\documentclass[a4paper,11pt]{article}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[latin1]{inputenc}
\usepackage[francais]{babel}
\usepackage{array}
\usepackage{multirow}
\usepackage{amsfonts,amsmath,amssymb,amsthm,mathrsfs}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{geometry}
\addtolength{\textwidth}{2cm}
\addtolength{\oddsidemargin}{-1cm}
\addtolength{\topmargin}{-1cm}
\addtolength{\textheight}{2.5cm}
\title{Surjectivité de l'exponentielle matricielle}
\author{}
\date{}

\theoremstyle{plain}
\newtheorem*{lem}{Lemme}

\begin{document}

\maketitle

On montre que la fonction $\exp : M_n(\mathbb{C}) \longrightarrow GL_n(\mathbb{C})$ est surjective.

\bigskip
\bigskip

\begin{enumerate}
	\item On commence par le:
	\begin{lem}
	Soit $G$ un groupe topologique et $H$ un sous-groupe de $G$ contenant un voisinage de $e$. Alors $H$ est ouvert et fermé, en particulier $H$ contient la composante connexe de $e$.
	\end{lem}
	\begin{proof}[Preuve]
	Si $V$ est un voisinage de $e$ dans $H$ et si $h \in H$, alors $hV$ est un voisinage de $h$ dans $H$ et donc $H$ est ouvert. L'égalité 
	\[ H^{c} = \bigcup_{g \notin H} gH \]
	montre que $H^{c}$ est ouvert en tant que réunion d'ouverts, et donc que $H$ est fermé, ce qui conclut.
	\end{proof}
	
\bigskip
\bigskip

  \item Soit $M \in M_n(\mathbb{C})$. L'application
  \[ \begin{aligned}
     \varphi : \mathbb{C}[M] & \longrightarrow \mathbb{C}[M]^{\times} \\
     X & \longmapsto \exp(X) \\
     \end{aligned}
   \]
  est bien définie (il y a plusieurs choses à dire ici) et est un morphisme de groupes. Montrons que $\varphi$ est de classe $\mathcal{C}^{1}$.
  \[
\begin{split}
\varphi(X+H) &= \exp(X+H) \\
&= \exp(X)\exp(H) \\
&= \exp(X) \left( I + H + \circ(\left\|H\right\|) \right) \\
&= \varphi(X) + \exp(X)H + \circ(\left\|H\right\|).
\end{split}
\]
Donc $\varphi$ est différentiable en tout $X \in  \mathbb{C}[M]$ et $D\varphi_{X}$ s'identifie à la multiplication par $\exp(X)$. L'égalité \[ \left|\left\| D\varphi_{X} - D\varphi_{Y} \right|\right\| = \left\| \exp(X) - \exp(Y) \right\| \]
montre que $D\varphi$ est continue, donc $\varphi$ est bien de classe $\mathcal{C}^{1}$.

La différentielle de $\varphi$ en $0$ est l'identité donc, d'après le théorème d'inversion locale, $\varphi$ réalise un difféomorphisme entre un voisinage de $0$ dans $\mathbb{C}[M]$ et un voisinage de $I$ dans $\mathbb{C}[M]^{\times}$. Si $\mathbb{C}[M]^{\times}$ est connexe, le lemme nous permet alors d'affirmer que le morphisme $\varphi$ est surjectif. En particulier, si $M \in GL_n(\mathbb{C})$ alors il existe une matrice $X$ telle que $\exp(X)=M$.
	
\bigskip
\bigskip

  \item Il nous suffit donc de prouver que que $\mathbb{C}[M]^{\times}$ est connexe par arcs. Soient $A,B \in \mathbb{C}[M]^{\times}$. $P(z) = \det(zA+(1-z)B)$ est un polynôme non nul, donc l'ensemble de ses racines $\mathcal{N}$ est fini. $\mathbb{C}-\mathcal{N}$ est connexe par arcs donc il existe un chemin $\gamma$ dans $\mathbb{C}-\mathcal{N}$ reliant 0 à 1. Le chemin $\gamma(t)A + (1-\gamma(t))B$ relie alors $B$ à $A$ dans $\mathbb{C}[M]^{\times}$.
\end{enumerate}
\end{document}