240 -- Produit de convolution, transformation de Fourier. Applications. : Différence entre versions

Version du 10 mars 2011 à 20:07

Selon Laurent Guillopé (jury aux oraux blancs), il faut savoir calculer la transformée de Fourier :

d'une fonction constante ;
d'une fonction créneau (fontion caractéristique de ${\mathbb {R}}^{+}$ ) : cela donne l'exemple d'une fonction analytique non $L^{1}$ ;
de la Gaussienne ;
de $x\mapsto {\frac {1}{1+x^{2}}}$ ;
de $x\mapsto e^{{-|x|}}$ (ces deux dernières étant reliées).

Voici le plan que j'envisage:

Le cas général d'existence semble porter le nom de théorème de Young.

On énonce un théorème qui dit que la convolée garde la régularité de la fonction la plus régulière. Approximations de l'unité. Théorèmes de densité.

III Extension de la transformation de Fourier aux distributions tempérées
i)Définition de l'espace $S'(R)$
ii)Transformation de Fourier dans $S'(R)$ , applications à la résolution d'une EDP

Rien de bien original, certes.

@@ Ligne 5 : / Ligne 5 : @@
 * de <math>x\mapsto \frac{1}{1+x^2}</math> ;
 * de <math>x\mapsto e^{-|x|}</math> (ces deux dernières étant reliées).
+Voici le plan que j'envisage:
+* I Convolution
+* i)Définitions
+Le cas général d'existence semble porter le nom de théorème de Young.
+* ii)Régulariastion et approximation
+On énonce un théorème qui dit que la convolée garde la régularité de la fonction la plus régulière. Approximations de l'unité. Théorèmes de densité.
+* II Transformation de Fourier
+* i)Dans <math>L^1(R)</math>, lien avec la convolution. Formule sommatoire de Poisson
+* ii)Dans l'espace de Schwartz, inversion, prolongement à <math>L^2(R)</math>
+* iii)Application à l'équation de la chaleur
+* III Extension de la transformation de Fourier aux distributions tempérées
+* i)Définition de l'espace <math>S'(R)</math>
+* ii)Transformation de Fourier dans <math>S'(R)</math>, applications à la résolution d'une EDP
+Rien de bien original, certes.