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\newtheoremstyle{theoreme}{10pt}{10pt}{\itshape}{6pt}{\bfseries}{.}{\newline}{}

\theoremstyle{theoreme}
\newtheorem*{prop}{Proposition}
\newtheorem*{lemme}{Lemme}
\newtheorem*{cor}{Corollaire}
\newtheorem*{thm}{Théorème}

\theoremstyle{definition}
\newtheorem*{de}{Définition}
\newtheorem*{exe}{Exemple}

\theoremstyle{remark}
\newtheorem*{remarque}{Remarque}

\begin{document}
\title{Classification des groupes de pavage du plan}
\date{2012-2013}
\maketitle

\qquad Référence : Rémi Goblot, \emph{Thèmes de géométrie}, Masson, 1998, p.311.

\bigskip
On se place dans $P$ un plan affine euclidien et on considère $\vec P$ son plan vectoriel euclidien associé.

Un réseau est un sous-groupe additif $\mathcal R \subseteq \vec P$ ayant les propriétés :

\begin{itemize}
\item $\mathcal R$ engendre $\vec P$ comme espace vectoriel
\item Toute partie bornée de $\mathcal R$ est finie.
\end{itemize}

\begin{prop}
Les réseaux sont les sous-groupes additifs de $\vec P$ de la forme $\mathbb Z \vec u\oplus \mathbb Z\vec v$, $\vec u$ et $\vec v$ non colinéaires.

Soit $\mathcal R$ un réseau, $\vec u$ de norme minimum parmi les vecteurs non nuls de $\mathcal R$, $\vec v$ de norme minimum parmi les vecteurs non colinéaires à $\vec u$. Alors $\mathcal R=\mathbb Z \vec u\oplus \mathbb Z\vec v$.
\end{prop}

On note $T(P)$ le groupe des translations de $P$.\\
Un sous-groupe $G$ de $\text{Isom}(P)$ est un groupe de pavage si $T:=G\cap T(P)$ est formé des $t_{\vec w}$ où $\vec w$ décrit un réseau $\mathcal R$ de $\vec P$.

\begin{thm}
Soit $G$ un groupe de pavage inclus dans $\text{Isom}^+(P)$ (\emph{i.e.} $G$ est composé de déplacements).\\
Soit $T$ le sous-groupe des translations de $G$ et $\mathcal R$ le réseau associé.\\
On note $\overline G$ le groupe des rotations vectorielles de $G$.\\
Alors :
\begin{itemize}
\item $\overline G$ est cyclique d'ordre $n\in \{1,2,3,4,6\}$.
\item $G=T\rtimes \overline G$
\end{itemize}

Il y a donc 5 groupes de pavage composés de déplacements à isomorphisme près.
\end{thm}

Le produit semi-direct est le même que celui de Isom$(P)$.

\begin{proof}
Soit $f\in G$. Pour tout $\vec w\in \mathcal R$, $ft_{\vec w}f^{-1}=t_{\vec f(\vec w)}\in G$, donc $\vec f(\vec w)\in \mathcal R$, donc $\mathcal R$ est stable par $\vec f$.

Soit $(\vec u,\vec v)$ une base de $\mathcal R$. Alors

\[\text{Mat}_{(\vec u,\vec v)}(\vec f):=
\begin{pmatrix}
a & b\\
c & d
\end{pmatrix}\]
est à coefficients entiers.\\
Or $f\in \text{Isom}^+(P)$ donc $f$ est une rotation d'angle $\theta$ et on a :\\
Tr$(f)=a+d=2\cos \theta\in \{-2,-1,0,1,2\}$, d'où :
\[\theta\in \left\{\pi,\frac{2\pi}{3},-\frac{2\pi}{3},\frac{\pi}{2},-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{3},-\frac{\pi}{3},0\right\}\]

Le groupe $\overline G$ est donc un groupe de rotations vectorielles fini, donc cyclique (car isomorphe à un sous-groupe de $\mathbb C^*$) d'ordre appartenant à $\{1,2,3,4,6\}$.

\bigskip
Décrivons maintenant $G$ en fonction de l'ordre $n$ de $\overline G$. Pour cela, on définit :
\[\mathcal E:=\left\{M\in P\ /\ r_M:=\text{rot}\left(M,\frac{2\pi}{n}\right)\in G\right\}\]
et on va étudier l'action naturelle de $T$ sur $\mathcal E$.

On pose aussi $\overline G=<r>$ où $r$ est la rotation vectorielle $\displaystyle r:=\text{rot}\left(\frac{2\pi}{n}\right)$.

Si $n=1$, alors $G=T$. On suppose dorénavant $n>1$.

Montrons que $\mathcal E$ est un réseau affine dont le réseau vectoriel associé $\vec{\mathcal E}$ est image de $\mathcal R$ par l'application linéaire $(\vec{\text{id}}-r)^{-1}$.

Soit $\Omega\in \mathcal E$. Alors
\[M\in \mathcal E \iff r_M\in G \iff t_{\vec w}:=r_Mr_\Omega^{-1}\in T\]
Cherchons le lien entre $\overrightarrow{\Omega M}$ et $\vec w$.

On a
\[t_{\vec w}\,r_\Omega=r_M=t_{\overrightarrow{\Omega M}}\,r_\Omega\,t_{\overrightarrow{M \Omega}}\]
L'expression de gauche donne $r_M(\Omega)=\Omega+\vec w$.

Soit $N=t_{\overrightarrow{M\Omega}}(\Omega)$ le symétrique de $M$ par rapport à $\Omega$,\\
\emph{i.e.}
\[r_M(\Omega)=r_\Omega(N)+\overrightarrow{\Omega M}\] 
Alors
\[r_\Omega(N)+\overrightarrow{\Omega M}=\Omega+\vec w=r_\Omega(\Omega)+\vec w\]
D'où
\[\vec w=r(\overrightarrow{\Omega N})+\overrightarrow{\Omega M}=(\vec{\text{id}}-r)(\overrightarrow{\Omega M})\]
On en déduit
\[M\in \mathcal E\iff \overrightarrow{\Omega M}=(\vec{\text{id}}-r)^{-1}(\vec w)\]
pour un certain $\vec w\in \mathcal R$.

\bigskip
\begin{itemize}
\item Supposons $n=2$, alors $r=-\vec{\text{id}}$.

$\vec{\mathcal E}$ est donc l'image de $\mathcal R$ par l'homothétie vectorielle de rapport $\frac{1}{2}$.

Il y a ici $4$ orbites pour l'action de $T$ : si $(\vec u, \vec v)$ est une base de $\mathcal R$, les $4$ orbites sont $\Omega+\mathcal R$, $\Omega+\frac{1}{2}\vec u+\mathcal R$, $\Omega+\frac{1}{2}\vec v+\mathcal R$ et $\Omega+\frac{1}{2}\vec u+\frac{1}{2}\vec v+\mathcal R$, où $\Omega\in \mathcal R$.

\bigskip
\item Supposons $n\in\{3,4,6\}$.

Soit $\vec u$ un vecteur de $\mathcal R$ de norme minimum et $\vec v=r(\vec u)$. Alors $\vec v\in \mathcal R$ et $\|\vec v\|=\|\vec u\|$ donc $\vec v$ est aussi de norme minimum non colinéaire à $\vec u$, donc $(\vec u,\vec v)$ est une base de $\mathcal R$ par la proposition.

On pose $\displaystyle\zeta:=\exp\left(\frac{2i\pi}{n}\right)$, on a $\zeta\in \{i,j,-j^2\}$.

Prenons la bijection définie par :
\begin{align*}
\mathbb C&\longrightarrow P\\
a+b\zeta &\longmapsto \Omega+a\vec u+b\vec v
\end{align*}
où $a,b\in\mathbb R$.

Alors le réseau affine $\Omega+\mathcal R$ est formé des points dont l'affixe est dans l'anneau $\mathbb Z[\zeta]$.

Le réseau $\mathcal E$ est formé des points dont l'affixe est $\displaystyle\frac{z}{1-\zeta}$ où $z\in \mathbb Z[\zeta]$ car $(\vec{\text{id}}-r)^{-1}$ est identifié à $\displaystyle z\mapsto \frac{z}{1-\zeta}$ ici.

On veut maintenant compter le nombre d'orbites pour l'action de $T$.

Si $n=6$,
\[\frac{1}{1-\zeta}=\frac{1}{1+j^2}=\frac{1}{-j}=-j^2\in \mathbb Z[-j^2]\]
donc $\vec{\mathcal E}=\mathcal R$ et il n'y a qu'une orbite.

Si $n=4$,
\[\frac{1}{1-\zeta}=\frac{1}{1-i}=\frac{1+i}{2}\notin \mathbb Z[i]\]
donc il y a $2$ orbites ($2.\frac{1+i}{2}\in \mathbb Z[i]$).

Si $n=3$,
\[\frac{1}{1-\zeta}=\frac{1}{1-j}=\frac{1-j^2}{3}\notin \mathbb Z[j]\]
donc il y a $3$ orbites.
\end{itemize}
\end{proof}

\subsection*{Détails supplémentaires}
\begin{itemize}
\item La deuxième partie de la preuve peut sembler un peu obscure et on comprend mieux ce qu'on fait si on a la représentation graphique en tête. Cette représentation consiste à considérer pour chaque valeur de $n$ un pavage du plan qui est préservé par $G$. Le dénombrement des orbites de l'action de $T$ sur les centres de rotations de $G$ revient alors à compter le nombre de ces centres de rotations dans chaque parallélogramme porté par les vecteurs de base du réseau associé au pavage (ce parallélogramme est appelé domaine fondamental du réseau).

\bigskip
\item \begin{proof}[Démonstration de la proposition]
~~\\
\begin{itemize}
\item Soit $(\vec u, \vec v)$ une base de $\vec P$ et $\mathcal R:=\mathbb Z\vec u\oplus \mathbb Z \vec v$.

Alors $\mathcal R$ engendre bien $\vec P$.

Les normes étant équivalentes, on choisit la norme infinie :
\[\|x\vec u+y\vec v\|=\max(|x|,|y|)\]
Alors toute partie bornée pour cette norme est finie, donc $\mathcal R$ est un réseau.

\bigskip
\item Soit $\mathcal R$ un réseau et $r>0$ tel que $\{\vec w\in \mathcal R\setminus \{\vec 0\}\ /\ \|\vec w\|\le r\}\neq \emptyset$.

Cet ensemble étant fini, il existe $\vec u$ dans cet ensemble de norme minimum.

De même, il existe $\vec v\in \mathcal R$ de norme minimum parmi les vecteurs non colinéaires à $\vec u$.

Montrons que $\mathcal R=\mathbb Z\vec u\oplus \mathbb Z\vec v$.

Soit $\vec w\in \mathcal R$, $\vec w=x\vec u+y\vec v$ avec $(x,y)\in\mathbb R^2$.\\
Soit $(p,q)\in \mathbb Z^2$ tel que
\[|x-p|\le \frac{1}{2}, |y-q|\le \frac{1}{2}\]

Posons
\[\lambda:=x-p, \mu:=y-q, \vec W:=\lambda\vec u+\mu\vec v\in \mathcal R\]

On a
\[\|\vec W\|\le |\lambda|\|\vec u\|+|\mu|\|\vec v\|\]
avec égalité si et seulement si $\lambda \vec u$ et $\mu\vec v$ sont colinéaires, donc si et seulement si $\lambda=0$ ou $\mu=0$.

Donc pour $\lambda, \mu$ non nuls, on a
\[\|\vec W\|< |\lambda|\|\vec u\|+|\mu|\|\vec v\|\le \frac{1}{2}(\|\vec u\|+\|\vec v\|)\le \|\vec v\|\]

Sous ces conditions, $\vec W$ doit donc être colinéaire à $\vec u$, ce qui contredit $\mu\neq 0$. Donc $\mu=0$ et $\|\vec W\|\le \frac 1 2 \|\vec u\|<\|\vec u\|$, d'où $\lambda=0$, ce qui conclut la preuve.
\end{itemize}
\end{proof}
\end{itemize}
\end{document}