Formule d'inversion de Fourier : Différence entre versions
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*Version dans <math>L^1(\mathbb R)</math> avec les approximations de l'unité : [[Fichier:Tex.png|alt=Tex|link=Média:Inversion_Fourier2.tex|24px]],[[Fichier:Pdf.png|alt=Pdf|link=Média:Inversion_Fourier2.pdf|24px]] | *Version dans <math>L^1(\mathbb R)</math> avec les approximations de l'unité : [[Fichier:Tex.png|alt=Tex|link=Média:Inversion_Fourier2.tex|24px]],[[Fichier:Pdf.png|alt=Pdf|link=Média:Inversion_Fourier2.pdf|24px]] | ||
| − | On remarque en fait a posteriori que la version dans <math>\mathcal S(\mathbb R)</math> n'est pas plus faible que celle dans <math>L^1(\mathbb R)</math>. En effet, dans la version <math>\mathcal S(\mathbb R)</math>, les seules hypothèses sur <math>f</math> qu'on utilise est son intégrabilité, sa continuité et son caractère borné (ces deux dernières hypothèses sont nécessaires pour appliquer le théorème de convergence dominée à la fin). Or la transformée de Fourier d'une fonction <math>L^1</math> est justement continue et bornée donc, en appliquant la formule d'inversion, on remarque que si <math>f</math> et <math>\hat f</math> sont dans <math>L^1</math>, alors <math>f</math> est continue (presque partout) et bornée. On ne perd donc rien à supposer au départ que <math>f</math> est continue et bornée. | + | On remarque en fait a posteriori que la version dans <math>\mathcal S(\mathbb R)</math> n'est pas plus faible que celle dans <math>L^1(\mathbb R)</math> (une fois qu'on a cette deuxième version). En effet, dans la version <math>\mathcal S(\mathbb R)</math>, les seules hypothèses sur <math>f</math> qu'on utilise est son intégrabilité, sa continuité et son caractère borné (ces deux dernières hypothèses sont nécessaires pour appliquer le théorème de convergence dominée à la fin). Or la transformée de Fourier d'une fonction <math>L^1</math> est justement continue et bornée donc, en appliquant la formule d'inversion, on remarque que si <math>f</math> et <math>\hat f</math> sont dans <math>L^1</math>, alors <math>f</math> est continue (presque partout) et bornée. On ne perd donc rien à supposer au départ que <math>f</math> est continue et bornée. |
Version du 9 juin 2014 à 16:34
Recasage :
- 234 -- Espaces L^p, 1 ≤ p ≤ +∞. (version dans
) - 235 -- Suites et séries de fonctions intégrables. Exemples et applications. (version avec les approximations de l'unité)
- 236 -- Illustrer par des exemples quelques méthodes de calculs d'intégrales de fonctions d'une ou plusieurs variables réelles. (version avec la transformée de la gaussienne)
- 239 -- Fonctions définies par une intégrale dépendant d'un paramètre. Exemples et applications.
- 240 -- Produit de convolution, transformation de Fourier. Applications.
- 241 -- Suites et séries de fonctions. Exemples et contre-exemples. (version avec les approximations de l'unité)
- 247 -- Exemples de problèmes d'interversion de limites.
- 254 -- Espaces de Schwartz S(R^d) et distributions tempérées. Transformation de Fourier dans S(R^d) et S'(R^d). (version dans
) - 255 -- Espaces de Schwartz. Distributions. Dérivation au sens des distributions. (version dans )
- Version dans :
- Version dans avec les approximations de l'unité :
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On remarque en fait a posteriori que la version dans n'est pas plus faible que celle dans (une fois qu'on a cette deuxième version). En effet, dans la version , les seules hypothèses sur 
qu'on utilise est son intégrabilité, sa continuité et son caractère borné (ces deux dernières hypothèses sont nécessaires pour appliquer le théorème de convergence dominée à la fin). Or la transformée de Fourier d'une fonction 
est justement continue et bornée donc, en appliquant la formule d'inversion, on remarque que si et 
sont dans , alors est continue (presque partout) et bornée. On ne perd donc rien à supposer au départ que est continue et bornée.
