240 -- Produit de convolution, transformation de Fourier. Applications. : Différence entre versions

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Selon Laurent Guillopé (jury aux oraux blancs), il faut savoir calculer la transformée de Fourier :
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= Plans =
* d'une fonction constante ;
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* d'une fonction créneau (fontion caractéristique de <math> \mathbb{R}^+ </math>) : cela donne l'exemple d'une fonction analytique non <math> L^1</math> ;
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* de la Gaussienne ;
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* de <math>x\mapsto \frac{1}{1+x^2}</math> ;
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* de <math>x\mapsto e^{-|x|}</math> (ces deux dernières étant reliées).
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== Autre plan ==
  
 
Voici le plan que j'envisage:
 
Voici le plan que j'envisage:
  
* I Convolution
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=== Convolution ===
* i)Définitions
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==== Définitions ====
 
Le cas général d'existence semble porter le nom de théorème de Young.
 
Le cas général d'existence semble porter le nom de théorème de Young.
* ii)Régulariastion et approximation
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==== Régulariastion et approximation ====
 
On énonce un théorème qui dit que la convolée garde la régularité de la fonction la plus régulière. Approximations de l'unité. Théorèmes de densité.
 
On énonce un théorème qui dit que la convolée garde la régularité de la fonction la plus régulière. Approximations de l'unité. Théorèmes de densité.
  
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=== Transformation de Fourier ===
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==== Dans <math>L^1(R)</math>, lien avec la convolution. Formule sommatoire de Poisson ====
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==== Dans l'espace de Schwartz, inversion, prolongement à <math>L^2(R)</math> ====
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==== Application à l'équation de la chaleur ====
  
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=== Extension de la transformation de Fourier aux distributions tempérées ===
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==== Définition de l'espace <math>S'(R)</math> ====
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==== Transformation de Fourier dans <math>S'(R)</math>, applications à la résolution d'une EDP ====
  
* II Transformation de Fourier
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Rien de bien original, certes.
* i)Dans <math>L^1(R)</math>, lien avec la convolution. Formule sommatoire de Poisson
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* ii)Dans l'espace de Schwartz, inversion, prolongement à <math>L^2(R)</math>
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* iii)Application à l'équation de la chaleur
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= Commentaires =
  
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Selon Laurent Guillopé (jury aux oraux blancs), il faut savoir calculer la transformée de Fourier :
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* d'une fonction constante ;
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* d'une fonction créneau (fontion caractéristique de <math> \mathbb{R}^+ </math>) : cela donne l'exemple d'une fonction analytique non <math> L^1</math> ;
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* de la Gaussienne ;
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* de <math>x\mapsto \frac{1}{1+x^2}</math> ;
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* de <math>x\mapsto e^{-|x|}</math> (ces deux dernières étant reliées).
  
* III Extension de la transformation de Fourier aux distributions tempérées
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Leçon remplacées en 2016 par la [[250 -- Transformation de Fourier. Applications]]
* i)Définition de l'espace <math>S'(R)</math>
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* ii)Transformation de Fourier dans <math>S'(R)</math>, applications à la résolution d'une EDP
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Rien de bien original, certes.
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== Autres plans ==
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[[Fichier:Pdf.png|alt=Pdf|link=|24px]] [[Média:240_2013-2014.pdf | Plan scanné de l'année 2013-2014]]
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[[Category: Leçon d'analyse]]
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[[Category:Leçon d'analyse]]
[[Category:Leçon de maths pour l'option D]]
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[[Category:Anciennes leçons]]

Version actuelle en date du 22 avril 2022 à 09:56

Plans

Pdf Plan scanné de l'année 2013-2014

Pdf Plan scanné de l'année 2014-2015

Pdf Plan scanné de l'année 2015-2016

Autre plan

Voici le plan que j'envisage:

Convolution

Définitions

Le cas général d'existence semble porter le nom de théorème de Young.

Régulariastion et approximation

On énonce un théorème qui dit que la convolée garde la régularité de la fonction la plus régulière. Approximations de l'unité. Théorèmes de densité.

Transformation de Fourier

Dans L^{1}(R), lien avec la convolution. Formule sommatoire de Poisson

Dans l'espace de Schwartz, inversion, prolongement à L^{2}(R)

Application à l'équation de la chaleur

Extension de la transformation de Fourier aux distributions tempérées

Définition de l'espace S'(R)

Transformation de Fourier dans S'(R), applications à la résolution d'une EDP

Rien de bien original, certes.

Commentaires

Selon Laurent Guillopé (jury aux oraux blancs), il faut savoir calculer la transformée de Fourier :

  • d'une fonction constante ;
  • d'une fonction créneau (fontion caractéristique de {\mathbb  {R}}^{+}) : cela donne l'exemple d'une fonction analytique non L^{1} ;
  • de la Gaussienne ;
  • de x\mapsto {\frac  {1}{1+x^{2}}} ;
  • de x\mapsto e^{{-|x|}} (ces deux dernières étant reliées).

Leçon remplacées en 2016 par la 250 -- Transformation de Fourier. Applications