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\newtheorem*{thm}{Théorème}
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\date{}
\title{Théorème de l'élément primitif}
\begin{document}
\maketitle
Ce développement est issu de Francinou et Gianella, \emph{Exercices de mathématiques pour l'agrégation}. \\
On admet ici que le groupe multiplicatif d'un corps fini est cyclique. \\
\begin{thm} Soit $L/K$ une extension finie de caractéristique nulle (ou une extension finie d'un corps fini). Alors, il existe $\alpha \in L$ tel que $L=K(\alpha)$.
\end{thm}
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\begin{proof}
Si $L$ est finie, Le groupe multiplicatif de $L$ est alors cyclique. Soit $\alpha$ un de ses générateurs. Il est alors clair que $K(\alpha)=L$. \\
Si maintenant $L$ est de caractéristique nulle, on commence par supposer que $L=K[x,y]$. On note $\pi_x$ et $\pi_y$ les polynômes minimaux de $x$ et $y$. Soit enfin $M$ un corps de décomposition de $\pi_x \pi_y$. Dans $M$, on peut écrire
$$\pi_x = (X-x) \prod_{i=2}^m (X-x_i) \quad \text{et} \quad \pi_y=(X-y)\prod_{j=2}^n (X-x_j).$$ 
Puisque $\pi_x$ et $\pi_y$ sont irréductibles dans $L$ de caractéristique nulle, leurs racines dans $M$ sont simples donc les $x_i$ et les $y_j$ sont deux à deux distincts (et respectivement distincts de $x$ et de $y$). On considère alors l'ensemble (bien défini) $$\mathcal E = \left\{ \frac{x-x_i}{y-y_j} \right\}.$$
$\mathcal E$ a au plus $(m-1)(n-1)$ éléments. Comme $K$ est infini, il existe $t \in K\setminus \{0\}$ tel que $t\notin \mathcal E$, c'est-à-dire tel que $\forall i,j \; z=x+ty \neq x_i+ty_j$.

On considère alors $K'=K[z]$ et on note $F(X)=\pi_x (z-tX)$. Ainsi, $K\subset K'\subset L$. $\pi_x \in K'[X]$ et $z-tX \in K'[X]$, donc $F \in K'[X]$ par composition. Dans $M$, $F$ est scindé (car $\pi_x$ l'est) donc on peut écrire
$$F(X)=(z-tX-x) \prod_{i=2}^m (z-tX-x_i) = t(y-X)\prod_{i=1}^m (x-x_i+t(y-X)).$$
De par la définition de $t$, pour tout $j\geqslant 2$, $F(y_j) \neq 0$ donc $F \wedge \pi_y = (X-y)$ (dans $M$, donc dans $L$). En particulier, $X-y \in K'[X]$ donc $y\in K'$.\\
En reproduisant exactement le même raisonnement, on montre que $x\in K'$ donc $L=K'$ est monogène.

On va maintenant montrer le cas général par récurrence. On a vu le cas $n=2$. On suppose le résultat vrai pour une extension de degré $n-1$. Soit $L/K$ une extension finie de degré $n$ : $L=K(x_1,\cdots,x_n)$. On écrit alors $L=K(x_1,\cdots,x_{n-1})(x_n)$. Par hypothèse de récurrence, il existe $\alpha \in L$ tel que $K(x_1,\cdots,x_{n-1})=K(\alpha)$. Le cas $n=2$ permet alors de conclure.
\end{proof}
Remarque : si $K=\mathbb F_p(X,Y)$ et $K_0=\mathbb F_p(X^p,Y^p)$, $K/K_0$ n'est pas monogène. Pour le montrer, on commence par remarquer que $(X^iY^j)_{0 \leqslant i,j < p}$ est une base de $K/K_0$. On a aussi (Frobenius), pour tout $F\in \mathbb F_p[X,y]$, $F(X,Y)^p = F(X^p,Y^p)$. Si $K$ est monogène ($=K_0(\alpha)$), puisque $\alpha^p \in K_0$, $[K:K_0] \leqslant p$, contradiction (la base contient $p^2$ éléments).
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\begin{cor}
 Soit $L/K$ une extension finie (de caractéristique quelconque). Alors $L/K$ admet un nombre fini d'extensions intermédiaires si et seulement si $L/K$ est monogène.
\end{cor}
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\begin{proof}

\begin{itemize}
 \item[($\Rightarrow$)] Si $K$ est fini, $L$ est fini donc est une extension monogène. On supposera donc $K$ infini. Soient alors $a,b$ deux éléments quelconques de $L$. On va montrer que $K(a,b)/K$ est monogène. Pour tout $c\in K$, les extensions $K(a+cb)$ forment des extensions intermédiaires entre $K$ et $K(a,b)$. Puisqu'il n'y en a qu'un nombre fini et que $K$ est infini, il existe donc $c \neq c'$ tels que $K(a+cb)=K(a+c'b)$, c'est-à-dire en particulier que $a+c'b \in K(a+cb)$, donc que $a+c'b-(a+cb) = b(c'-c) \in K(a+cb)$, donc que $b\in K(a+cb)$. Alors, $a=a+cb-cb \in K(a+cb)$, ce qui montre que $K(a+cb)=K(a,b)$. 
La même récurrence que plus haut permet d'affirmer que $L$ est monogène.
\item[($\Leftarrow$)] Soit $M$ un corps intermédiaire de $L=K(\alpha)$ et soit $P,Q$ les polynômes minimaux de $\alpha$ respectivement sur $K$ et $M$. Alors $Q \mid P$. Soit $M'$ le sous-corps de $K$ engendré par les coefficients de $Q$. Évidemment, $M' \subset M$. Le polynôme minimal de $\alpha$ sur $M'$ est encore $Q$, donc $[L:M]=[L:M']=\deg(Q)$. Ainsi, $M=M'$. \\
Les corps intermédiaires sont donc engendrés par les différents facteurs (unitaires) de $P$ dans $L[X]$. Ceux-ci sont en nombre fini, ce qui conclut la démonstration.
\end{itemize}


\end{proof}

\end{document}
