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\newcommand{\RR}{\mathbb R}
\newcommand{\NN}{\mathbb N}
\newcommand{\ZZ}{\mathbb Z}
\newcommand{\CC}{\mathbb C}
\newcommand{\KK}{\mathbb K}
\newcommand{\FF}{\mathbb F}
\newcommand{\QQ}{\mathbb Q}
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\newcommand{\fnc}[5]{\begin{align*}#1#2&\longrightarrow#3\\#4&\longmapsto#5\end{align*}}

\title{264 -- Variables al�atoires discr�tes. Exemples et applications.}
\author{}
\date{2013 -- 2014}
\begin{document}
\maketitle
\section*{Question.}
D�duire du th�or�me de Le Cam qu'une suite de variables al�atoires $(S_n)_{n>\lambda}$ suivant une loi binomiale $\mathcal B(n,\frac\lambda n)$ converge en loi vers une variable al�atoire $Z$ suivant une loi de Poisson $\mathcal P(\lambda)$.

\section*{R�ponse.}
On a, par le th�or�me de Le Cam,
\[|\mathbb P(S_n=k)-P(Z=k)|\le\sum_{i=1}^np_i^2=\frac{\lambda^2}n\xrightarrow[n\to+\infty]{}0.\]

\section*{Question.}
Peut-on le d�montrer autrement ?

\section*{R�ponse.}
\[\mathbb P(S_n=k)=\binom nk\left(\frac\lambda n\right)^k\left(1-\frac\lambda n\right)^{n-k}\]
On a $\binom nk\sim\frac{n^k}{k!}$ et $\left(1-\frac\lambda n\right)^{n-k}=\left(1-\frac\lambda n\right)^n\left(1-\frac\lambda n\right)^{-k}\sim e^{-\lambda}$. D'o�
\[\mathbb P(S_n=k)\sim\frac{\lambda^k}{k!}e^{-\lambda},\]
d'o� le r�sultat.

On peut aussi utiliser les fonctions caract�ristiques. 
\begin{align*}
\mathbb E(e^{itS_n})&=\sum_{k=0}^ne^{itk}\binom nk\left(\frac\lambda n\right)^k\left(1-\frac\lambda n\right)^{n-k}\\
&=\left(1-\frac\lambda n(1-e^{it})\right)^n\xrightarrow[n\to+\infty]{}e^{-\lambda(1-e^{it})}
\end{align*}
et si $Z\sim\mathcal P(\lambda)$,
\begin{align*}
\mathbb E(e^{itZ})&=\sum_{k=0}^{+\infty}e^{itk}\frac{\lambda^k}{k!}e^{-\lambda}\\
&=e^{-\lambda(1-e^{it})}.
\end{align*}
Le r�sultat vient du th�or�me de L�vy.
\section*{Question.}
Pourquoi une somme de variables al�atoires de Bernoulli est une variable al�atoire binomiale ?

\section*{R�ponse.}
Soit $X=X_1+\dotsc+X_n$, avec $X_i\sim\mathcal B(p)$ ind�pendantes, alors
\begin{align*}
\mathbb P(X=k)&=\binom nk\mathbb P(X_1=1,\dotsc,X_k=1,X_{k+1}=0,\dotsc,X_n=0)\\
&=\binom nk\mathbb P(X_1=1)\dotsm\mathbb P(X_k=1)\mathbb P(X_{k+1}=0)\dotsm\mathbb P(X_n=0),
\end{align*}
d'o� le r�sultat.

On peut aussi utiliser les fonctions g�n�ratrices. Pour $s\in\mathopen]-1,1[$, on pose
\[G(s)=\mathbb E(s^X)=\sum_{n=0}^{+\infty}s^n\mathbb P(X=n)\]
par le th�or�me de transfert. On a donc, si $X\sim\mathcal B(n,p)$,
\begin{align*}
G(s)&=\sum_{k=0}^{+\infty}s^k\mathbb P(X=k)\\
&=\sum_{k=0}^ns^k\binom nkp^k(1-p)^{n-k}\\
&=(ps+1-p)^n
\end{align*}
La fonction g�n�ratrice d'une loi de Bernoulli $\mathcal B(p)$ est donc $s\mapsto ps+1-p$, d'o� le r�sultat.

\section*{Question.}
On consid�re un scrutin avec deux participants $A$ et $B$, o� $A$ a obtenu $a$ votes et $B$ a obtenu $b$ votes. On suppose $a>b$. Calculer la probabilit� que $A$ reste en t�te des votes tout au long du d�pouillement.

\section*{R�ponse.}
On note $X_i:=1$ si le $i^e$ bulletin est pour $A$ et $-1$ sinon. On note
\[N_{x,y}(n)=\text{card}\{\text{trajectoires allant de $x$ � $y$ en $n$ �tapes}\}.\]
Alors si $\alpha$ d�signe le nombre de fois o� on fait $+1$, $N_{x,y}(n)=\binom n\alpha$ ou $0$. En utilisant le fait que $\alpha+\beta=n$ et $\alpha-\beta=y-x$, o� $\beta$ d�signe le nombre de $-1$, on obtient $\alpha=\frac{y-x+n}2$ lorsque ceci est entier. On a donc
\[N_{x,y}(n)=\binom n{\frac{y-x+n}2}\]
lorsque ceci a un sens.

On note maintenant
\[N_{x,y}^*(n)=\text{card}\{\text{trajectoires allant de $x$ � $y$ en $n$ �tapes qui touchent 0}\}.\]
Par un argument de sym�trie, on a $N_{x,y}^*(n)=N_{-x,y}(n)$, d'o�
\[N_{x,y}^*(n)=\binom n{\frac{n+y+x}2}.\]
On doit alors avoir que le premier vote est pour $A$ et on doit compter le nombre de trajectoires entre 1 et $a-b$ qui ne touchent pas 0. Ce nombre de trajectoires est
\[N_{1,a-b}(n-1)-N_{1,a-b}^*(n-1)=\frac{a-b}{a+b}\binom{a+b}a.\]
La probabilit� cherch�e est donc $\frac{a-b}{a+b}$.
\end{document}