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\title{$\text{Ind}_\gamma$ est une fonction à valeurs entières, constante sur chaque composante connexe.}
\date{2013 -- 2014}
\begin{document}
\maketitle
\qquad Référence : Walter Rudin, \emph{Analyse réelle et complexe}, Dunod, 1998, p.247.
\begin{thm}
Soit $\gamma:[0,1]\to\CC$ un chemin de classe $\mathcal C^1$ par morceaux, $\Omega$ le complémentaire de $\gamma([0,1])$, et définissons
\[\text{Ind}_\gamma(z)=\frac 1{2i\pi}\int_\gamma\frac{\dt\zeta}{\zeta-z}\]
pour $z\in\Omega$.\\
La fonction Ind$_\gamma$ est à valeurs entières sur $\Omega$, constante sur chaque composante connexe de $\Omega$, nulle sur la composante connexe non bornée de $\Omega$.
\end{thm}
\begin{proof}
Tout d'abord, $\gamma([0,1])$ est compact donc inclus dans un disque borné $D$ dont le complémentaire $D^c$ est connexe. Par suite, $D^c$ est inclus dans l'une des composantes connexes de $\Omega$, ce qui montre que $\Omega$ a une unique composante connexe non bornée.

Soit $z\in\Omega$, alors
\begin{equation}
\text{Ind}_\gamma(z)=\frac 1{2i\pi}\int_0^1\frac{\gamma'(s)}{\gamma(s)-z}\dt s.
\label{eq:moneq}
\end{equation}
En posant la fonction
\[\varphi(t)=\exp\left(\int_0^t\frac{\gamma'(s)}{\gamma(s)-z}\dt s\right),\]
alors Ind$_\gamma(z)$ est entier si et seulement si $\varphi(1)=1$.

On a
\[\frac{\varphi'(t)}{\varphi(t)}=\frac{\gamma'(t)}{\gamma(t)-z}\]
sauf sur un ensemble fini $S$ où $\gamma$ n'est pas différentiable. On en déduit que $\varphi/(\gamma-z)$ est continue sur $[0,1]$ et de dérivée nulle sur $[0,1]\setminus S$. $S$ étant un ensemble fini, $\varphi/(\gamma-z)$ est constante sur $[0,1]$. De plus, $\varphi(0)=1$ donc
\[\varphi(t)=\frac{\gamma(t)-z}{\gamma(0)-z}.\]
De plus, $\gamma(0)=\gamma(1)$ donc $\varphi(1)=1$.

Puisque $\zeta-z\neq 0$ pour $z\in\Omega$ et $\zeta\in\gamma([0,1])$, Ind$_\gamma$ est holomorphe sur $\Omega$, donc continue. L'image d'un connexe par une fonction continue étant connexe, et Ind$_\gamma$ étant à valeurs entières, Ind$_\gamma$ est constante sur chaque composante connexe de $\Omega$.

Finalement, \eqref{eq:moneq} montre que $|\text{Ind}_\gamma(z)|<1$ pour $|z|$ suffisamment grand, d'où Ind$_\gamma(z)=0$ sur la composante non bornée de $\Omega$.
\end{proof}
\end{document}