Formule d'inversion de Fourier - Historique des versions

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Mathias Millet le 16 décembre 2014 à 14:26

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Maxime Pouvreau le 9 juin 2014 à 15:34

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Maxime Pouvreau le 11 mai 2014 à 17:38

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Maxime Pouvreau le 11 mai 2014 à 15:24

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Maxime Pouvreau le 17 mars 2014 à 22:12

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Recasage :

*[[235 -- Suites et séries de fonctions intégrables. Exemples et applications.]] (version avec les approximations de l'unité)
*[[236 -- Illustrer par des exemples quelques méthodes de calculs d'intégrales de fonctions d'une ou plusieurs variables réelles.]] (version la transformée de la gaussienne)
*[[239 -- Fonctions définies par une intégrale dépendant d'un paramètre. Exemples et applications.]]
*[[240 -- Produit de convolution, transformation de Fourier. Applications.]]
*[[241 -- Suites et séries de fonctions. Exemples et contre-exemples.]] (version avec les approximations de l'unité)
*[[247 -- Exemples de problèmes d'interversion de limites.]]
*[[254 -- Espaces de Schwartz S(R^d) et distributions tempérées. Transformation de Fourier dans S(R^d) et S'(R^d).]] (version dans <math>\mathcal S(\mathbb R)</math>)
*[[255 -- Espaces de Schwartz. Distributions. Dérivation au sens des distributions.]] (version dans <math>\mathcal S(\mathbb R)</math>)

*Version dans <math>\mathcal S(\mathbb R)</math> : [[Fichier:Pdf.png|alt=Pdf|link=Média:Fourier.pdf|24px]]

*Version dans <math>L^1(\mathbb R)</math> avec les approximations de l'unité : [[Fichier:Tex.png|alt=Tex|link=Média:Inversion_Fourier2.tex|24px]],[[Fichier:Pdf.png|alt=Pdf|link=Média:Inversion_Fourier2.pdf|24px]]

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 *[[255 -- Espaces de Schwartz. Distributions. Dérivation au sens des distributions.]] (version dans <math>\mathcal S(\mathbb R)</math>)
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+*Version dans <math>L^1(\mathbb R)</math> avec les approximations de l'unité : [[Fichier:Tex.png|alt=Tex|link={{filepath:Inversion_Fourier2.tex}}|24px]],[[Fichier:Pdf.png|alt=Pdf|link={{filepath:Inversion_Fourier2.pdf}}|24px]]
 On remarque en fait a posteriori que la version dans <math>\mathcal S(\mathbb R)</math> n'est pas plus faible que celle dans <math>L^1(\mathbb R)</math> (une fois qu'on a cette deuxième version). En effet, dans la version <math>\mathcal S(\mathbb R)</math>, les seules hypothèses sur <math>f</math> qu'on utilise est son intégrabilité, sa continuité et son caractère borné (ces deux dernières hypothèses sont nécessaires pour appliquer le théorème de convergence dominée à la fin). Or la transformée de Fourier d'une fonction <math>L^1</math> est justement continue et bornée donc, en appliquant la formule d'inversion, on remarque que si <math>f</math> et <math>\hat f</math> sont dans <math>L^1</math>, alors <math>f</math> est continue (presque partout) et bornée. On ne perd donc rien à supposer au départ que <math>f</math> est continue et bornée.

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 On remarque en fait a posteriori que la version dans <math>\mathcal S(\mathbb R)</math> n'est pas plus faible que celle dans <math>L^1(\mathbb R)</math> (une fois qu'on a cette deuxième version). En effet, dans la version <math>\mathcal S(\mathbb R)</math>, les seules hypothèses sur <math>f</math> qu'on utilise est son intégrabilité, sa continuité et son caractère borné (ces deux dernières hypothèses sont nécessaires pour appliquer le théorème de convergence dominée à la fin). Or la transformée de Fourier d'une fonction <math>L^1</math> est justement continue et bornée donc, en appliquant la formule d'inversion, on remarque que si <math>f</math> et <math>\hat f</math> sont dans <math>L^1</math>, alors <math>f</math> est continue (presque partout) et bornée. On ne perd donc rien à supposer au départ que <math>f</math> est continue et bornée.

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	On remarque en fait a posteriori que la version dans <math>\mathcal S(\mathbb R)</math> n'est pas plus faible que celle dans <math>L^1(\mathbb R)</math> (une fois qu'on a cette deuxième version). En effet, dans la version <math>\mathcal S(\mathbb R)</math>, les seules hypothèses sur <math>f</math> qu'on utilise est son intégrabilité, sa continuité et son caractère borné (ces deux dernières hypothèses sont nécessaires pour appliquer le théorème de convergence dominée à la fin). Or la transformée de Fourier d'une fonction <math>L^1</math> est justement continue et bornée donc, en appliquant la formule d'inversion, on remarque que si <math>f</math> et <math>\hat f</math> sont dans <math>L^1</math>, alors <math>f</math> est continue (presque partout) et bornée. On ne perd donc rien à supposer au départ que <math>f</math> est continue et bornée.		On remarque en fait a posteriori que la version dans <math>\mathcal S(\mathbb R)</math> n'est pas plus faible que celle dans <math>L^1(\mathbb R)</math> (une fois qu'on a cette deuxième version). En effet, dans la version <math>\mathcal S(\mathbb R)</math>, les seules hypothèses sur <math>f</math> qu'on utilise est son intégrabilité, sa continuité et son caractère borné (ces deux dernières hypothèses sont nécessaires pour appliquer le théorème de convergence dominée à la fin). Or la transformée de Fourier d'une fonction <math>L^1</math> est justement continue et bornée donc, en appliquant la formule d'inversion, on remarque que si <math>f</math> et <math>\hat f</math> sont dans <math>L^1</math>, alors <math>f</math> est continue (presque partout) et bornée. On ne perd donc rien à supposer au départ que <math>f</math> est continue et bornée.
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		+	[[Category: Développement de la leçon 234]]
		+	[[Category: Développement de la leçon 235]]
		+	[[Category: Développement de la leçon 236]]
		+	[[Category: Développement de la leçon 239]]
		+	[[Category: Développement de la leçon 240]]
		+	[[Category: Développement de la leçon 241]]
		+	[[Category: Développement de la leçon 247]]
		+	[[Category: Développement de la leçon 254]]
		+	[[Category: Développement de la leçon 255]]

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	*Version dans <math>L^1(\mathbb R)</math> avec les approximations de l'unité : [[Fichier:Tex.png\|alt=Tex\|link=Média:Inversion_Fourier2.tex\|24px]],[[Fichier:Pdf.png\|alt=Pdf\|link=Média:Inversion_Fourier2.pdf\|24px]]		*Version dans <math>L^1(\mathbb R)</math> avec les approximations de l'unité : [[Fichier:Tex.png\|alt=Tex\|link=Média:Inversion_Fourier2.tex\|24px]],[[Fichier:Pdf.png\|alt=Pdf\|link=Média:Inversion_Fourier2.pdf\|24px]]

−	On remarque en fait a posteriori que la version dans <math>\mathcal S(\mathbb R)</math> n'est pas plus faible que celle dans <math>L^1(\mathbb R)</math>. En effet, dans la version <math>\mathcal S(\mathbb R)</math>, les seules hypothèses sur <math>f</math> qu'on utilise est son intégrabilité, sa continuité et son caractère borné (ces deux dernières hypothèses sont nécessaires pour appliquer le théorème de convergence dominée à la fin). Or la transformée de Fourier d'une fonction <math>L^1</math> est justement continue et bornée donc, en appliquant la formule d'inversion, on remarque que si <math>f</math> et <math>\hat f</math> sont dans <math>L^1</math>, alors <math>f</math> est continue (presque partout) et bornée. On ne perd donc rien à supposer au départ que <math>f</math> est continue et bornée.	+	On remarque en fait a posteriori que la version dans <math>\mathcal S(\mathbb R)</math> n'est pas plus faible que celle dans <math>L^1(\mathbb R)</math> (une fois qu'on a cette deuxième version). En effet, dans la version <math>\mathcal S(\mathbb R)</math>, les seules hypothèses sur <math>f</math> qu'on utilise est son intégrabilité, sa continuité et son caractère borné (ces deux dernières hypothèses sont nécessaires pour appliquer le théorème de convergence dominée à la fin). Or la transformée de Fourier d'une fonction <math>L^1</math> est justement continue et bornée donc, en appliquant la formule d'inversion, on remarque que si <math>f</math> et <math>\hat f</math> sont dans <math>L^1</math>, alors <math>f</math> est continue (presque partout) et bornée. On ne perd donc rien à supposer au départ que <math>f</math> est continue et bornée.

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	*Version dans <math>L^1(\mathbb R)</math> avec les approximations de l'unité : [[Fichier:Tex.png\|alt=Tex\|link=Média:Inversion_Fourier2.tex\|24px]],[[Fichier:Pdf.png\|alt=Pdf\|link=Média:Inversion_Fourier2.pdf\|24px]]		*Version dans <math>L^1(\mathbb R)</math> avec les approximations de l'unité : [[Fichier:Tex.png\|alt=Tex\|link=Média:Inversion_Fourier2.tex\|24px]],[[Fichier:Pdf.png\|alt=Pdf\|link=Média:Inversion_Fourier2.pdf\|24px]]
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		+	On remarque en fait a posteriori que la version dans <math>\mathcal S(\mathbb R)</math> n'est pas plus faible que celle dans <math>L^1(\mathbb R)</math>. En effet, dans la version <math>\mathcal S(\mathbb R)</math>, les seules hypothèses sur <math>f</math> qu'on utilise est son intégrabilité, sa continuité et son caractère borné (ces deux dernières hypothèses sont nécessaires pour appliquer le théorème de convergence dominée à la fin). Or la transformée de Fourier d'une fonction <math>L^1</math> est justement continue et bornée donc, en appliquant la formule d'inversion, on remarque que si <math>f</math> et <math>\hat f</math> sont dans <math>L^1</math>, alors <math>f</math> est continue (presque partout) et bornée. On ne perd donc rien à supposer au départ que <math>f</math> est continue et bornée.

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 Recasage :
 *[[235 -- Suites et séries de fonctions intégrables. Exemples et applications.]] (version avec les approximations de l'unité)
 *[[236 -- Illustrer par des exemples quelques méthodes de calculs d'intégrales de fonctions d'une ou plusieurs variables réelles.]] (version avec la transformée de la gaussienne)

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 *[[235 -- Suites et séries de fonctions intégrables. Exemples et applications.]] (version avec les approximations de l'unité)
-*[[236 -- Illustrer par des exemples quelques méthodes de calculs d'intégrales de fonctions d'une ou plusieurs variables réelles.]] (version la transformée de la gaussienne)
+*[[236 -- Illustrer par des exemples quelques méthodes de calculs d'intégrales de fonctions d'une ou plusieurs variables réelles.]] (version avec la transformée de la gaussienne)
 *[[239 -- Fonctions définies par une intégrale dépendant d'un paramètre. Exemples et applications.]]
 *[[240 -- Produit de convolution, transformation de Fourier. Applications.]]