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\theoremstyle{remark}
\newtheorem*{remarque}{Remarque}

\begin{document}
\title{Lemme de Riemann-Lebesgue}
\date{2012-2013}
\maketitle

\qquad Référence : Hervé Queffélec, Claude Zuily, \emph{Éléments d'analyse pour l'agrégation (3e édition)},
Dunod, 2007, p.73.

\begin{lemme}
Soit $a,b\in\mathbb R,a<b$.\\
Soit $f\in L^1([a,b])$.\\
Soit $\lambda\in\mathbb R$.

Alors :
\begin{align*}
\lim_{|\lambda|\to\infty}\int_a^bf(t)e^{i\lambda t}\mathrm{dt}&=\lim_{|\lambda|\to\infty}\int_a^bf(t)\cos(\lambda t)\mathrm{dt}\\
&=\lim_{|\lambda|\to\infty}\int_a^bf(t)\sin(\lambda t)\mathrm{dt}\\
&=0
\end{align*}
\end{lemme}
\begin{proof}
Il suffit de démontrer que la première limite est nulle.

Soit $(\lambda_n)_{n\in\mathbb N}$ une suite de réels non nuls telle que $|\lambda_n|\to\infty$.

On définit $(l_n)_{n\ge 1}$ des formes linéaires sur $L^1([a,b])$ par :
\[l_n(g)=\int_a^bg(t)e^{i\lambda_nt}\mathrm{dt}\]
Alors :
\[|l_n(g)|\le\int_a^b|g(t)|\mathrm{dt}=\|g\|_1\]
Donc $\|l_n\|\le 1$.

Pour $I:=[u,v]\subset [a,b]$, on a :
\begin{align*}
l_n(\mathds 1_I)&=\int_u^ve^{i\lambda_n t}\mathrm{dt}\\
&=\frac{e^{i\lambda_nv}-e^{i\lambda_nu}}{i\lambda_n}
\end{align*}
Donc :
\[|l_n(\mathds 1_I)|\le\frac 2{|\lambda_n|}\text{ et }l_n(\mathds 1_I)\to\infty\]
Or les $\mathds 1_I$ forment une partie totale de $L^1([a,b])$ et $\displaystyle\sup_{n\ge 1}\|l_n\|\le 1<\infty$, donc d'après le lemme suivant, $l_n(g)\to\infty\ \forall g\in L^1([a,b])$.
\end{proof}
\begin{lemme}
Soit $(T_n)_{n\in\mathbb N}\in\mathcal L(E,F)$ et $B$ une partie totale de $E$, où $E$ et $F$ sont des espaces de Banach.

Il y a équivalence entre :
\begin{enumerate}[(i)]
\item $\forall b\in B,T_n(b)\to T(b)$ et $\displaystyle\sup_{n\ge 1}\|T_n\|<\infty$
\item $\forall x\in E,T_n(x)\to T(x)$
\end{enumerate}
\end{lemme}
\begin{proof}
~~
\begin{itemize}
	\item[$(ii)\Rightarrow (i)$ :]$\forall x\in E,\|T_n(x)\|$ est borné donc par Banach-Steinhaus, $\displaystyle\sup_{n\ge 1}\|T_n\|~<~\infty$.
	\item[$(i)\Rightarrow (ii)$ :]$\forall x\in\text{vect }B,T_n(x)\to T(x)$.
	
	Soit $x\in E,\varepsilon>0$, alors il existe $y\in\text{vect }B$ tel que $\|x-y\|<\varepsilon$.
	
	Alors, en posant $\displaystyle C:=\sup_{n\ge 1}\|T_n\|$, on a :
	\begin{align*}
	\|T_n(x)-T(x)\|&\le\|T_n(x)-T_n(y)\|+\|T_n(y)-T(y)\|+\|T(y)-T(x)\|\\
	&\le 2C\|x-y\|+\|T_n(y)-T(y)\|\\
	&\le 2C\varepsilon+\|T_n(y)-T(y)\|
	\end{align*}
	D'où :
	\[\limsup_{n\to\infty}\|T_n(x)-T(x)\|=0\]
\end{itemize}
\end{proof}
\end{document}