsto f_t$ est un chemin reliant $f(0)$ à $f$ dans $\mathcal{C}_K$. La connexité par arcs de $\mathbb{C}^*$ assure l'existence d'un chemin reliant $f(0)$ à $1$ dans $\mathbb{C}^*$, ce qui nous permet d'affirmer que $\mathcal{C}_K$ est connexe. D'après ce sui précède on déduit que $\mathcal{E}_K = \mathcal{C}_K$.

\bigskip

Soit désormais $f$ une fonction continue de $D$ dans $\mathbb{C}$ dont la restriction à $S^1$ est impaire. Montrons que $f$ s'annule dans $D$. Si cela n'était pas le cas, $f$ serait élément de $\mathcal{C}_D = \mathcal{E}_D$, et donc $f=e^{g}$ avec g continue de $D$ dans $\mathbb{C}$. Pour tout $z$ dans $S^1$, on a
\[ -1 = e^{g(z)-g(-z)} \]
et la connexité se $S^1$ garantit l'existence de $k \in \mathbb{Z}$ tel que:
\[ \forall z \in S^1 \enskip g(z)-g(-z) = (2k+1)i \pi. \]
L'imparité de la fonction du membre de gauche fournit une contradiction.

\bigskip

Achevons la démonstration du théorème. Supposons par l'absurde l'existence d'une fonction continue $\varphi: D \rightarrow D$ sans point fixe. A tout $z \in S^1$ on associe le point $r(z)$ d'intersection de $S^1$ et de la demi-droite d'origine $\varphi(z)$ et passant par $z$. L'application $r$ envoie $D$ sur $S^1$, en induisant l'identité sur $S^1$. La continuité de $r$ est assurée par la formule
\[ r(z) = t(z)z + (1-t(z))\varphi(z), \]
où $t(z)$ est l'unique racine positive de l'équation de degré 2
\[ \left| tz + (1-t)\varphi(z) \right|^2 = 1. \]
On a ainsi construit une rétraction de $D$ sur $S^1$, ce qui est impossible d'après ce qui précède.



  
\end{document}