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\title{Un homéomorphisme réalisé par l'exponentielle matricielle}
\author{}
\date{2013 -- 2014}
\begin{document}
\maketitle
\begin{thm}
L'exponentielle sur $\mathcal M_n(\RR)$ réalise un homéomorphisme entre $\mathcal S_n(\RR)$ et $\mathcal S_n^{++}(\RR)$. L'exponentielle sur $\mathcal M_n(\CC)$ réalise un homéomorphisme entre $\mathcal H_n(\CC)$ et $\mathcal H_n^{++}(\CC)$.
\end{thm}
\begin{proof}
On fait la preuve dans $\CC$, celle dans $\RR$ est analogue. Soit $A\in\mathcal H_n(\CC)$, alors il existe $U$ unitaire telle que
\[A=U\begin{pmatrix}\lambda_1&&0\\&\ddots&\\0&&\lambda_n\end{pmatrix}U^*\]
avec $\lambda_i\in\RR$, d'où
\[\exp A=U\begin{pmatrix}e^{\lambda_1}&&0\\&\ddots&\\0&&e^{\lambda_n}\end{pmatrix}U^*,\]
donc $\exp A\in\mathcal H_n^{++}(\RR)$.

Montrons maintenant que l'exponentielle sur $\mathcal H_n(\CC)$ est surjective dans $\mathcal H_n^{++}(\CC)$. Soit $A\in\mathcal H_n^{++}(\CC)$, alors
\[A=U\begin{pmatrix}\lambda_1&&0\\&\ddots&\\0&&\lambda_n\end{pmatrix}U^*\]
avec $U$ unitaire et $\lambda_i>0$, donc la matrice hermitienne
\[B=U\begin{pmatrix}\ln\lambda_1&&0\\&\ddots&\\0&&\ln\lambda_n\end{pmatrix}U^*\]
vérifie $\exp B=A$.

Montrons que $\exp:\mathcal H_n(\CC)\to\mathcal H_n^{++}(\CC)$ est injective. Soit $H_1$ et $H_2$ deux matrices hermitiennes telles que $\exp(H_1)=\exp(H_2)$. Puisque $\exp(H_1)$ est un polynôme en $H_1$, alors $H_1$ commute avec $\exp(H_2)$. D'autre part, $H_2$ est diagonalisable :
\[H_2=PDP^{-1}\quad\text{avec }D=\begin{pmatrix}\lambda_1&&0\\&\ddots&\\0&&\lambda_n\end{pmatrix}.\]
Soit $Q$ un polynôme tel que $Q(e^{\lambda_i})=\lambda_i$ pour tout $i$, alors
\[Q(\exp(H_2))=Q(P\exp(D)P^{-1})=PQ(\exp(D))P^{-1}=PDP^{-1}=H_2,\]
donc $H_2$ est un polynôme en $\exp(H_2)$ donc commute avec $H_1$. On en déduit que $H_1$ et $H_2$ sont diagonalisables dans une même base :
\[H_1=PD_1P^{-1}\quad\text{et}\quad H_2=PD_2P^{-1}\quad\text{avec $D_1$ et $D_2$ diagonales réelles}.\]
Donc $\exp(D_1)=\exp(D_2)$ et les valeurs propres de $H_1$ et $H_2$ sont réelles donc $D_1=D_2$, d'où $H_1=H_2$.

L'exponentielle étant continue, il reste à établir que sa réciproque est continue. Soit $(A_p)_{p\in\NN}$ une suite de $\mathcal H_n^{++}(\CC)$ convergeant vers $A\in\mathcal H_n^{++}(\CC)$, on note $A_p=\exp(B_p)$ et $A=\exp(B)$ avec $B_p$ et $B$ hermitiennes, il s'agit de montrer que $(B_p)_{p\in\NN}$ converge vers $B$.

On munit $\mathcal M_n(\CC)$ de la norme induite par la norme 2 : $\|A\|_2=\sqrt{\rho(A^*A)}$, où $\rho$ désigne le rayon spectral. On dispose alors d'un lemme :
\begin{lemme}
Soit $A\in\mathcal H_n(\CC)$, alors $\|A\|_2=\rho(A)$.
\end{lemme}
Utilisons ce lemme pour montrer que la suite $(B_p)_{p\in\NN}$ est bornée, on montrera ensuite qu'elle admet une unique valeur d'adhérence pour conclure.

Les matrices $A_p$ sont définies positives, donc leurs valeurs propres sont dans $\mathopen]0,+\infty[$. De plus, la suite $(A_p)_{p\in\NN}$ converge vers $A$ donc est bornée, or $\rho(A_p)=\|A_p\|_2$ donc les valeurs propres des $A_p$ sont bornées. De même, la suite $(A_p^{-1})_{p\in\NN}$ converge vers $A^{-1}$ donc les valeurs propres des $A_p^{-1}$ sont bornées. On en déduit que les valeurs propres des matrices $A_p$ sont contenues dans un compact de $\mathopen]0,+\infty[$. En considérant l'image par le logarithme de ces valeurs propres, on obtient que les valeurs propres des matrices $B_p$ sont bornées. De plus, $\rho(B_p)=\|B_p\|_2$, donc la suite $(B_p)_{p\in\NN}$ est bornée.

Soit maintenant $B_0\in\mathcal H_n(\CC)$ une valeur d'adhérence de $(B_p)_{p\in\NN}$, alors, par convergence de $(A_p)_{p\in\NN}$ vers $A$, $\exp(B_0)=\exp(B)$ et donc $B_0=B$ par l'injectivité prouvée précédemment. La suite $(B_p)_{p\in\NN}$ est donc bornée et admet $B$ comme unique valeur d'adhérence donc converge vers $B$. 
\end{proof}
\begin{proof}[Démonstration du lemme]
$A\in\mathcal H_n(\CC)$ donc $A$ est diagonalisable dans une base orthonormée $(e_1,\dotsc,e_n)$. Si $\lambda_1,\dotsc,\lambda_n$ désignent les valeurs propres de $A$ et si $X:=x_1e_1+\dotsb+x_ne_n$ est un vecteur de $\CC^n$ de norme 1, on a
\[\|AX\|_2^2=\sum_{k=1}^n|x_k|^2|\lambda_k|^2\le\rho(A)^2\sum_{k=1}^n|x_k|^2=\rho(A)^2,\]
donc $\|A\|_2\le\rho(A)$.

Soit $k$ tel que $\rho(A)=|\lambda_k|$, alors
\[\rho(A)=|\lambda_k|=\|Ae_k\|_2,\]
d'où $\|A\|_2=\rho(A)$.
\end{proof}
\begin{thebibliography}{9}
\bibitem{MT}
Rached Mneimné, Frédéric Testard,
\emph{Introduction à la théorie des groupes de Lie classiques},
Hermann,
1994,
page 62.
\end{thebibliography}
\end{document}