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\title{Sous-espaces de dimension finie de $\mathcal C(\RR,\CC)$ stables par translations.}
\author{}
\date{2013 -- 2014}
\begin{document}
\maketitle
\qquad Référence : Eric Leichtnam, \emph{Exercices d'oraux X-ENS : tome Analyse}, Ellipses, 1999, p.92.

\begin{thm}
Soit $F$ un sous-espace vectoriel de $\mathcal C(\RR,\CC)$ de dimension finie $n$. Pour $a\in\RR$, on définit $\tau_a:f\mapsto f(\cdot-a)$ endomorphisme de $\mathcal C(\RR,\CC)$.

Alors $F$ est stable par tous les endomorphismes $\tau_a,a\in\RR$, si et seulement si $F$ est l'espace des solutions d'une équation différentielle linéaire homogène d'ordre $n$ à coefficients constants.
\end{thm}
\begin{proof}
Si $F$ est l'espace des solutions d'une équation différentielle linéaire homogène d'ordre $n$ à coefficients constants, alors $F$ est un sous-espace vectoriel de $\mathcal C(\RR,\CC)$ de dimension $n$ d'après le théorème de Cauchy-Lipschitz linéaire. De plus, un tel espace est bien stable par translations.

Supposons désormais que $F$ est stable par translations. On commence par montrer que $F\subset\mathcal C^\infty(\RR,\CC)$. 

Soit $(f_1,\dotsc,f_n)$ une base de $F$. Pour $a\in\RR$ et $i\in\{1,\dotsc,n\}$, on a $\tau_{-a}f_i\in F$ donc il existe des scalaires $\lambda_{i,1}(a),\dotsc,\lambda_{i,n}(a)$ tels que
\begin{equation}
\forall x\in\RR,\quad f_i(x+a)=\sum_{k=1}^n\lambda_{i,k}(a)f_k(x).
\label{eq:1}
\end{equation}
Pour $x\in\RR$, on note $F_k(x)=\int_0^xf_k(t)\dt t$. En intégrant $(\ref{eq:1})$, on a
\[\int_0^xf_i(t+a)\dt t=\sum_{k=1}^n\lambda_{i,k}(a)F_k(x),\]
d'où
\[F_i(x+a)-F_i(x)=\sum_{k=1}^n\lambda_{i,k}(a)F_k(x).\]

Les $f_i$ sont linéairement indépendants donc les $F_i$ aussi. On dispose alors du lemme suivant :
\begin{lemme}
Soit $h_1,\dotsc,h_n$ des fonctions de $\RR$ dans $\CC$ linéairement indépendantes. Alors il existe des réels $x_1,\dotsc,x_n$ tels que la matrice $(h_i(x_j))_{1\le i,j\le n}$ soit inversible.
\end{lemme}
Soit donc $x_1,\dotsc,x_n\in\RR$ tels que $A:=(F_i(x_j))_{1\le i,j\le n}$ soit inversible. Par la relation $F_i(x_j+a)-F_i(x_j)=\sum_{k=1}^n\lambda_{i,k}(a)F_k(x_j)$, on obtient $B(a)=\Lambda(a)A$ avec $B(a):=(F_i(x_j+a)-F_i(x_j))_{1\le i,j\le n}$ et $\Lambda(a):=(\lambda_{i,j}(a))_{1\le i,j\le n}$.

On a donc $\Lambda(a)=B(a)A^{-1}$ pour tout $a\in\RR$. Les $f_i$ sont continues donc les $F_i$ sont de classe $\mathcal C^1$ et donc l'application $a\mapsto B(a)$ aussi. On en déduit que $a\mapsto\Lambda(a)$ est de classe $\mathcal C^1$ et donc que les $\lambda_{i,j}$ sont de classe $\mathcal C^1$. En prenant $x=0$ dans $(\ref{eq:1})$, on a
\[f_i(a)=\sum_{k=1}^n\lambda_{i,k}(a)f_k(0)\]
donc les $f_i$ sont de classe $\mathcal C^1$. Par récurrence, on en déduit que les $f_i$ sont de classe $\mathcal C^\infty$, donc $F\subset\mathcal C^\infty(\RR,\CC)$.

En dérivant $(\ref{eq:1})$ par rapport à $a$ en $0$, on a, pour tout $x\in\RR$,
\[f_i'(x)=\sum_{k=1}^n\lambda_{i,k}'(0)f_k(x).\]
On en déduit $f_i'\in F$ pour tout $i$, \emph{i.e.} $F$ est stable par l'endomorphisme $D$ de dérivation.\\
Soit $\mu$ le polynôme minimal de $D_{|F}$, on note $d:=\deg\mu$ ($d\le n$). On a $F\subset\ker\mu(D)$, or d'après le théorème de Cauchy-Lipschitz linéaire, $\ker\mu(D)$ est un sous-espace de $\mathcal C(\RR,\CC)$ de dimension $d$, on doit donc avoir $d=n$ et donc $F=\ker\mu(D)$.
\end{proof}
\begin{proof}[Démonstration du lemme]
On note $V:=\text{vect}(h_1,\dotsc,h_n)$ et, pour $x\in\RR$, $\delta_x$ la forme linéaire $f\mapsto f(x)$. Soit $\Gamma:=\{\delta_x\mid x\in\RR\}$ et $G:=\text{vect}_{K^*}(\Gamma)$. On a $G^{\bot_K}=\Gamma^{\bot_K}=\{0\}$, donc $G=K^*$.

On en déduit que $\Gamma$ engendre $G$, et donc qu'il existe $x_1,\dotsc,x_n\in\RR$ tels que $(\delta_{x_1},\dotsc,\delta_{x_n})$ soit une base de $K^*$. La matrice de passage de la base duale des $h_i$ à la base des $\delta_{x_i}$ est $(h_i^{**}(\delta_{x_j}))_{1\le i,j\le n}$, or $h_i^{**}(\delta_{x_j})=\delta_{x_j}(h_i)=h_i(x_j)$, d'où le résultat.
\end{proof}
\end{document}