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\title{Théorème de Von Neumann}
\newtheorem*{thm}{Théorème}
\newtheorem*{lem}{Lemme}
\newcommand{\Mn}{\mathcal M_n(\mathbb R)}
\date{}
\begin{document}
 \maketitle
Ce développement se trouve dans \emph{Calcul différentiel}, de Gonnord et Tosel. \\

\begin{thm}
Soit $G$ un sous-groupe fermé de $GL_n(\mathbb R)$. Alors $G$ est une sous-variété de $\mathcal M_n(\mathbb R) \simeq \mathbb R^{n^2}$.
\end{thm}
\vspace{0.5cm}
\hrule
\vspace{0.5cm}
\begin{proof}
 \begin{lem}
L'espace $$\mathcal L_G = \{ M \in \mathcal M_n(\mathbb R) \; | \; \forall t \in \mathbb R,\, \exp(tM) \in G\}$$
est un sous espace vectoriel de $\mathcal M_n(\mathbb R)$.
 \end{lem}
\begin{proof}
L'exponentielle matricielle est différentiable en 0 (elle est $\mathcal C^\infty$ sur $\Mn$) de différentielle $D\exp(0) = I$ réalisant un automorphisme de $\Mn$. Par théorème d'inversion locale, il existe donc un voisinage $U$ de 0 et un voisinage $V$ de $I$ dans $GL_n(\mathbb R)$ tels que l'exponentielle réalise un $\mathcal C^\infty$-difféomorphisme de $U$ sur $V$. On note $L$ sa fonction réciproque. \\
Soient $a,b\in \Mn$. \\
Puisque $\exp(x)=I+x+o\left(\frac{1}{x} \right)$, on a $$\exp\left(\frac{a}{k}\right)\exp\left(\frac{b}{k}\right)=I+\frac{a+b}{k}+o\left(\frac{1}{k}\right).$$
Ainsi, pour $k$ suffisamment grand, $\exp\left(\frac{a}{k}\right)\exp\left(\frac{b}{k}\right) \in V$ et on peut utiliser $L$:
$$\left[\exp\left(\frac{a}{k}\right)\exp\left(\frac{b}{k}\right)\right]^k = \exp\left(kL\left(\exp\left(\frac{a}{k}\right)\exp\left(\frac{b}{k}\right)\right)\right)=\exp\left(kL\left(I+\frac{a+b}{k}+o\left(\frac{1}{k}\right)\right)\right).$$
Puisque $L(I+M)=M+o(|M|)$, le dernier terme tend vers $\exp(a+b)$ quand $k \to \infty$. \\
$\mathcal L_G$ est clairement stable par multiplication externe. Si $a,b \in \mathcal L_G$ et $t\in \mathbb R$,
$$\exp(t(a+b)) = \lim_{k \to \infty} \underbrace{\left(\exp\left(\frac{ta}{k}\right)\exp\left(\frac{tb}{k}\right)\right)^k}_{\in G}$$
et $G$ est fermé, ce qui permet de conclure.
\end{proof}
On peut alors introduire $M$, supplémentaire de $\mathcal L_G$ dans $\Mn$, et définir une application $\varphi : \Mn \to GL_n(\mathbb R)$ en envoyant $x=l+m$ ($(l,m)\in \mathcal L_G \times M$) sur $\exp(l)\exp(m)$.

On va maintenant montrer par l'absurde qu'il n'existe pas de suite $(m_k)$ de $M\setminus \{0\}$ tendant vers 0 et telle que $\forall k \in \mathbb N^\ast, \, \exp(m_k)\in G$. \\
On suppose l'existence d'une telle suite et on pose $\varepsilon_k = \frac{m_k}{|m_k|}$. Quitte à extraire, on peut supposer que $(\varepsilon_k)$ converge vers $\varepsilon \in M$ de norme 1. Montrons qu'alors $\varepsilon \in \mathcal L_G$. Soit $ t\in \mathbb R$, on a $\exp(t\varepsilon)= \lim_k \exp(tm_k/|m_k|)$. Si on pose $\frac{t}{|m_k|} = \lambda_k+\mu_k$ avec $\lambda_k \in \mathbb Z$ et $|\mu_k| < \frac{1}{2}$, on obtient
$$\exp\left( t\frac{m_k}{|m_k|}\right) = \exp(\lambda_k m_k) \exp(\mu_k m_k).$$
Or, $\exp(\lambda_k m_k) \in G$ car $\lambda_k \in \mathbb Z$, et $\exp(\mu_k m_k)$ tend vers 1 puisque $m_k$ tend vers 0 et $\mu_k$ borné. Puisque $G$ est fermé, $\exp(t\varepsilon)\in G$.

Montrons alors que $G$ est discret si et seulement si $\mathcal L_G = \{0\}$. \\
Si $G$ est discret, $\mathcal L_G$ est forcément nul (sinon $(\exp(tm))_t \subset G$). \\
Réciproquement, si $\mathcal L_G$ est nul, l'absence de suite de limite nulle de $M\setminus\{0\}$ telle que $\exp(m_k) \in G$ montre (en utilisant $L$) que $I$ est isolé. Par structure de groupe topologique, tous les points sont isolés.

On va maintenant conclure la preuve. \\
On suppose que $\mathcal L_G \neq 0$. Alors, comme $\varphi$ est $\mathcal C^\infty$ et que sa différentielle en 0 est l'identité, elle réalise un $\mathcal C^\infty$-difféomorphisme d'un voisinage ouvert $\tilde U$ de 0 sur $\varphi(\tilde U)$, voisinage ouvert de $I$ dans $GL_n(\mathbb R)$. Reste à voir que quitte à restreindre $\tilde U$, tout élément de $\varphi(U) \cap G$ est image par $\varphi$ d'un élément de $U \cap \mathcal L_G$. Si ce n'est pas le cas, il existe deux suites $(m_k) \subset M\setminus\{0\}$ et $(l_k) \subset \mathcal L_G$ de limite nulle telles que $\varphi(m_k+l_k)\in G$. Or, les $\exp(l_k)$ sont dans $G$, ceci impliquant que les $\exp(m_k)$ le sont aussi, ce qui est impossible.  

On vient de montrer qu'il existait un voisinage ouvert de $I$ dans $G$ difféomorphe à un ouvert d'un espace vectoriel. On termine en invoquant la structure de groupe et le $\mathcal C^\infty$-difféomorphisme de la translation $h\mapsto gh$.
\end{proof}


\end{document}
