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\newtheorem*{theoreme}{Théorème}
\newtheorem*{definition}{Définition}
\newtheorem*{propriete}{Propriété}

\theoremstyle{remark}
\newtheorem*{remarque}{Remarque}

\renewcommand*{\H}{\mathcal{H}}
\DeclareMathOperator{\im}{im}
\DeclareMathOperator{\vect}{vect}
\DeclareMathOperator{\re}{Re}

\author{Leçons 203, 205, 208, 213 \\ Salim Rostam}
\title{Réduction des opérateur compacts symétriques}

\interfootnotelinepenalty=10000 %taille maximale des notes de bas de page (pour ne pas qu'elles se répartissent sur plusieurs pages)

\begin{document}
\maketitle

Soit $(\H, \langle \cdot, \cdot \rangle)$ un espace de Hilbert (de dimension infinie) et soit $T \in \mathcal{L}(H)$ un opérateur compact symétrique non nul.

\begin{theoreme}
Il existe une base hilbertienne de $\H$ formée exclusivement de vecteurs propres de $T$, l'ensemble de ces vecteurs associés à une valeur propre non nulle de $T$ étant au plus dénombrable. De plus, si $(e_n)$ désigne cette dernière famille et $(\lambda_n)$ les valeurs propres correspondantes alors on peut réordonner cette famille de sorte que $(|\lambda_n|)$ décroisse vers $0$. En outre, $\forall x \in \H$ on a $Tx = \sum_n \lambda_n \langle x , e_n \rangle e_n$.
\end{theoreme}

En s'inspirant de la démonstration par récurrence en dimension finie, on va tout d'abord prouver que $T$ possède un vecteur propre.

\section{L'opérateur $T^2$ admet $\| T \|^2$ comme valeur propre}

Soit $x \in \H$ non nul ; le vecteur $x$ est un vecteur propre de $T^2$ associé à la valeur propre $\|T\|^2$ si et seulement si $\left\|T^2 x - \|T\|^2 x\right\|^2 = 0$. De plus :
\begin{align*}
\left\|T^2 x - \|T\|^2 x\right\|^2 &= \left\|T^2 x\right\|^2 + \|T\|^4 \|x\|^2 - 2 \|T\|^2 \re\,\langle T^2 x, x \rangle \\
	&= \left\|T^2 x\right\|^2 + \|T\|^4 \|x\|^2 - 2 \|T\|^2 \re\|Tx\|^2 \text{ car $T$ est symétrique} \\
	&\leq 2 \|T\|^2 \left( \|T\|^2 \|x\|^2 - \|Tx\|^2\right)
\end{align*}

On sait que $\|T\| = \sup_{\|x\| = 1} \|Tx\|$ : ainsi, on peut trouver une suite $(x_n)$ de vecteurs de $\H$ de norme $1$ telle que $\|Tx_n\| \to \|T\|$. D'après l'inégalité précédente, on obtient donc :
\begin{equation}
\label{eq:T2_vp}
\left\|T^2 x_n - \|T\|^2 x_n \right\|^2 \to 0
\end{equation}

Or, l'opérateur $T$ est compact et $(x_n)$ est bornée donc quitte à extraire on peut supposer que $(Tx_n)$ converge, vers un vecteur $y$. Ainsi, comme $T$ est continu (car borné sur la boule unité car compact), $T^2 x_n \to Ty$ et $(\ref{eq:T2_vp})$ fournit donc $\|T\|^2 x_n \to Ty$. Comme $T$ est non nul, on peut en conclure que $(x_n)$ converge vers $x := \frac{Ty}{\|T\|^2}$, qui est non nul puisque de norme $1$ (car $\|x_n\| = 1$). Encore par $(\ref{eq:T2_vp})$ on obtient alors $T^2 x = \|T\|^2 x$ ; comme $x \neq 0$ on en déduit que $x$ est vecteur propre de $T^2$ associé à la valeur propre $\|T\|^2$.


\section{L'opérateur $T$ admet $\|T\|$ ou $-\|T\|$ comme valeur propre}

On vient de voir que l'on peut trouver $x \in \H$ non nul tel que $(T^2 - \|T\|^2)x = 0$ ; posons $y := (T - \|T\|)x$. Deux cas se présentent :
\begin{itemize}
\item si $y = 0$ alors on a $(T - \|T\|)x = 0$ \textit{i.e.} $x$ est un vecteur propre de $T$ associé à la valeur propre $\|T\|$ (car $x$ est non nul) ;
\item sinon, $y \neq 0$ donc comme $T^2 - \|T\|^2 = (T + \|T\|)(T - \|T\|)$ on a $(T + \|T\|)y = 0$ \textit{i.e.} $y$ est un vecteur propre de $T$ associé à la valeur propre $-\|T\|$.
\end{itemize}

Finalement, on a montré que $T$ admet $\|T\|$ ou $-\|T\|$ comme valeur propre.

\section{Récurrence}

\paragraph{Initialisation.} Posons $T_1 := T \neq 0$ ; d'après la section précédente, on peut trouver $\lambda_1 \in \{-\|T_1\|, \|T_1\|\}$ valeur propre de $T_1$. Ainsi, comme $T$ est compact $\ker(T - \lambda_1)$ est de dimension finie et donc est fermé, d'où :
\[
\H = \ker (T - \lambda_1) \overset{\perp}{\oplus} \ker(T - \lambda_1)^{\perp}
\]
avec $T|_{\ker(T - \lambda_1)} = \lambda_1 \mathrm{id}$. Il suffit donc d'étudier l'opérateur $T$ sur $\ker(T - \lambda_1)^{\perp}$. Ainsi, on considère l'opérateur $T_2 := T |_{\ker (T - \lambda_1)^{\perp}}$.

%\paragraph{Si $T_2$ est nul.} On a donc $\ker T \supseteq \ker(T - \lambda_1)^{\perp}$ donc $\ker(T - \lambda_1) + \ker T = \H$. Comme ces deux sous-espaces propres sont associés à deux valeurs propres différentes, ils sont en somme directe et comme $T$ est symétrique ils sont même orthogonaux donc on obtient finalement :
%\[
%\H = \ker(T - \lambda_1) \overset{\perp}{\oplus} \ker T
%\]
%autrement dit, on a diagonalisé $T$.

Si $T_2$ est nul on arrête le processus, et sinon $T_2$ est non nul donc on peut appliquer le résultat de la section précédente à l'opérateur $T_2$ : il existe donc $\lambda_2 \in \{-\|T_2\|, \|T_2\|\}$ valeur propre de $T_2$. Bien sûr, comme $T_2$ part de l'espace $\ker(T - \lambda_1)^{\perp}$ on a $\lambda_2 \neq \lambda_1$. De plus, comme $T_2$ est la restriction de $T_1$ à un sous-espace, on a $\|T_2\| \leq \|T_1\|$ autrement dit $|\lambda_2| \leq |\lambda_1|$. Finalement, comme auparavant on a la décomposition :
\[
\H = \ker(T - \lambda_1) \oplus \ker(T - \lambda_2) \overset{\perp}{\oplus} \left[\ker(T - \lambda_1) \oplus \ker(T - \lambda_2)\right]^{\perp}
\]

\paragraph{Récurrence.} Pour $k \geq 2$, on suppose avoir construit une famille $(\lambda_n)_{1 \leq n \leq k}$ de valeurs propres non nulles de $T$ deux à deux distinctes et décroissante en module ; on note $T_{k + 1} := T|_{\left[\oplus_{i = 1}^k \ker(T - \lambda_i)\right]^{\perp}}$. 
%Si $T_{k + 1} = 0$ alors on a $\H = \oplus_{i = 1}^k \ker(T - \lambda_i) \oplus \ker T$ (les sommes étant orthogonales) \textit{i.e.} on a diagonalisé $T$ et on s'arrête, et 
Si $T_{k + 1} = 0$ on s'arrête, sinon $T_{k + 1} \neq 0$ et on peut appliquer le résultat de la section précédente à l'opérateur $T_{k + 1}$. On trouve ainsi une valeur propre non nulle $\lambda_{k + 1} \in \{-\|T_{k + 1}\|, \|T_{k + 1}\|\}$ de $T$ ; comme $\left[\oplus_{i = 1}^k \ker(T - \lambda_i)\right]^{\perp} \subseteq \left[\oplus_{i = 1}^{k - 1} \ker(T - \lambda_i)\right]^{\perp}$, l'opérateur $T_{k + 1}$ est la restriction à un sous-espace de $T_k$, en particulier $\|T_{k + 1}\| \leq \| T_k \|$ \textit{i.e.} $|\lambda_{k + 1}| \leq |\lambda_k|$. Finalement, comme l'ensemble de départ de $T_{k + 1}$ est $\left[\oplus_{i = 1}^k \ker(T - \lambda_i)\right]^{\perp}$ on a $\lambda_{k + 1} \notin \{\lambda_1,\dots, \lambda_k\}$ et l'hérédité est démontrée.

\section{Conclusion}

\subsection{Cas où la récurrence ne s'arrête pas}

On dispose alors d'une suite infinie de valeurs propres non nulles deux à deux distinctes $(\lambda_n)_{n \in \mathbb{N}^*}$ décroissante en module.

\paragraph{La suite $(\lambda_n)$ tend vers $0$.} Comme la suite $(|\lambda_n|)$ est décroissante, étant minorée (par $0$) elle converge, vers $\lambda \geq 0$. Si $\lambda \neq 0$, considérons pour chaque $n \in \mathbb{N}^*$ un vecteur propre unitaire $e_n$ associé à la valeur propre $\lambda_n$. Comme $|\lambda_n| \geq \lambda > 0$, la suite $(\frac{1}{\lambda_n} e_n)$ est bornée donc comme $T$ est compact on peut, quitte à extraire, supposer que la suite $\left(T(\frac{1}{\lambda_n} e_n)\right)$ converge. Or :
\[
T\left(\frac{1}{\lambda_n} e_n\right) = \frac{1}{\lambda_n} Te_n = e_n
\]
donc cette suite ne peut converger car $\|e_n - e_m\|^2 = \|e_n\|^2 + \|e_m\|^2 = 2$ (les $\lambda_i$ étant deux à deux distinctes, les vecteurs $e_i$ sont deux à deux orthogonaux car $T$ est symétrique). Ainsi, $\lambda = 0$ donc $(|\lambda_n|)$ tend vers $0$ donc $(\lambda_n)$ tend vers $0$.

\paragraph{Inclusion $F^{\perp} \subseteq \ker T$.} Posons $F := \oplus_{n \geq 1} \ker(T - \lambda_n)$. Si un vecteur $x$ est dans $F^{\perp}$, d'après la définition de $F$ on peut appliquer l'opérateur $T_n$ à $x$ pour tout $n \geq 1$. Ainsi :
\[
\forall n \geq 1, \|T x \| = \|T_n x\| \leq \|T_n\| \|x\| = |\lambda_n| \|x\| \to 0\]
par ce qui précède. Ainsi, $Tx = 0$ \textit{i.e.} $x \in \ker T$.

\subsection{Diagonalisation de $T$}

%\subsection{Cas où $T$ est de rang fini\protect\footnote{On peut passer vite dessus car c'est surtout l'autre cas qui est intéressant.}}
%Si la récurrence précédente s'arrête, alors par ce qui a été dit cela signifie qu'il existe $N \geq 1$ et une suite de valeurs propres de $T$ non nulles deux à deux distinctes $(\lambda_n)_{1 \leq n \leq N}$ telle que $\ker T \supseteq \left[\oplus_{n = 1}^N \ker(T - \lambda_n)\right]^{\perp}$. La relation $\left[\oplus_{n = 1}^N \ker(T - \lambda_n)\right] \oplus \left[\oplus_{n = 1}^N \ker(T - \lambda_n)\right]^{\perp} = \H$ entraîne $\left[\oplus_{n = 1}^N \ker(T - \lambda_n)\right] + \ker T = \H$ ; comme les termes de la somme sont orthogonaux (car $T$ est autoadjoint et que ce sont des sous-espaces propres associés à des valeurs propres distinctes), on en déduit que :
%
%\[
%\H = \bigoplus_{n = 1}^N \ker(T - \lambda_n) \oplus \ker T
%\]
%les sommes étant orthogonales. Comme les $\lambda_n$ sont non nulles et que $T$ est compact, les sous-espaces $\ker(T - \lambda_n)$ sont de dimension finie et on peut donc trouver une base $(e_n^m)_m$ de chaque $\ker(T - \lambda_n)$. Par la décomposition précédente, on a donc :
%\[
%\forall x \in \H, Tx = \sum_{n, m} \lambda_n \langle x, e_n^m \rangle e_n^m
%\]
%autrement dit, on a diagonalisé $T$ qui est dans ce cas de rang fini puisque $\im T = \vect(e_n^m)_{n, m}$.

Tout d'abord, remarquons que le résultat précédent reste valable dans le cas où la récurrence s'arrête (et où la somme porte alors sur un nombre fini de valeurs de $n$) ; en particulier on a $\overline{F} = F^{\perp\perp} \supseteq (\ker T)^{\perp}$.
 Par conséquent, comme $\ker T$ est fermé (car $T$ est continu car compact), on a $(\ker T)^{\perp} \oplus \ker T = \H$ donc $\overline{F} + \ker T = \H$. Comme tous les éléments de $\ker T$ sont orthogonaux à tous les éléments de $F$ (car $T$ symétrique et $\lambda_n \neq 0$ $\forall n$), on en déduit que $\ker T$ et $\overline{F}$ sont orthogonaux et on a donc $\H = \overline{F} \oplus^{\perp} \ker T$ c'est-à-dire :
\[
\H = \overline{\bigoplus_{n \geq 1} \ker(T - \lambda_n)} \oplus \ker T
\]
(les sommes étant orthogonales).
Finalement, si ${(e_n^m)}_m$ désigne une base de $\ker(T - \lambda_n)$ (qui est de dimension finie car $\lambda_n \neq 0$ et $T$ compact), la famille ${(e^m_n)}_{n, m}$ est une base hilbertienne de $\overline{F}$ (en effet $\overline{F} = \overline{\vect(e_n^m)}$ !). Comme $\ker T$ possède une base hilbertienne, en concaténant les bases obtenues on obtient donc une base hilbertienne de vecteurs propres de $T$, \textit{i.e.} on l'a diagonalisé. En outre on a :
\[
\forall x \in \H, Tx = \sum_{n, m} \lambda_n \langle x, e_n^m \rangle e_n^m
\]

\begin{remarque} Bien sûr, quand $T$ est de rang fini (c'est-à-dire que la récurrence s'arrête), la famille ${(e_n^m)}_{n, m}$ est une base \emph{algébrique} de $F$ qui est alors de dimension finie.
\end{remarque}


\begin{thebibliography}{1}

\bibitem{} WILLEM Michel, \textit{Analyse fonctionnelle élémentaire}. Cassini, 2003.

\end{thebibliography}

\end{document}