Version du 27 septembre 2011 à 19:09

Nombres complexes et géométrie : exemples et applications

Applications des nombres complexes à la géométrie. Cette leçon ne saurait rester au niveau de la Terminale. Une étude de l’exponentielle complexe et des homographies de la sphère de Riemann est tout à fait appropriée.

Plan de Florian et Basile (2012)

Le Plan

1. Bases (tellement la ~)

Géométrie euclidienne affine

Applications : colinéarité, équations de droites et de cercles.

Angles et coordonnées polaires

Applications : Théorème de l'angle inscrit ?

Transformations affines

(Polynômes et barycentres)

Applications : Théorème de Gauss-Lucas DEV : Ellipse de Steiner.

2. Droite projective complexe

DéfinitionS

Définitions équivalentes Exemple : projection stéréographique

Homographies

Application : points fixes et suites homographiques

Birapport

Application : Cocyclicité

Groupe circulaire

DEV : Action du groupe circulaire

3. Demi-plan de Poincaré et autres

Définitions

Développements possibles

• Ellipse de Steiner
• Action du groupe circulaire sur le demi-plan de Poincaré
• Fibration de Hopf : possible ?

Références

• Audin
• Goblot
• Eiden