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\title{Commutant d'un endomorphisme}

\newtheorem{lem}{Lemme}

\begin{document}

\maketitle


\section*{Dimension du commutant d'un diagonalisable}

Les sous-espaces propres $E_{\lambda}$ sont stables par $g\in \mathcal{C}(f)$ et $g\mapsto (g_{|E_\lambda})_\lambda$ est bijective, donc $dim\mathcal{C}(f) = \sum_{\lambda}dimE_\lambda^2$.

\section*{Équivalence}

$K[f]\simeq \frac{K[X]}{\mu_f}$ est de dimension $deg\mu_f$

\begin{eqnarray*}
 dim\mathcal{C}(f) = n & \Rightarrow & \forall \lambda dimE_\lambda = 1\\
& \Rightarrow & \text{que des valeurs propres distinctes}\\
& \Rightarrow & deg\mu_f=n\\
& \Rightarrow & \mathcal{C}(f)=K[f]
\end{eqnarray*}

D'autre part

\[ \mathcal{C}(f)=K[f]  \Rightarrow n\geq deg\mu_f = \sum_{\lambda}dimE_\lambda^2 \geq n\]

\section*{A pas diagonalisable}

Si $A$ triangulable, regardons dans la bonne base les solutions de $AX-XA=0$ : il y a $\frac{n(n+1)}{2}$ inconnues, autant d'équations mais on
peut en enler $n$ (celle de la diagonale, qui sont des $xa-ax=0$, triviales), le commutant est donc de dimension au moins $n$.

\bigskip

La dimension est inchangée par extension de corps (on prend le polynôme minimal de $AX-XA$, il est invariant par extension) donc on peut toujours
prendre $A$ triangulable. La dimension du commutant est donc toujours au moins $n$.

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En particulier :

\[\mathcal{C}(f)=K[f] \Leftrightarrow \mu_A = \chi_A\]

\bigskip

Références : FGN tomme 2, Gourdon Algèbre

\end{document}
