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\title{Théorème de Lie-Kolchin}

\newtheorem{lem}{Lemme}

\begin{document}

\maketitle

\begin{abstract}
Tout sous-groupe connexe et résoluble de $Gl_n(\mathbb{C})$ est conjugué à un groupe de matrices triangulaires
\end{abstract}

\begin{lem}
 Une famille de matrices de $GL_n(\mathbb{C})$ commutant deux à deux est simultanèment triangulable
\end{lem}

\emph{Démo :} Par récurrence sur $n$ ; un élément qui n'est pas une homothétie a des sous-espaces propres stables par les autres.

\begin{lem}
 Si G est un sous-groupe connexe de $GL_n(\mathbb{C})$, son groupe dérivé l'est également.
\end{lem}

\emph{Démo :} Notons $S_m=\{g_1...g_m/g_i \text{ commutateurs}\}$. Par continuité de $(g_1,g_2)\mapsto g_1g_2g_1^{-1}g_2^{-2}$ et du produit,
chaque $S_m$ est connexe, et ils ont ${I_n}$ en commun donc $\cup S_m=D(G)$ est connexe.

\bigskip

\emph{Démo du Théorème :}
On montre le résultat par récurrence sur $n$ (il est vrai pour $n=1$).

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Si un sev $V$ non trivial est stabilisé par tous les éléments de $G$, dans une base de $V$ et d'un supplémentaire ceux-ci s'écrivent
$(_0^{g_1}_{g_2}^{*})$. L'image par le morphisme de groupe de $G$ dans $GL(V)$ donné par $g\mapsto g_1$ est un sous groupe résoluble connexe
de $GL(V)$, on a donc par récurrence une base de $V$ où tous les $g_1$ sont triangulaires, de même pour les $g_2$, ce qui règle la question.

\bigskip

Montrons que, lorsqu'il n'y a pas de tel sev, alors $n=1$. Raisonnons sur $\inf\{m/D^m(G)={I_n}\}$.

Si $m=1$, G est abélien, et d'après le premier lemme on dispose d'une base dans laquelle les éléments de $G$ sont triangulaires : le premier
vecteur est stable par $G$, donc est l'espace tout entier : $n=1$.

\bigskip

Pour $m>1$, notons $H=D^{m-1}(G)$. $H\lhd G$ et est commutatif - et donc triangulaire dans une certaine base. Soit $V$ le sev engendré par les vecteurs qui
sont propres pour tous les éléments de $H$ (différent de $\{0\}$ car il contient le premier élément de la base), montrons qu'il est stable
par $G$ : si $h\in H$, $g\in G$ et $v\inV$,
\[h(g(v))=gg^{-1}hg(v)\]
$g^{-1}hg\in H$ donc $\exists \lambda$ tel que $g^{-1}hg(v)=\lambda v$ et ainsi $h(g(v))=\lambda g(v)$, autrement dit $g(v)\in V\ \forall g\in G$.
Puisqu'aucun sev non triavial n'est stable par $G$, $V=\mathbb{C}^n$ et H est diagonal dans une base adapté.

\bigskip

Montrons que $H$ est dans le centre de $G$ : soit $h\in H$, $g\in G$, $g^{-1}hg$ est une matrice diagonale ayant les mêmes valeurs propres
que $h$, il n'y a qu'un nombre fini de telles matrices. Or par continuité de $g\mapsto g^{-1}hg$, l'orbite de $h$ par conjugaison est connexe.
Un ensemble fini connexe de $GL_n(\mathbb{C})$ ne peut être qu'un seul élément, autrement dit $<h>\lhd G$, et au final $H\subset Z(G)$.

\bigskip

En conséquence, un sous-espace propre d'un élément de $H$ est stable par tout élément de $g$ et donc égal à $\mathbb{C}^n$ tout entier, les
éléments de $H$ sont ainsi des homothéties $\lambda_h I_n$. Le déterminant d'un élément étant 1, les $\lambda_h$ sont des racines $n^{ième}$
de l'unité. $H$ est donc un sous-groupe fini et connexe, donc il est réduit à $I_n$, ce qui est une contradiction avec la minimalité de $m$.

\section*{Références}

Chambert-Loir, ``Algèbre Corporelle'' (ou : ``a field guide to algebra'') p.98

\end{document}
