157 -- Endomorphismes trigonalisables. Endomorphismes nilpotents.
Sommaire
Plans
Plan scanné de l'année 2012-2013
Plan détaillé de l'année 2013-2014 (mémoire) : 
Plan scanné de l'année 2013-2014
Plan scanné de l'année 2014-2015
Plan scanné de l'année 2015-2016
Plan scanné de l'année 2016-2017
Développements
- Théorème de Burnside
- Surjectivité de l'exponentielle matricielle
- Décomposition de Dunford
- Décomposition de Bruhat
Autre plan
Structure :
Premières définitions, premières propriétés
1)Endomorphismes nilpotents [Gri]
Définition et représentation en matrice triangulaire à diagonale nulle. Caractérisation par les traces des puissances successives. Exemples
2)Polynômes caractéristique et minimal [Gou]
Définitions, exemple des endomorphismes nilpotents. Définition et caractérisation de la trigonalisation.
Éléments propres, sous-espaces stables et commutation
1)Valeurs propres, vecteurs propres [Gou]
Définitions des deux notions, exemples simples. Cas des matrices triangulaires et des matrices nilpotentes, Cayley-Hamilton.
2)Sous-espaces stables, propres, caractéristiques [Tau]
Définitions, exemples pour illustrer les différences.
3)Commutation et réductions [Tau], [Gou] et [O-A]
Lemme des noyaux. Co-trigonalisation d'une famille d'endomorphismes commutant deux à deux. Décomposition de Dunford, application au calcul d'exponentielles de matrices. Un endomorphisme est diagonalisable si et seulement si son exponentielle l'est. Et antécédents de l'identité par exponentielle.
Réductions de type trigonalisation
1)Trigonalisation par blocs [Gri]
(a)Trigonalisation suivant les sous-espaces caractéristiques (blocs triangulaires) et application au calcul de puissances de matrices. (b)Représentation canonique des transformations orthogonales ([Gri] p.303).
2)Réduction de Jordan [Gri] ou [Tau] ou [Gou]
Cas des endomorphismes nilpotents et cas général
3)Décomposition de Bruhat [XE1]
Bien sûr, il ne faut pas oublier les motivations : la recherche d'une matrice semblable ayant un maximum de zéros ou au moins une forme particulièrement adaptée à tel ou tel calcul (déterminant, puissance, exponentielle...). Ceci peut être précisé à l'oral, justement.
Les développements proposés sont la décomposition de Dunford (avec le fait que les endomorphismes n et d sont des polynômes en l'endomorphisme initial, par le lemme Chinois : cf. [O-A]), et celle de Bruhat, qui amène à parler éventuellement lors des questions des actions de groupes sur les drapeaux.
Références : [Gri] Grifone, Algèbre linéaire [Tau] Tauvel, Cours d'algèbre [XE1] Oraux X-ENS, Algèbre 1 [Gou] Gourdon, Algèbre [O-A] Objectif agrégation
Rapport du jury
Il est possible de mener une leçon de bon niveau, même sans la décomposition de Jordan à l’aide des noyaux itérés.
