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\title{108 -- Exemples de parties génératrices d'un groupe. Applications.}
\author{}
\date{2013 -- 2014}
\begin{document}
\maketitle
\section*{Question.}
Montrer que $\mathfrak A_n$ est le seul sous-groupe d'indice 2 de $\mathfrak S_n$.

\section*{Réponse.}
Soit $H$ un sous-groupe d'indice 2 de $\mathfrak S_n$, $H$ est alors distingué donc $\mathfrak S_n/H\simeq\{-1,1\}$.

Les transpositions engendrent $\mathfrak S_n$ donc il existe une transposition qui n'est pas dans $H$, or $H$ est distingué et les transpositions sont conjuguées donc aucune transposition n'est dans $H$.

Soit $\pi$ la projection canonique de $\mathfrak S_n$ sur $\mathfrak S_n/H$, alors pour $\tau$ une transposition, $\pi(\tau)=-1$ donc $\pi=\varepsilon$ car les transpositions engendrent $\mathfrak S_n$, d'où le résultat.

\section*{Question.}
Montrer qu'un élément de $GL_n(\RR)$ peut s'écrire comme le produit d'une matrice triangulaire inférieure et d'une matrice orthogonale.

\section*{Réponse.}
C'est l'algorithme de Gram-Schmidt.

\section*{Question.}
\'Ecrire le groupe quaternionique $\mathbb H_8$ avec générateurs et relations.

\section*{Réponse.}
$\mathbb H_8=\langle i,j\mid i^2=j^2,i^4=1,j=iji\rangle$.

\section*{Question.}
Décrire les groupes $G$ finis qui vérifient $G=\langle a,b\rangle$ et $a^2=b^2=e$.

\section*{Réponse.}
Les groupes diédraux vérifient ces conditions : ils sont engendrés par $s$ et $rs$ d'ordre 2.

Soit $G$ un groupe vérifiant ces conditions, on pose $s=a,r=ab$ et $n$ l'ordre de $r$. On a $sr=b$ donc $r$ et $s$ engendrent $G$ et $sr$ est d'ordre 2 donc $G$ est un quotient du groupe diédral car $G$ a peut-être d'autres relations. Mais $r$ est d'ordre $n$ et les $sr^k$ sont distincts pour $k\in\{0,\dotsc,n-1\}$, donc $G$ a $2n$ éléments, donc c'est le groupe diédral $D_n$.
\end{document}