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Ce développement montre qu'un sous-groupe compact de <math>GL_n</math> est un sous-groupe d'un groupe orthogonal pour un certain produit scalaire.

== Remarques ==
Le développement est long et nécessite de nombreux résultats puissants. Entre autre il semble impossible de le faire tenir en 15 minutes sans admettre le [http://fr.wikipedia.org/wiki/Th%C3%A9or%C3%A8me_de_Carath%C3%A9odory_%28g%C3%A9om%C3%A9trie%29 théorème de Carathéodory sur l'enveloppe convexe en dimension finie].

Un énoncé équivalent stipule que les sous-groupes compacts de <math>GL_n</math> sont exactement les sous-groupes de <math>\mathcal{O}_n</math> à conjugaison près. Ce résultat est à replacer dans le contexte de la '''richesse de la géométrie euclidienne en dimension finie''' qui est très bien développé dans Alessandri.

== Le développement ==
=== Version 2011 ===
[[Fichier:Tex.png|alt=Tex|link=|24px]] [[Média:SousgroupescompactsGLn.tex‎ | Sous-groupes compacts de <math>GL_n</math>]]

=== Version 2012 ===

*[[Fichier:Pdf.png|alt=Tex|link=|24px]] [[Média:Sg_compact_GLn_2012.pdf | Sous-groupes compacts de <math>GL_n</math>]]
*[[Fichier:Tex.png|alt=Tex|link=|24px]] [[Média:Dvt_sous_groupes_compact_de_gln.tex | Sous-groupes compacts de <math>GL_n</math>, n°2]]
*[[Fichier:Pdf.png|alt=Tex|link=|24px]] [[Média:Dvt_sous_groupes_compact_de_gln.pdf | Sous-groupes compacts de <math>GL_n</math>, n°2]]

=== Version 2013 ===

Cette version présente un raccourci pour montrer le lemme.

*[[Fichier:Tex.png|alt=Tex|link=|24px]] [[Média:Sous-groupes_compacts_GLn.tex | Sous-groupes compacts de <math>GL_n</math>]]
*[[Fichier:Pdf.png|alt=Tex|link=|24px]] [[Média:Sous-groupes_compacts_GLn.pdf | Sous-groupes compacts de <math>GL_n</math>]]

== Version 2021 ==
*[[Fichier:Pdf.png|alt=Tex|link=|24px]] [[Média:Sous_groupe_compact_de_GLn(R).pdf | Sous-groupes compacts de <math>GL_n</math>]]

== Recasements ==
(D) signale les développements de l'option informatique.

=== Algèbre ===
* [[106 -- Groupe linéaire d'un espace vectoriel de dimension finie E, sous-groupes de GL(E). Applications.]]  (D)
* [[150 -- Exemples d'actions de groupes sur des espaces de matrices.]]
* [[170 -- Formes quadratiques sur un espace vectoriel de dimension finie. Orthogonalité, isotropie. Applications.]]  (D)
* ([[160 -- Endomorphismes remarquables d'un espace vectoriel euclidien (de dimension finie).]])  (D)

=== Analyse ===
Il est à noter que ce développement n'est pas à proprement parler une "utilisation de la notion de compacité".

* [[206 -- Théorèmes de point fixe. Exemples et applications.]]  (D)
* ([[203 -- Utilisation de la notion de compacité.]])  (D)
* ([[229 -- Fonctions monotones. Fonctions convexes. Exemples et applications.]])  (D)

== Références ==
* Alessandri : ''Thèmes de Géométrie'', p141 et 160




[[Category:Développement de la leçon 106]]
[[Category:Développement de la leçon 150]]
[[Category:Développement de la leçon 170]]
[[Category:Développement de la leçon 160]]
[[Category:Développement de la leçon 206]]
[[Category:Développement de la leçon 203]]
[[Category:Développement de la leçon 229]]