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\theoremstyle{remark}
\newtheorem*{remarque}{Remarque}

\begin{document}
\title{Une famille d'endomorphismes diagonalisables qui commutent est codiagonalisable} 
\date{2012-2013}
\maketitle

\begin{prop}
Soit $E$ un espace vectoriel de dimension finie.

Soit $(u_i)_{i\in I}$ une famille d'endomorphismes de $E$ diagonalisables.

Alors $(u_i)_{i\in I}$ est codiagonalisable (\emph{i.e.} il existe une base commune de diagonalisation) si et seulement si les $u_i$ commutent deux à deux.
\end{prop}

\begin{proof}
~~
\begin{itemize}
	\item[$\Rightarrow$ :] Il suffit de l'écrire en terme de matrices.
	\item[$\Leftarrow$ :] Procédons par récurrence sur la dimension $n$ de $E$.
	
	\begin{itemize}
	\item Si $n=1$, c'est évident.
	\item On suppose le résultat vrai pour les espaces de dimension strictement inférieure à $n$.
	
	Si tous les $u_i$ sont des homothétie, alors le résultat est évident. Sinon, soit $j\in I$ tel que $u_j$ ne soit pas une homothétie. Puisque $u_j$ est diagonalisable, on a :
	
	\[E=\bigoplus_{\lambda\in Sp(u_j)}\ker(u_j-\lambda\text{id})\]
	
	Chacun des sous-espaces propres $E_\lambda$ de $u_j$ est de dimension strictement inférieure à $n$ car $u_j$ n'est pas une homothétie. De plus, les $u_i$ commutent avec $u_j$ donc $E_\lambda$ est stable par tous les $u_i$ et ${u_i}_{|E_\lambda}$ est diagonalisable pour tout $\lambda$.
	
	On peut donc appliquer l'hypothèse de récurrence à $({u_i}_{|E_\lambda})_{i\in I}$ pour tout $\lambda\in Sp(u_j)$, ce qui donne une base commune de diagonalisation des ${u_i}_{|E_\lambda}$ pour tout $\lambda$ et donc une base commune de diagonalisation des $u_i$ par réunion de ces bases.
\end{itemize}
\end{itemize}
\end{proof}

\begin{remarque}
Cette démonstration s'adapte pour montrer qu'une famille d'endomorphismes trigonalisables qui commutent est cotrigonalisable. Il suffit de prendre un sous-espace propre d'un endomorphisme qui n'est pas une homothétie et la stabilité de ce sous-espace propre par la famille d'endomorphismes donne immédiatement la forme triangulaire supérieure (par récurrence) sans parler de somme directe.
\end{remarque}
\end{document}