182 -- Applications des nombres complexes à la géométrie.

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"Applications des nombres complexes à la géométrie. Cette leçon ne saurait rester au niveau de la Terminale. Une étude de l’exponentielle complexe et des homographies de la sphère de Riemann est tout à fait appropriée."

Extrait du rapport 2010

Plan de Florian et Basile (2012)

Le Plan

1. Bases (tellement la ~)

  1. Géométrie euclidienne affine
    • Définitions : affixe, vecteur image. Liens entre la structure hermitienne de {\mathbb  C} et la géométrie.
    • Applications : colinéarité, équations de droites et de cercles.
  2. Angles et coordonnées polaires
    • Isomorphisme de groupe {\mathbb  U}\cong {\mathbb  R}/2\pi {\mathbb  Z}
    • Applications : Théorème de l'angle inscrit ?
  3. Transformations
    • Isométries directes
    • Isométries puis similitudes
  4. Polynômes et barycentres
    • Applications : Théorème de Gauss-Lucas
    • DEV : Ellipse de Steiner.

2. Droite projective complexe

  1. DéfinitionS
    • Définitions équivalentes
    • Exemple : projection stéréographique
  2. Homographies
    • Groupe et ses générateurs
    • Application : points fixes et suites homographiques
  3. Birapport
    • Applications : Cocyclicité, Premutation et birapport [Aud], Ptolémé, Alternative de Steiner
  4. Groupe circulaire
    • DEV : Action du groupe circulaire
  5. Fibration de Hopf

Développements possibles

  • Ellipse de Steiner
  • Action du groupe circulaire sur la sphère de Riemann
  • Action de PSL_{2}({\mathbb  Z}) sur le demi-plan de Poincaré
  • Fibration de Hopf : possible ?

Références