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\newtheorem{defi}{Définition}%[section]
\newtheorem{prop}{Proposition}%[section]
\newtheorem{coro}{Corollaire}%[section]
\newtheorem{lemm}{Lemme}%[section]
\newtheorem{conj}{Conjecture}%[section]


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\begin{document}
\begin{center}
\begin{huge}
Critère de Weyl\\
\end{huge}
Florian \textsc{Bouguet}\\
\end{center}

\vspace{1cm}

\begin{defi}[Suite équirépartie]
Soit $(x_n)_{n\geq 1}$ une suite à valeurs dans $[0,1]$.\\
Pour $0\leq a\leq b\leq 1$, notons $N_n(a,b)=\sharp \{k\in \intg 0,1\intd / x_k\in [a,b]\}$.\\
On dit que $(x_n)$ est équirépartie si $\frac 1n N_n(a,b) \to b-a$.
\end{defi}

\begin{prop}[Critère de Weyl]
Soit $(x_n)_{n\geq 1}$ une suite à valeurs dans $[0,1]$.\\
On a équivalence entre 
\begin{enumerate}
	\item $(x_n)$ équirépartie.
	
	\item $\forall f\in \mathcal C^0([0,1],\R)$ 1-périodique,
	\[ \lim_{n \to \infty} \frac 1n \sum_{k=1}^n{f(x_k)}= \int_0^1f \]
	
	\item $\forall p\in \Z$,
	\[ \lim_{n \to \infty} \frac 1n \sum_{k=1}^n{\e^{2i\pi px_k}}=0 \]
\end{enumerate}
\end{prop}


\subsection*{Démonstration :}

Commençons par remarquer que, $\forall a \leq b$,
\[ \frac 1n N_n(a,b) = \frac 1n \sum_{k=1}^n{\1_{[a,b]}(x_k)} \to \int_0^1{\1_{[a,b]}} =b-a \]
Montrer qu'une suite est équirépartie est équivalent à montrer 2) ou 3), non pas pour des fonctions continues périodiques ou des exponentielles, mais pour des indicatrices. La démonstration se ramène donc à approcher ou encadrer des fonctions par des fonctions d'un autre type, pour passer d'un cas à l'autre.\\

\underline{1) $\Rightarrow$ 2) :}\\
Soit $\varphi : [0,1]\to\R$, étagée. $\varphi$ est combinaison linéaire (finie !) d'indicatrices donc 
\[ \lim_{n \to \infty} \frac 1n \sum_{k=1}^n{\varphi(x_k)}= \int_0^1\varphi \]

Soit $f\in \mathcal C^0([0,1],\R)$ 1-périodique, soit $\varepsilon>0$.\\

Il existe $\varphi$ étagée telle que $\|f-\varphi\|_\infty<\varepsilon$.\\
$\exists n_0$ tel que $\forall n\geq n_0$, $ \left|\frac 1n \sum_{k=1}^n{\varphi(x_k)}- \int_0^1\varphi\right| <\varepsilon$.
\begin{eqnarray*}
\left|\frac 1n \sum_{k=1}^n{f(x_k)}- \int_0^1f\right| & \leq & \left|\frac 1n \sum_{k=1}^n{f(x_k)-\varphi(x_k)}\right| +\left|\frac 1n \sum_{k=1}^n{\varphi(x_k)}- \int_0^1\varphi\right| +\left| \int_0^1{\varphi -f}\right| \\
& \leq & \frac1n n\varepsilon + \varepsilon + \int_0^1\varepsilon\\
& \leq & 3\varepsilon
\end{eqnarray*}

Donc 2).\\

\underline{2) $\Rightarrow$ 1) :}\\
Soient $0\leq a\leq b\leq 1$, soit $\varepsilon >0$. On se trouve dans l'un des trois cas suivants, et l'on peut encadrer $f=\1_{[a,b]}$ de la manière suivante :\\
\begin{center}
\includegraphics[width=0.32\textwidth]{Cas1.jpg}
\includegraphics[width=0.32\textwidth]{Cas2.jpg}
\includegraphics[width=0.32\textwidth]{Cas3.jpg}\\
\end{center}
On a $\varphi\leq f\leq \psi$. On a donc $\forall n\in\N^*$,
\[ \frac 1n \sum_{k=1}^n{\varphi(x_k)} \leq \frac 1n \sum_{k=1}^n{f(x_k)} \leq \frac 1n \sum_{k=1}^n{\psi(x_k)} \]

On a $\int_0^1\varphi=1-a-\varepsilon$ donc 
\[\liminf_{n\to\infty} \frac 1n \sum_{k=1}^n{f(x_k)} \geq 1-a-\varepsilon \]
On a également $\int_0^1\psi=1-a+\varepsilon$ donc 
\[\limsup_{n\to\infty} \frac 1n \sum_{k=1}^n{f(x_k)} \leq 1-a+\varepsilon \]

Ces égalités étant vérifiées pour tout $\varepsilon >0$, on en déduit 1).\\

\underline{2) $\Rightarrow$ 3) :}\\
Soit $p\in \Z$. Le cas $p=0$ est évident, supposons $p\neq 0$.\\
2) étant vraie pour toute fonction continue périodique, elle est vérifiée pour $x\mapsto \cos(2i\pi p x)$ et $x\mapsto \sin(2i\pi p x)$. En écrivant
\[\e^{2i\pi p x}=\cos(2i\pi p x) +i\sin(2i\pi p x) \]
on obtient immédiatement 3).\\

\underline{3) $\Rightarrow$ 2) :}\\
3) étant vérifiée, on déduit que la relation $\lim_{n \to \infty} \frac 1n \sum_{k=1}^n{\varphi(x_k)}= \int_0^1\varphi$ est vraie pour tout polynôme trigonométrique (par combinaison linéaire).\\

Soit $f\in \mathcal C^0([0,1],\R)$ 1-périodique, soit $\varepsilon>0$.\\

Par le théorème de Weierstrass trigonométrique, il existe $\varphi$ polynôme trigonométrique tel que $\|f-\varphi\|_\infty<\varepsilon$.\\

On peut alors reprendre mot pour mot la démonstration du cas \underline{1) $\Rightarrow$ 2)}.



\subsection*{Remarque}
On peut aussi montrer que 2) reste vraie dans le cas des fonctions continues (pas forcément périodiques). On peut en effet encadrer une fonction continue par deux fonctions continues périodiques, quasiment de la même manière que dans le cas \underline{2) $\Rightarrow$ 1)}. Cela peut constituer un bon complément pour finir le développement, sinon il s'agira probablement d'une question de la part du jury.












































\end{document}