\documentclass[a4paper]{article}
\usepackage{entete}
\author{Référence~: L. Schwartz, Analyse 2}
\title{Théorème de Cauchy-Lipschitz}
\date{}

\begin{document}
\maketitle

Dans la suite, on considère le problème de Cauchy~:
\begin{equation}\tag{E}\label{E}
    \left\{
    \begin{array}{l}
        y'=L(t,y) \\
        y(t_0)=y_0
    \end{array}
    \right.
\end{equation}
où $L$ est continue de $|a,b|\times \R^n$, $|a,b|$ intervalle (ouvert, fermé ou semi-ouvert) de $\R$.

\begin{thm}[de Cauchy-Lipschitz]
    On suppose la fonction $L$ continue et globalement $k$-lipschitzienne en sa seconde variable.

    Alors l'équation~(\ref{E}) admet une unique solution $f$ sur $|a,b|$.
\end{thm}

\begin{proof}
    Partons d'une fonction $f_0$, et construisons une suite de fonction $(f_n)_n$ par récurrence~:
    \begin{equation}\label{def f}f_{n+1}(t) = y_0 + \int_{t_0}^t L(\xi,f_n(t))\diff \xi.\end{equation}

    \begin{lem}
        La suite $(f_n)$ vérifie, pour tout $n$~:
        $$
            \left\{
            \begin{array}{c}
                \|f_{n+1}(t)-f_n(t)\| \leqslant C \frac{k^n|t-t_0|^n}{n!} \\
                \\
                \text{où } C\leqslant \sup_{t_0 \leqslant \xi \leqslant t} \|f_1(\xi) - f_0(\xi) \|
            \end{array}
            \right.
            $$
    \end{lem}

    \begin{prooflem}
        Le résultat est évident pour $n=0$.

        Supposons-le vrai pour $n\geqslant 0$.

        Alors~:
        $$f_{n+2}-f_{n+1} = \int_{t_0}^t \left( L(\xi,f_{n+1}(t)) - L(\xi,f_n(t))\right) \diff \xi,$$
        d'où
        \begin{align*}
            \|f_{n+2}-f_{n+1}\| & \leqslant \int_{t_0}^t \left\| L(\xi,f_{n+1}(t)) - L(\xi,f_n(t))\right\| \diff \xi \\
            & \leqslant k \int_{t_0}^t \|f_{n+1}(t) - f_n(t)\| \qquad \text{car $L$ lipschitzienne} \\
            & \leqslant \frac{Ck^{n+1}}{n!} \int_{t_0}^t |\xi-t_0|^n \diff \xi \qquad \text{par hypothèse de récurrence}\\
            & \leqslant C \frac{k^{n+1} |t-t_0|^{n+1}}{(n+1)!}
        \end{align*}
    \end{prooflem}

    Ce lemme nous permet d'affirmer que la suite $(f_n)$ est de Cauchy uniformément sur tout compact, et donc converge uniformément sur tout compact, vers une fonction $f$.

    La continuité uniforme nous autorise à passer à la limite dans la définition des $f_n$, d'où~:
    $$f(t) = y_0 + \int_{t_0}^t L(\xi,f(\xi)) \diff \xi,$$
    ce qui est équivalent à (\ref{E}).

    On peut montrer le lemme suivant par récurrence sur $n$~:
    \begin{lem}
        Soient $f_0$ et $g_0$ deux fonctions, et $(f_n)$ et $(g_n)$ les suites définies par la relation~(\ref{def f}) à partir des données initiales $f_0$ et $g_0$ respectivement.

        Alors pour tout $n$~:
        $$\|f_n(t) - g_n(t)\| \leqslant C \frac{k^n|t-t_0|^n}{n!}.$$

    \end{lem}

    Ce lemme nous montre que la limite $f$ est indépendant du choix de $f_0$.

    Soit $\hat f$ une autre solution de (\ref{E}).
    En considérant la suite définie par $f_0=\hat f$ et la relation (\ref{def f}), on obtient $f_n = \hat f$, et donc $\hat f = f$.
 
    D'où l'unicité.
\end{proof}

\begin{exm}
    Si $L$ n'est pas lipschitzienne, on perd l'unicité~: on peut par exemple prendre $L(t,y) = 3y^{2/3}$. 

    $L$ n'est pas lipschitzienne au voisinage de $0$, et si $c_1 < 0 < c_2$, la fonction définie par
    $$y(t) = \left\{
    \begin{array}{ll}
        (t-c_1)^3 & \text{ pour }t\leqslant c_1 \\
        0 &\text{ pour } c_1 < t < c_2 \\
        (t-c_2)^3 &\text{ pour } c_2 \leqslant t
    \end{array}
    \right.
    $$
    est solution de $y' = L(t,y)$ avec $y(0)=0$.
\end{exm}

\begin{rmq}
    Cette version de la démonstration ne réutilise pas le théorème du point fixe de Picard. En fait, on peut adapter pour l'utiliser (magouille, ô magouille) pour la leçon en question, en montrant directement~:

    Si $\Phi~: g \mapsto y_0 + \int_{t_0}^\cdot L(\xi,g(\xi))\diff \xi$, alors $\Phi$ vérifie pout tout $p$~:
    $$\|\Phi^p(g_1)(t) - \Phi^p(g_2)(t)\| \leqslant \frac{k^p |t-t_0|^{p}}{p!} \|g_1 - g_2\|_\infty.$$
    Donc pour $p$ assez grand, $\Phi^p$ est contractante et donc admet un unique point fixe. (en fait, c'est là que c'est pénible si $a$ ou $b$ est $\infty$ : il faut construire la suite et la faire converger sur tout compact).
\end{rmq}

\begin{rmq}
    On montre ici le théorème avec $L$ {\em globalement} lipschitzienne. On peut mentionner que le cas {\em localement} lipschitzien se fait de la même manière, avec un cylindre de sécurité pour pas sortir des ensembles de définition des fonctions.
\end{rmq}

\end{document}
