\documentclass[fleqn,10pt]{article} %\documentclass[leqno]{report} %\documentclass[10pt]{article} \setlength{\parindent}{0cm}%Pas d'indentation au debut des nouveaux paragraphes \usepackage[all]{xy}%pour les diagrammes commutatifs \usepackage{times} \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage[cp1252]{inputenc} \usepackage[frenchb]{babel} \usepackage{array} \usepackage{amsmath} \usepackage{amssymb} \usepackage{amsthm} \usepackage{graphicx} \usepackage{enumerate} \bibliographystyle{plain} \usepackage[a4paper,text={16cm,23cm}]{geometry}%text={textwidth,textheight} \usepackage[nocut,leftmargin=0.5cm]{thmbox} \newtheorem{theo}{Theorème} \newtheorem{defi}{Définition} \newtheorem{prop}{Proposition} \newtheorem{coro}{Corollaire} \newtheorem{lemm}{Lemme} \newtheorem{conj}{Conjecture} \DeclareMathOperator{\Vv}{| \! | \! |} \DeclareMathOperator{\indpt}{\perp \! \! \! \! \perp} \DeclareMathOperator{\indic}{1\!\!\mathbb{I}} \DeclareMathOperator{\intg}{[ \! [} \DeclareMathOperator{\intd}{] \! ]} \newcommand*{\N}{\mathbb{N}} \newcommand*{\B}{\mathbb{B}} \newcommand*{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand*{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand*{\R}{\mathbb{R}} \newcommand*{\C}{\mathbb{C}} \newcommand*{\K}{\mathbb{K}} \newcommand*{\E}{\mathbb{E}} \newcommand*{\F}{\mathbb{F}} \newcommand*{\e}{\text{e}} \newcommand*{\MnR}{\mathcal M_n(\R)} \newcommand*{\MnC}{\mathcal M_n(\C)} \newcommand*{\GlnR}{Gl_n(\R)} \newcommand*{\GlnC}{Gl_n(\C)} \newcommand*{\SnR}{S_n(\R)} \newcommand*{\SnpR}{S_n^{+}(\R)} \newcommand*{\SnppR}{S_n^{++}(\R)} \newcommand*{\OnR}{\mathcal O_n(\R)} \newcommand*{\HnC}{\mathcal H_n(\R)} \newcommand*{\HnpC}{\mathcal H_n^{+}(\R)} \newcommand*{\HnppC}{\mathcal H_n^{++}(\R)} \newcommand*{\UnC}{U_n(\C)} \newcommand*{\Var}{\text{Var}} \newcommand*{\Cov}{\text{Cov}} \newcommand*{\Id}{\text{Id}} \newcommand*{\diag}{\text{diag}} \newcommand*{\Vol}{\text{Vol}} \newcommand*{\Aut}{\text{Aut}} \newcommand*{\ord}{\text{ord}} \newcommand*{\Vect}{\text{Vect}} \begin{document} \begin{center} \begin{huge} Théorème de \textsc{Cartan-Dieudonné}\\ \end{huge} \vspace{1cm} Florian \textsc{Bouguet}\\ \end{center} \underline{Références :} \begin{itemize} \item \textsc{Cognet} : Algèbre bilinéaire \item \textsc{Tauvel} : Géométrie (pour la fin)\\ \end{itemize} Il existe quantité de théorèmes de \textsc{Cartan-Dieudonné}. En fait, il s'agit en gros de montrer que les isométries sont engendrées par des réflexions et éventuellement de majorer leur nombre. On va faire un peu mieux ici.\\ \vspace{1cm} Quelques petits rappels : \begin{itemize} \item l'ensemble des isométries vectorielles d'un espace vectoriel $E$ est $\mathcal O(E)$ ; il s'agit de l'ensemble des applications linéaires conservant le produit scalaire \item on appelle réflexion une symétrie orthogonale par rapport à un hyperplan \item par convention, $\Id$ est le produit de 0 réflexions \end{itemize} \begin{theo}[de \textsc{Cartan-Dieudonné} vectoriel] Soient $E$ un espace vectoriel euclidien de dimension finie n et $f\in\mathcal O(E)$\\ Notons $F=\ker(f-\Id)$ et $p(f)=n -\dim F$ la codimension de l'espace des invariants de $f$\\ Alors $f$ s'écrit comme produit de $p(f)$ réflexions, et on ne peut pas faire moins. \end{theo} \underline{Preuve :}\\ On va raisonner par récurrence sur $p(f)$ $\blacktriangleright$ \underline{si $p(f)=0$}\\ Pas de problème ici, cela signifie que $f=\Id$ et donc $f$ est le produit de 0 réflexions. $\blacktriangleright$ \underline{si $p(f)\geq1$}\\ Supposons que toute isométrie $g$ telle que $p(g)