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\title{Simplicité de $SO(3)$}
\author{}
\date{}

\begin{document}

\maketitle

On montre que le groupe des rotations de l'espace à trois dimensions $SO(3)$ est un groupe simple, c'est-à-dire que ses seuls sous-groupes distingués sont $\left\{Id\right\}$ et $SO(3)$.

Le principe de la démonstration est issu du livre \textit{Oraux X-ENS, algèbre, tome 3}. Il existe d'autres démonstrations de ce résultat dans les livres \textit{Cours d'algèbre} de Perrin, et \textit{Calcul différentiel. Thèmes d'analyse pour l'agrégation} de Gonnord et Tosel.

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\begin{enumerate}
	\item Soit $G$ un sous-groupe de $SO(3)$, et soit $G_0$ la composante connexe dans $G$ de l'identité. Montrons que $G_0$ est un sous-groupe de $SO(3)$, et que $G_0 \lhd SO(3)$ dés que $G \lhd SO(3)$.
	
\bigskip	
	
Par définition $G_0$ contient l'identité. L'application
	\[ \begin{aligned}
     \varphi : \enskip G_0 \times G_0 & \longrightarrow G \\
     (x,y) & \longmapsto xy^{-1} \\
     \end{aligned}
   \]
    est continue, et $G_0 \times G_0$ étant connexe, on en déduit que l'image de $\varphi$ est un connexe de $G$. De plus elle contient l'identité, donc est incluse dans $G_0$, ce qui montre que $G_0$ est un sous-groupe de $G$.
    
Si on suppose désormais que $G \lhd SO(3)$ et si $h \in SO(3)$, alors l'application
	\[ \begin{aligned}
     \text{Int}_h : \enskip G & \longrightarrow G \\
     g & \longmapsto hgh^{-1} \\
     \end{aligned}
   \]
est bien définie. Le même argument que plus haut montre que Int$_h$ envoie $G_0$ dans $G_0$, et ce pour tout $h \in SO(3)$, ce qui siginifie que $G_0$ est un sous-groupe distigué de $SO(3)$.

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  \item Soit désormais $G$ un sous-groupe connexe de $SO(3)$, distingué et non réduit à l'identité. Montrons que $G$ contient un retournement, c'est-à-dire une rotation d'angle $\pi$. On en déduira alors que $G=SO(3)$.
  
\bigskip 
 
Soit $r\in SO(3)$. Il existe une base orthonormée de $\mathbb{R}^3$ telle que la matrice de l'application linéaire canoniquement associée à $r$ dans cette base soit
\[
\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\
0 & \cos \theta & -\sin \theta \\
0 & \sin \theta & \cos \theta \\
\end{pmatrix}.
\]
On a $Tr(r) = 1 + 2 \cos \theta$, donc la fonction
\[ \begin{aligned}
     \varphi : G & \longrightarrow [-1,1] \\
     g & \longmapsto \frac{Tr(g)-1}{2} \\
     \end{aligned}
   \]
est bien définie.

Cherchons un élément $s \in G$ tel que $\varphi (s) \leq 0$. Soit $g$ un élément de $G$ distinct de l'identité. On a \[ \frac{Tr(g)-1}{2} = \cos \theta \]
où $\theta$ est défini au signe près. Quitte à changer $g$ en $g^{-1}$ on peut supposer que $\theta \in ] 0 , \pi ]$. Si $\theta \in [ \pi / 2 , \pi ]$ alors $s=g$ convient. Sinon, soit $N = E\left(\frac{\pi}{2\theta}\right)$. On a
\[ N\theta \leq \frac{\pi}{2} < (N+1)\theta \leq \frac{\pi}{2} + \theta \leq \pi, \]
donc $s = g^{N+1}$ convient.

Par hypothèse $G$ est connexe, et $\varphi$ est clairement continue, donc $\varphi(G)$ est un connexe de $[-1,1]$ contenant $\varphi(s) \leq 0$ et $\varphi(Id) = 1$. Or, les connexes de $\mathbb{R}$ sont les intervalles, donc il existe $g \in G$ tel que $\varphi(g) = 0$, c'est-à-dire $G$ contient une rotation d'angle $\pm \frac{\pi}{2}$. L'élément $R=g^2 \in G$ est donc un retournement. 

Montrons qu'alors $G=SO(3)$. Pour tout $g \in SO(3)$, l'élément $gRg^{-1}$ est dans $G$ car $G$ est distingué par hypothèse, et est un retournement d'axe $g(\Delta)$ où $\Delta$ est l'axe de $R$. Le fait que $SO(3)$ agisse transitivement sur l'ensemble des droites de $\mathbb{R}^3$ montre que $G$ contient tous les retournements. Or tout élément de $SO(3)$ est produit de deux retournements, ce qui conclut.

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  \item Soit maintenant $G$ un sous-groupe distingué de $SO(3)$. Montrons que $G=\left\{ Id \right\}$ ou $G=SO(3)$.
  
Si $G_0 \neq \left\{ Id \right\}$ alors 1 et 2 montrent que $G_0=SO(3)$, donc a fortiori $G=SO(3)$. Si $G_0 = \left\{ Id \right\}$ alors montrons que $G=\left\{ Id \right\}$, ce qui terminera la preuve. Remarquons que dans ce cas toutes les composantes connexes de $G$ sont des singletons. Soit $g \in G$. L'application continue
\[ \begin{aligned}
     \varphi : SO(3) & \longrightarrow G \\
     h & \longmapsto hgh^{-1} \\
     \end{aligned}
   \]
est bien définie car $G \lhd SO(3)$. Le groupe $SO(3)$ est connexe donc l'image de $\varphi$ est un connexe contenant $g$, donc est égale à $\left\{ g \right\}$ d'après la remarque sur les composantes connexes de $G$. Cela signifie que $g$ commute avec toutes les rotations de l'espace. En particulier $g$ est une rotation qui fixe toutes les droites de $\mathbb{R}^3$, ce qui montre que $g=Id$.
\end{enumerate}
\end{document}