\documentclass[fleqn,12pt]{article}
%\documentclass[10pt]{article}
\setlength{\parindent}{0cm}%Pas d'indentation au debut des nouveaux paragraphes



\usepackage{times}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[cp1252]{inputenc}
\usepackage[frenchb]{babel}
\usepackage{array}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{amsthm}
\usepackage{graphicx}
\bibliographystyle{plain}





\usepackage[a4paper,text={16cm,23cm}]{geometry}%text={textwidth,textheight}

\usepackage[nocut,leftmargin=0.5cm]{thmbox}
\newtheorem{theo}{Theorème}%[section]
\newtheorem{defi}{Définition}%[section]
\newtheorem{prop}{Proposition}%[section]
\newtheorem{coro}{Corollaire}%[section]
\newtheorem{lemm}{Lemme}%[section]
\newtheorem{conj}{Conjecture}%[section]


\DeclareMathOperator{\Vv}{| \! | \! |}
\DeclareMathOperator{\indpt}{\perp \! \! \! \! \perp}
\DeclareMathOperator{\indic}{1\!\!\mathbb{I}}
\DeclareMathOperator{\intg}{[ \! [}
\DeclareMathOperator{\intd}{] \! ]}
\newcommand*{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand*{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand*{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand*{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand*{\C}{\mathbb{C}}
\newcommand*{\K}{\mathbb{K}}
\newcommand*{\E}{\mathbb{E}}
\newcommand*{\F}{\mathbb{F}}
\newcommand{\e}{\text{e}}










\begin{document}
\begin{center}
\begin{huge}
L'ellipse de Steiner\\
\end{huge}
Florian \textsc{Bouguet}\\
\end{center}

\vspace{1cm}

\begin{theo}\label{thm1}
Soient $A(a)$, $B(b)$ et $C(c)$ trois points distincts non-alignés du plan affine. Si on note $P=(X-a)(X-b)(X-c)$ et $\omega_1$ et $\omega_2$ les racines de P', alors l'ellipse de foyers $F_1(\omega_1)$ et $F_2(\omega_2)$ tangente en un côté du triangle ABC est tangente à tous les côtés en leur milieu.
\end{theo}

Avant de démontrer le théorème proprement dit, nous allons introduire le lemme suivant :

\begin{lemm}[ de Poncelet]
Considérons une ellipse de foyers $F_1$, $F_2$ et un point $P$ extérieur à l'ellipse. Si on note $T_1$ et $T_2$ les points de tangences issus de P, alors on a
\[(PT_1,PF_1)=(PF_2,PT_2) \]
\end{lemm}

\subsection*{Démonstration du lemme de Poncelet}

\begin{center}
\includegraphics[width=0.5\textwidth]{Steiner1.jpg}\\
\end{center}

Notons $\sigma_{PF_i}$ et $\sigma_{PT_i}$ les symétries axiales respectives par rapport à $(PF_i)$ et $(PT_i)$. Montrer que $(PT_1,PF_1)=(PF_2,PT_2)$ revient à montrer que $\rho_1=\sigma_{PF_1} \circ \sigma_{PT_1} = \sigma_{PT_2} \circ \sigma_{PF_2}=\rho_2$. En effet, $\rho_1$ et $\rho_2$ sont des rotations de centre $P$\dots\\

$(PT_1)$ est tangente à l'ellipse en $T_1$, et donc, par définition, il s'agit de la bissectrice extérieure de l'angle $\widehat{F_1 T_1 F_2}$. Donc, si on note $F_1'$=$\sigma_{PT_1}(F_1)$, les points $F_2$, $T_1$ et $F_1'$ sont alignés dans cet ordre. De même, en notant $F_1''$=$\sigma_{PT_2}(F_1)$, les points  $F_2$, $T_2$ et $F_1''$ sont alignés dans cet ordre. L'idée est de calculer l'image de $F_1'$ par $\rho_1$ et $\rho_2$ est la même, à savoir $F_1$.

\begin{itemize}
	\item $\sigma_{PT_1}(F_1')=F_1$ par définition de $F_1'$. $\sigma_{PF_1}(F_1)=F_1$ de manière plutôt évidente, et donc $\rho_1(F_1')=F_1$
	\item $d(F_2,F_1')=d(F_2,T_1)+d(T_1,F_1')=d(F_2,T_1)+d(T_1,F_1)=2a$. De même, $d(F_2,F_1'')=2a$. On a donc $d(F_2,F_1')=d(F_2,F_1'')$. De plus, $d(P,F_1')=d(P,F_1)=d(P,F_1'')$. Donc $(PF_2)$ est la médiatrice de $[F_1'F_1'']$, et donc $\sigma_{PF_2}(F_1')=F_1''$. Enfin, par définition de $F_1''$, $\sigma_{PT_2}(F_1'')=F_1$. Donc $\rho_2(F1')=F_1$.
\end{itemize}

Donc $\rho_1=\rho_2$, CQFD.







\subsection*{Démonstration du théorème}


\begin{center}
\includegraphics[width=0.5\textwidth]{Steiner2.jpg}\\
\end{center}

Rappelons que les points $A$, $B$, $C$, $F_1$ et $F_2$ ont pour affixes respectives $a$, $b$, $c$, $\omega_1$ et $\omega_2$, et qu'on a noté $P=(X-a)(X-b)(X-c)$. On peut construire l'ellipse $\mathcal E$ de foyers $F_1$ et $F_2$ tangente au côté $[AB]$. Pour ce faire, on trace $F_1'$, symétrique de $F_1$ par rapport à $[AB]$ puis $T$, intersection de $(AB)$ et $(F_2F_1')$. On a alors un point de l'ellipse, nécessaire et suffisant pour construire $\mathcal E$. Cette construction est justifiée par le théorème de Gauss-Lucas, qui affirme que les points $F_1$ et $F_2$ sont contenus dans l'enveloppe convexe du triangle $ABC$, c'est-à-dire le triangle $ABC$.

\begin{center}
\includegraphics[width=0.4\textwidth]{Steiner3.jpg}\\
\end{center}



On doit maintenant montrer que $\mathcal E$ est tangente à tous les côtés en leurs milieux. Toute la démonstration repose sur le fait que $P'$ peut s'écrire de deux façons, à savoir :
\begin{eqnarray*}
P' & = & (X-a)(X-b) + (X-a)(X-c)+(X-b)(X-c)\\
   & = & 3(X-\omega_1)(X-\omega_2)
\end{eqnarray*}

\subsubsection*{Tangence en les côtés du triangle}

On va montrer que $[AC]$ est tangente à $\mathcal E$. Evaluons donc $P'$ en $a$ :
\begin{eqnarray*}
P'(a) & = & (a-a)(a-b) + (a-a)(a-c)+(a-b)(a-c) = (a-b)(a-c)\\
      & = & 3(a-\omega_1)(a-\omega_2)
\end{eqnarray*}

On a donc 
\[ \frac{a-b}{a-\omega_1} = 3\frac{a-\omega_2}{a-c}\]
D'où, par passage aux arguments, $(AB,AF_1)=(AF_2,AC)$. $(AC)$ est donc tangente à $\mathcal E$ par le lemme de Poncelet.\\

En calculant $P'(b)$, on montre exactement de la même manière que $(BC)$ est tangente à $\mathcal E$.


\subsubsection*{Tangence en les milieux}

On va maintenant montrer que la tangence s'effectue en les milieux des côtés. Notons $I$ le milieu de $[AB]$, d'affixe $\frac{a+b}{2}$. Evaluons $P'$ en ce nombre :

\begin{eqnarray*}
P'(\frac{a+b}{2}) & = & (\frac{a+b}{2}-a)(\frac{a+b}{2}-b) + (\frac{a+b}{2}-a)(\frac{a+b}{2}-c) + (\frac{a+b}{2}-b)(\frac{a+b}{2}-c)\\
                  & = & 3(\frac{a+b}{2}-\omega_1)(\frac{a+b}{2}-\omega_2)
\end{eqnarray*}

Puisque $\frac{a+b}{2}-a = - \left(\frac{a+b}{2} -b \right)$, on a

\[ (\frac{a+b}{2}-a)(\frac{a+b}{2}-b) = 3(\frac{a+b}{2}-\omega_1)(\frac{a+b}{2}-\omega_2) \]

A nouveau, par passage aux arguments on obtient que $(\overrightarrow{IA},\overrightarrow{IF_1})=(\overrightarrow{IF_2},\overrightarrow{IB})$. I est donc le point de tangence de $\mathcal E$ et $(AB)$.\\

Encore de la même manière, en évaluant $P'$ en les milieux de $[AC]$ et $[BC]$, on obtient la tangence en leurs milieux respectifs. CQFD.



\subsection*{Remarques}
On pourra s'interroger sur deux points importants de ce développement. Tout d'abord, le fait que $F_2$, $T_1$ et $F_1'$ soient alignés (seconde partie de la démonstration du lemme de Poncelet) n'est pas tout à fait trivial. Il s'agit d'une conséquence du fait que la tangente est la bissectrice extérieure de $\widehat{F_1T_1F_2}$ (l'écrire une fois permet de s'en convaincre).\\

De plus, le fait que $I$ vérifie $(\overrightarrow{IA},\overrightarrow{IF_1}) = (\overrightarrow{IF_2},\overrightarrow{IB})$ (fin de la démonstration du théorème) n'implique pas tout de suite que $I$ soit le point de tangence. Cependant, en notant $T$ ce fameux point de tangence sur $(AB)$, on peut conclure rapidement par l'absurde que $T$ et $I$ sont confondus.\\

Enfin, une des propriétés les plus intéressantes de l'ellipse de Steiner est qu'il s'agit de l'ellipse de volume maximal inscrite dans son triangle. C'est loin d'être une propriété triviale à montrer, et il peut être bon d'avoir une idée de sa démonstration (qui fait appel à des calculs en coordonnées barycentriques). On peut en trouver une preuve dans \emph{Mathematical Plums} de R. Honsberger (dans la partie de G.D. Chakerian appelée \emph{A Distorted View of Geometry}).




















\end{document}