240 -- Produit de convolution, transformation de Fourier. Applications. : Différence entre versions

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Version du 27 août 2021 à 21:48

Selon Laurent Guillopé (jury aux oraux blancs), il faut savoir calculer la transformée de Fourier :

  • d'une fonction constante ;
  • d'une fonction créneau (fontion caractéristique de {\mathbb  {R}}^{+}) : cela donne l'exemple d'une fonction analytique non L^{1} ;
  • de la Gaussienne ;
  • de x\mapsto {\frac  {1}{1+x^{2}}} ;
  • de x\mapsto e^{{-|x|}} (ces deux dernières étant reliées).



Voici le plan que j'envisage:

  • I Convolution
  • i)Définitions

Le cas général d'existence semble porter le nom de théorème de Young.

  • ii)Régulariastion et approximation

On énonce un théorème qui dit que la convolée garde la régularité de la fonction la plus régulière. Approximations de l'unité. Théorèmes de densité.


  • II Transformation de Fourier
  • i)Dans L^{1}(R), lien avec la convolution. Formule sommatoire de Poisson
  • ii)Dans l'espace de Schwartz, inversion, prolongement à L^{2}(R)
  • iii)Application à l'équation de la chaleur


  • III Extension de la transformation de Fourier aux distributions tempérées
  • i)Définition de l'espace S'(R)
  • ii)Transformation de Fourier dans S'(R), applications à la résolution d'une EDP


Rien de bien original, certes.

Autres plans

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La nouvelle leçon qui la remplace en 2016-2017

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