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\newtheorem*{thm}{Théorème}
\newtheorem*{lem}{Lemme}
\newcommand{\ima}{\operatorname{Im}}
\date{}
\title{Commutant d'un endomorphisme}
\begin{document}
\maketitle
Ce développement se trouve dans les oraux X-ENS, algèbre, volume 2.
On admet le théorème suivant : $f$ est cyclique si et seulement si $\chi_f=\pi_f$.
\begin{thm} Soit $A\in \mathcal{M}_n(K)$. On note $\mathcal C(A)$ l'ensemble des matrices de $\mathcal{M}_n(K)$ qui communtent avec $A$ et $K[A]$ l'ensemble des polynômes en $A$.
\begin{itemize}
 \item Si $A$ est diagonalisable de valeurs propres $(\lambda_1,\cdots,\lambda_r)$ de multiplicité $(n_1,\cdots,n_r)$, alors
$$\dim K[A]=r \quad \text{et} \dim(\mathcal C(A))=\sum_{i=1}^r n_i^2.$$
En outre, $\dim \mathcal C(A)=n \Leftrightarrow \dim K[A]=n \Leftrightarrow r=n \Leftrightarrow \mathcal C(A)=K[A]$.
\item Dans le cas général, $\mathcal C(A)=K[A] \Leftrightarrow A$ est cyclique.
\end{itemize}
\end{thm}
\vspace{0.5cm}
\hrule
\vspace{0.5cm}
\begin{proof}
 Commençons par quelques remarques générales. Quelle que soit $A \in \mathcal M_n(K)$, $\dim K[A]=\deg \pi_A$, polynôme minimal de $A$. En effet, l'application $P \mapsto P(A)$ est surjective de $K[X]$ sur $K[A]$ de noyau $\pi_A K[X]$, donc restreinte à $K_{r-1}[X]$, elle réalise un isomorphisme. \\
Par ailleurs, tout polynôme en $A$ commute avec $A$ donc $K[A] \subset \mathcal C(A)$. \\
Enfin, les sous-espaces propres de $A$ sont stables par tout élément de $\mathcal C(A)$.
\begin{itemize}
 \item Supposons donc $A$ diagonalisable. On note $(E_i)_{i=1}^r$ les sous espaces propres associés aux $(\lambda_i)$. Tout élément $B\in \mathcal C(A)$ induit un endormorphisme $B_i$ sur chaque $E_i$. On peut donc s'intéresser à l'application 
$\psi : \mathcal C(A) \to \mathcal L(E_1) \times \cdots \times \mathcal L(E_r)$ telle que $\psi(B)=(B_i).$ Celle application est linéaire et injective (si $B$ est nulle sur chaque $E_i$, $B$ est nulle partout...). Elle est aussi surjective car pour toute famille $(B_i) \in \prod \mathcal L(E_i)$, on peut définir $B$ sur $E=\bigoplus E_i$ en posant pour $x\in E_i$, $B(x)=B_i(x)$. On vérifie alors que $B\in \mathcal C(A)$ car pour tout $i$, $B_i$ commute avec $A_i=\lambda_i I$. De fait, $\mathcal C(A)$ et $\mathcal L(E_i) \times \dots \times \mathcal L(E_r)$ sont isomorphes et $\dim \mathcal C(A)=\sum_{i=1}^r n_i^2$. On peut remarquer que $\dim \mathcal C(A) \geqslant \sum_{i=1}^r n_i=n$   \\
En outre, $\pi_A = (X-\lambda_1)(X-\lambda_2) \cdots (X-\lambda_r)$ (il est simplement scindé car $A$ est diagonalisable) donc $\dim K[A]=\deg \pi_A=r$.

Pour démontrer l'équivalence, commençons par supposer $\dim \mathcal C(A)=n$. On a alors $\forall i, \; n_i=n_i^2$, ce qui impose que $\forall i\; n_i=1$, donc que $r=n$. Ceci implique donc $\dim K[A]=n=\dim \mathcal C(A)$ donc $\mathcal C(A)=K[A]$ (on a déjà une inclusion). \\
Si $\dim K[A]=n$, cela signifie que $r=n$, donc que tous les $n_i$ sont égaux à 1. Ceci implique $\dim \mathcal C(A)=n$ donc $\mathcal C(A)=K[A]$. \\
Enfin, si $K[A]=\mathcal C(A)$, on a
$$\dim K[A]=r \leqslant n=n_1+n_2+\cdots+n_r \leqslant n_1^2+\cdots+n_r^2 = \dim \mathcal C(A).$$
De fait, toutes ces inégalités sont des égalités et tous les $n_i$ sont égaux à 1, ce qui montre que $n=r$.
\item $A$ n'est plus supposée diagonalisable. Montrons le lemme suivant:
\begin{lem}
La dimension de $\mathcal C(A)$ est toujours supérieure ou égale à $n$.
\end{lem}
\begin{proof}
Soit $S=\mathcal C(A)$. $S$ est l'espace des solutions du système linéaire $AX-XA=0$, d'inconnue $X$. \\
Si $A$ est trigonalisable (on la suppose, quitte à changer de base, trigonalisée), on cherche les solutions $X=(X_{ij})$ triangulaires supérieures. Puisque $AX-XA$ est alors triangulaire supérieure, résoudre ce système équivaut à l'écriture de $\frac{n(n+1)}{2}$ équations traduisant la nullité des coefficients de $AX-XA$. De celles-ci, on peut supprimer celles corresposnant aux termes diagonaux qui sont trivialement vérifiées. On a donc un système à $\frac{n(n-1)}{2}$ équations à $\frac{n(n+1}{2}$ inconnues, donc $S$ est de dimension supérieure à $n$, ce qu'il fallait montrer.

Pour une matrice générale, on se place dans $L$, corps de décomposition de $\chi_A$. Ce dernier est donc scindé et $A$ est alors trigonalisable. L'espace des solutions du système ($X$ est alors dans $\mathcal M_n(L)$) est de dimension supérieure à $n$. $AX-XA$ est un système linéaire à coefficients dans $K$. On peut donc noter $B \in \mathcal{M}_{n^2}(K)$ sa matrice. Or, le rang est invariant par extension de corps (on peut le voir avec la décomposition $UJV$). De fait, la dimension de l'espace solution est invariant qu'on prenne $X$ à coefficients dans $K$ ou dans $L$. Ainsi, $\dim S \geqslant n$, ce qu'il fallait montrer.
\end{proof}
Si $\mathcal C(A)=K[A]$, nécessairement, $\dim \mathcal C(A)= \dim K[A]=n$, ce qui montre que $\pi_A=\chi_A$.

Réciproquement, si $\pi_A=\chi_A$, $A$ est alors cyclique : il existe $e\in K^n$ tel que $(e,Ae,\cdots,A^{n-1}e)$ est une base de $K^n$. On considère l'application
$$f:B\in \mathcal C(A) \mapsto Be \in K^n$$
qui est linéaire. Si $B\in \ker f$, alors $BA^ke=A^kBe=0$ donc $B=0$. Ainsi, $\dim \mathcal C(A) = n$ (par le lemme). On en déduit que $K[A]=\mathcal C(A)$, par égalité des dimension.
\end{itemize}

\end{proof}

 \end{document}

