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\title{Caratheodory et un corollaire}

\begin{document}

\maketitle

\begin{abstract}
$X\subset \mathbb{R}^n$, alors tout point de $\mathcal{C}(X)$ est barycentre de $n+1$ points. On en déduit que l'enveloppe convexe d'un compact est compact.
\end{abstract}

Soit $x=\sum_1^p\lambda_ix_i$, supposons $p>n+1$ et montrons qu'on peut se débarasser d'un $x_i$. Par cardinalité, $(x_2-x_1,\dots,x_p-x_1)$
est liée donc $\sum\alpha_i(x_i-x_1)=0$, notons $\alpha_1=-\sum\alpha_i$, alors $\forall t\in\mathbb{R}$
\[x=\sum_1^p(\lambda_i+t\alpha_i)x_i\]

En prenant $\tau=\min\{-\frac{\lambda_i}{\alpha_i}\}$ et $\mu_i=\lambda_i+\tau\alpha_i$ on a une combinaison convexe, et on s'est débarassé d'un $x_i$ au moins.

\bigskip

La compacité de $\mathcal{C}(X)$ découle de la compacité du simplexe de $\mathbb{R}^{n+1}$ et de la continuité de
\begin{eqnarray*}
 S^{n+1}\times X^{n+1} & \rightarrow & \mathbb{R}^n\\
(\lambda_i)\times(x_i) & \mapsto & \sum_{i=1}^p \lambda_ix_i
\end{eqnarray*}

\section*{Références}

Francinou, Gianella, Nicolas, "oraux X-ENS algèbre tome 3"


\end{document}
