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\newtheorem{thm}{Théorème}
\newtheorem{lem}{Lemme}

\title{Théorèmes de Sylow}
\begin{document}
\begin{thm} Soit $G$ un groupe fini d'ordre $p^\alpha m$, avec $p\nmid m$. Alors:
\begin{itemize}
\item Il existe un $p$-Sylow $S$ de $G$.
 \item Si $H$ est un sous-groupe de $G$ qui est un $p$-groupe, il existe un $p$-Sylow $S$ avec $H \subset S$.
\item Les $p$-Sylow de $G$ sont tous conjugués (et donc leur nombre $k$ divise $n$).
\item On a $k\equiv 1 \mod p$ (donc $k$ divise $m$).
\end{itemize}

\end{thm}

\vspace{0.5cm}
\hrule
\vspace{0.5cm}
\begin{proof}
\begin{lem}
Soit $G$ un groupe avec $|G|=p^\alpha m=n$, $p\nmid m$ et soit $H$ un sous-groupe de $G$. Soit $S$ un $p$-Sylow de $G$. Alors il existe $a\in G$ tel que $aSa^{-1} \cap H$ soit un $p$-Sylow de $H$.
\end{lem}
\begin{proof}
 On fait agir $G$ sur $G/S$ par translation à gauche. Le stabilisateur de $aS$ est le sous-groupe $aSa^{-1}$. De même $H$ agit à gauche sur $G/S$ et le stabilisateur de $aS$ est $aSa^{-1} \cap H$. Montrons qu'un de ces derniers groupes est un $p$ Sylow de $H$. Commes sous groupes de conjugués de $S$, ce sont déjà des $p$-groupes, il suffit de trouver $a$ tel que $|H/(aSa^{-1} \cap H|$ soit premier avec $p$. Par la relation orbite-stabilisateur, $|H/(aSa^{-1} \cap H|=|G|/|\mathcal{O}(aS)|$ (orbite considérée sous l'action de $H$). Si pour tout $a$, ces nombres sont divisibles par $p$, alors, par formule des classes, $|G|/|S|$ l'est aussi, ce qui contredit le caractère maximal en $p$ de $S$.
\end{proof}
Pour montrer la première assertion, on plonge $G$ dans $\mathfrak{S}_n$ (Cayley), puis $\mathfrak{S}_n$ dans $GL_n(F_p)$ ($\sigma$ s'envoie sur la permutation de la base canonique : $u(e_i)=e_{\sigma(e_i)}$). Ainsi, $G$ est réalisé comme sous-groupe de $GL_n(F_p)$. Reste à voir que ce dernier possède un $p$-Sylow.

$GL_n(F_p)$ a comme ordre $(p^n-1)(p^n-p)\cdots(p^n-p^{n-1})=p^{n(n-1)/2} m.$ Or, l'ensemble des matrices supérieures avec des 1 sur la diagonale est clairement un sous-groupe d'ordre $p^{n(n-1)/2}$. C'est donc un $p$-Sylow de $GL_n(F_p)$.

Le lemme permet donc de conclure sur l'existence d'un $p$-Sylow de $G$.

Rem : $G$ contient alors des $p$-groupes d'ordres $p^i$, pour tout $i\geqslant \alpha$ : raisonner sur les $p$-groupes, par récurrence, étant donnée la non trivialité du centre.

Prouvons la seconde assertion. Si $H$ est un $p$-sous-groupe de $G$, il existe par le lemme un $p$-Sylow de $H$ (c'est $H$ !) qui s'écrit $aSa^{-1} \cup H$, c'est-à-dire que $H \subset aSa^{-1}$. Or, $aSa^{-1}$ est un Sylow de $G$, c'est donc ce qu'il fallait montrer. 

La troisième insertion se déduit directement en prenant pour $H$ un Sylow (on a alors $H=aSa^{-1}$).

Pour la quatrième, on fait agir $G$ par conjugaison sur l'ensemble $X$ de ses $p$-Sylow. Soit $S$ un $p$-Sylow de $G$. Il opère lui aussi sur $X$. Or, si on note $X^S$ les éléments de $X$ fixés par $S$, on a $|X|\equiv |X^S| \mod p.$ (écrire une formule des classes et remarquer que les orbites non triviales ont un cardinal multiple de $p$). \\
Or, $S$ est le seul Sylow à être stabilisé par $S$. En effet, soit $T$ un autre Sylow, on considère le sous-groupe $N$ de $G$ engendré par $S$ et $T$. $S$ et $T$ sont alors des $p$-Sylow de $N$. Comme $S$ stabilise $T$ ($T$ aussi), on a $T \triangleleft N$ donc est l'unique Sylow de $N$. De fait, $S=T$.
\end{proof}


\end{document}