159 -- Formes linéaires et dualité en dimension finie. Exemples et applications.

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Développements

  1. Développements possibles [Proposés par Ivan et Vincent, 2011-2012] :
    • Hahn-Banach géométrique en dimension finie - référence : Géométrie de Tauvel, (ATTENTION, Tauvel a fait des coquilles dans la démo).
    • Un Isomorphisme entre {\mathcal  {M}}_{n}(K) et son dual et application - Référence : Aubonnet, Les Grands classiques de mathématiques..., Algèbre et Géométrie - Application pour montrer que tout hyperplan de matrice contient une matrice inversible et que les seules formes linéaires sur les matrices qui vérifient \phi (AB)=\phi (BA),\forall A,B sont de la forme \lambda Trace,\lambda \in K. Vrai quelque soit le corps K.
  1. Développements possibles [Propositions de 2010-2011] :
    • Hahn-Banach en dimension finie,
    • Invariant de similitudes - Référence : Gourdon (preuve par dualité) mais après ?
    • Le théorème des extrema liés.
    • cf la leçon sous-variétés: le lieu des matrices dont les colonnes sont normées qui maximise le déterminant est le groupe spécial orthogonal. De mémoire on utilise l'identification de M_{n}({\mathbb  {R}}) avec son dual via la trace, et on applique le théorème des extréma liés, from GT Calcul différentiel. Au début je l'aimais bien et finalement je l'ai abandonné.
  1. Autres possibilités, plus discutables (Tristan Vaccon) : théorème de Burnside sur les sous-groupes d'exposants finis... (Alessandri), la preuve repose sur l'étude de formes linéaires ; sous-espaces de C({\mathbb  {R}},{\mathbb  {C}}) de dimension finie stables par translation (Leichtnam+ Objectif Agreg, de mémoire), il y a des considérations importantes de dualité.
  1. Autres possibiliés (Pierre M.) : L'enveloppe convexe du groupe orthogonal est la boule unité euclidienne (oraux X-ENS algèbre 1), qui se fait par Han-Banach. Et l'étude des applications linéaires ayant un hyperplan fixe (dilatations et transvections) avec le Perrin.