Voir la source de 103 -- Conjugaison dans un groupe. Exemples de sous-groupes distingués et de groupes quotients. Applications.

Le plan que Perrine et moi avons fait pour cette leçon :

== I) Conjugaison et Groupe quotient ==

Naturellement mené par la question : à quelle condition un sous-groupe peut-il être noyau d'un morphisme ?

1- conjugaison et sous-groupes distingués (exemple des permutations de même profil)

2 - classe à gauche (permet de montrer Lagrange et Frobénius - F-G-N oraux X-ENS algèbre 1 p. 48)

3 - groupe quotient (factorisation de morphismes...)

== II) Simplicité et résolubilité ==

Notions aux implications importantes via Galois pour la résolution par radicaux des polynômes et la résolution par quadrature des équations différentielles.

Théorèmes de Sylow, groupe dérivé, Lie-Kolchin (Chambert-Loir "a field guide to algebra" p. 98), suite de Jordan-Hölder (Delcourt "Théorie des groupes")

== III) Devissage de groupes ==

Autrement dit comment se ramener à des groupes plus petits pour étudier les propriétés du groupe de départ.

Théorème chinois et structure des abéliens de type fini. La caractérisation du produit direct(avoir deux sous-groupes distingués H, K avec HK=G et H<math>\cap</math>K={e}) amène la définition du produit semi-direct et sa caractérisation (idem mais K n'est pas distingué). Ceci permet de lister les groupes d'ordre 8 ou 12 (Delcourt p.99)

== Medley de rapports de jury ==

Des exemples et applications en géométrie élémentaire sont nécessaires.

La notion de produit semi-direct n’est plus au programme, mais lorsqu’elle est utilisée il faut savoir la
définir proprement    

En général le stabilisateur d'un élément n'est pas un sous-groupe distingué contrairement à ce qu'a pu entendre le jury.

Les candidats parlent de groupes simples et de sous-groupe dérivé ou de groupe quotient sans savoir utiliser ces no-
tions. Il faudrait savoir par exemple que

- tout morphisme de source un groupe simple est soit injectif soit trivial.

- dans un groupe simple, toute réunion de classes de conjugaison non triviale engendre le groupe (par
exemple les éléments de la forme x 2 y x).

- tout morphisme d’un groupe G vers un groupe abélien se factorise via G ab := G/D(G).
.

Il faut bien connaître le cas du groupe <math>\mathfrak{S}_4</math>, notamment <math>V_4 \rightarrow \mathfrak{A}_4 \rightarrow \mathfrak{S}_4</math> et faire le lien avec le tétraèdre.