239 -- Fonctions définies par une intégrale dépendant d'un paramètre. Exemples et applications.
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Je vous propose ce que l'on avait fait quand nous avions préparé notre leçon :
Sommaire
Régularité
Ref : Zuily-Quéffelec
Théorèmes de
- continuité ;
- dérivabilité avec contre-exemple construit par Adrien Richou pour montrer la petite subtilité avec le presque partout dans le théorème de dérivabilité ;
- holomorphie.
Etude asymptotique :
- Méthode de Laplace ;
- Phase stationnaire.
Théorie de Cauchy
Ref : Rudin
Intégration sur un chemin, indice, formule de Cauchy et théorème des résidus.
Convolution
Ref : Brezis
Fonctions convolables, suites régularisantes, fonctions plateaux, converge uniforme et .
Transformée de Fourier
Ref : Zuily-Quéffelec
Dans le cadre exclusivement : définition, isomorphisme, formule d'inversion, formule sommatoire de Poisson, application aux EDP.
Développements possibles
- Prolongement de avec formule d'Euler (cf Zuily-Quéffelec)
- Méthode de Laplace (idem)
- Formule sommatoire de Poisson + de Jacobi (idem)