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\newtheoremstyle{theoreme}{10pt}{10pt}{\itshape}{6pt}{\bfseries}{.}{\newline}{}

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\theoremstyle{remark}
\newtheorem*{remarque}{Remarque}

\begin{document}
\title{Théorème des fonctions implicites}
\date{2012-2013}
\maketitle

\qquad Référence : François Rouvière, \emph{Petit guide de calcul différentiel à l'usage de la licence et de l'agrégation (3e édition)}, Cassini, 2009, p. 259.

\bigskip
Dans toute la suite, on note $B_r:=B(0,r)\subset\mathbb R^n$ et $B_s:=B(0,s)\subset\mathbb R^p$.

\begin{thm}
Soit $U$ un voisinage ouvert de $(0,0)$ dans $\mathbb R^n\times\mathbb R^p$.\\
Soit $f:(x,y)\mapsto f(x,y)$ une application de classe $\mathcal C^1$ de $U$ dans $\mathbb R^p$.

On suppose $f(0,0)=0$ et $D_yf(0,0)$ inversible.

Alors il existe $r>0,s>0$ et un unique $\varphi:B_r\to B_s$ tels que :
\[(x\in B_r,y\in B_s,f(x,y)=0)\iff(x\in B_r,y=\varphi(x))\]
De plus, $\varphi$ est de classe $\mathcal C^1$ sur $B_r$.
\end{thm}

\begin{proof}
On note $A:=D_yf(0,0)$ et $F_x(y):=y-A^{-1}f(x,y)$. On a :
\[DF_x(y)=\text{Id}-A^{-1}D_yf(x,y)\]
Donc $DF_0(0)=0$ et $(x,y)\mapsto DF_x(y)$ est continue en $x$ et $y$, donc, pour des certains $r>0$ et $s>0$, on a $\|DF_x(y)\|\le \frac 12$ pour $x\in B_r,y\in B_s$.

On a :
\[F_x(y)=F_x(0)+(F_x(y)-F_x(0))\]
Donc par l'inégalité des accroissement finis, pour $x\in B_s,y\in B_r$, on a :
\[\|F_x(y)\|\le \|F_x(0)\|+\frac 12\|y\|\]
et $x\mapsto F_x(0)$ est continue donc, quitte à diminuer $r$, on a :
\[\|F_x(y)\|<s\]
Donc $F_x(\overline{B_s})\subset B_s$ pour $x\in B_r$.

$\overline{B_s}$ est complet donc, d'après le théorème du point fixe, il existe un unique $y\in\overline{B_s}$ tel que $F_x(y)=y$, \emph{i.e.} $f(x,y)=0$ et $y\in B_s$ car $F_x(y)=y$ et $F_x(\overline{B_s})\subset B_s$.

Donc on a bien ce qu'on voulait en posant $\varphi(x)=y$.

Montrons que $\varphi$ est de classe $\mathcal C^1$. Soit $x,x_0\in B_r$, on pose $y=\varphi(x),y_0=\varphi(x_0)$, on a :
\begin{align*}
y-y_0&=F_x(y)-F_{x_0}(y_0)\\
&=(F_x(y)-F_x(y_0))+(F_x(y_0)-F_{x_0}(y_0))\\
&=F_x(y)-F_x(y_0)-A^{-1}(f(x,y_0)-f(x_0,y_0))
\end{align*}
On a :
\[\|F_x(y)-F_x(y_0)\|\le\frac 12\|y-y_0\|\]
et :
\[\|f(x,y_0)-f(x_0,y_0)\|\le M\|x-x_0\|\]
où $\displaystyle M=\max_{\|x\|\le r}\|D_xf(x,y_0)\|$, d'où :
\[\|y-y_0\|\le 2M\|A^{-1}\|\|x-x_0\|\]
\emph{i.e.}
\[\|\varphi(x)-\varphi(x_0)\|\le C\|x-x_0\|\]
Donc $\varphi$ est lipschitzienne donc continue sur $B_r$.

$\|DF_x(y)\|\le \frac 12$ donc $\displaystyle\sum_{k\ge 0}(DF_x(y))^k$ converge vers l'inverse de $\text{Id}-DF_x(y)$, \emph{i.e.} l'inverse de $A^{-1}D_yf(x,y)$, donc $D_yf(x,y)$ est inversible.

$f$ est différentiable en $(x_0,y_0)$ donc :
\[0=f(x,y)-f(x_0,y_0)=D_xf(x_0,y_0).(x-x_0)+D_yf(x_0,y_0)+o(\|x-x_0\|+\|y-y_0\|)\]
De plus, $\varphi$ est lipschitzienne donc $o(\|x-x_0\|+\|y-y_0\|)=o(\|x-x_0\|)$. D'où :
\[\varphi(x)-\varphi(x_0)=-D_yf(x_0,y_0)^{-1}\circ D_xf(x_0,y_0).(x-x_0)+o(\|x-x_0\|)\]
\end{proof}
\end{document}