239 -- Fonctions définies par une intégrale dépendant d'un paramètre. Exemples et applications.

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Je vous propose ce que l'on avait fait quand nous avions préparé notre leçon :

Régularité

Ref : Zuily-Quéffelec

Théorèmes de

  • continuité ;
  • dérivabilité avec contre-exemple construit par Adrien Richou pour montrer la petite subtilité avec le presque partout dans le théorème de dérivabilité ;
  • holomorphie.

Etude asymptotique :

  • Méthode de Laplace ;
  • Phase stationnaire.

Théorie de Cauchy

Ref : Rudin

Intégration sur un chemin, indice, formule de Cauchy et théorème des résidus.

Convolution

Ref : Brezis

Fonctions convolables, suites régularisantes, fonctions plateaux, converge uniforme et L^{p}.

Transformée de Fourier

Ref : Zuily-Quéffelec

Dans le cadre {\mathcal  {S}}({\mathbb  {R}}) exclusivement : définition, isomorphisme, formule d'inversion, formule sommatoire de Poisson, application aux EDP.


Développements possibles

  • Prolongement de \Gamma avec formule d'Euler (cf Zuily-Quéffelec)
  • Méthode de Laplace (idem)
  • Formule sommatoire de Poisson + \theta de Jacobi (idem)