182 -- Applications des nombres complexes à la géométrie. : Différence entre versions

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* Action du groupe circulaire sur la sphère de Riemann
 
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* Action de <math>PSL_2( \mathbb Z )</math> sur le demi-plan de Poincaré
 
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* Fibration de Hopf : possible ?
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Version du 20 octobre 2011 à 20:42

"Applications des nombres complexes à la géométrie. Cette leçon ne saurait rester au niveau de la Terminale. Une étude de l’exponentielle complexe et des homographies de la sphère de Riemann est tout à fait appropriée."

Extrait du rapport 2010

Plan de Florian et Basile (2012)

Le Plan

1. Bases (tellement la ~)

  1. Géométrie euclidienne affine
    • Définitions : affixe, vecteur image. Liens entre la structure hermitienne de {\mathbb C} et la géométrie.
    • Applications : colinéarité, équations de droites et de cercles.
  2. Angles et coordonnées polaires [Aud]
    • Isomorphisme de groupe {\mathbb U}\cong {\mathbb R}/2\pi {\mathbb Z}
    • Applications : Théorème de l'angle inscrit ? Ptolémé
  3. Transformations
    • Isométries directes
    • Isométries puis similitudes
    • App : Développé de la cycloïde [Arn]
  4. Polynômes et barycentres
    • Applications : Théorème de Gauss-Lucas
    • DEV : Ellipse de Steiner.

2. Droite projective complexe

  1. DéfinitionS
    • Définitions équivalentes [Cos]
    • Exemple : projection stéréographique [Aud]
  2. Homographies [Aud, Cos]
    • Groupe et ses générateurs
    • Application : points fixes et suites homographiques [Cos]
  3. Birapport [Aud, Eid]
    • Applications : Cocyclicité, Premutation et birapport [Aud], Alternative de Steiner
  4. Groupe circulaire [Aud]
    • DEV : Action du groupe circulaire
  5. Fibration de Hopf [Dim, Cer]

Développements possibles

  • Ellipse de Steiner
  • Action du groupe circulaire sur la sphère de Riemann
  • Action de PSL_{2}({\mathbb Z}) sur le demi-plan de Poincaré
  • Fibration de Hopf ?

Références

  • [Aud] : Audin (3ième édition)
  • [Gob] : Goblot
  • [Eid] : Eiden
  • [Arn] : Lelong-ferrand Arnaudiès, Géométrie et cinématique Tome 3
  • [Cos] : Cours de M. Coste
  • [Dim] : Film dimension
  • [Cer] : Cours de D. Cerveaux
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