240 -- Produit de convolution, transformation de Fourier. Applications. : Différence entre versions

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Selon Laurent Guillopé (jury aux oraux blancs), il faut savoir calculer la transformée de Fourier :
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= Plan =
* d'une fonction constante ;
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* d'une fonction créneau (fontion caractéristique de <math> \mathbb{R}^+ </math>) : cela donne l'exemple d'une fonction analytique non <math> L^1</math> ;
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* de la Gaussienne ;
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* de <math>x\mapsto \frac{1}{1+x^2}</math> ;
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* de <math>x\mapsto e^{-|x|}</math> (ces deux dernières étant reliées).
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== Autre plan ==
  
 
Voici le plan que j'envisage:
 
Voici le plan que j'envisage:
  
* I Convolution
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=== Convolution ===
* i)Définitions
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==== Définitions ====
 
Le cas général d'existence semble porter le nom de théorème de Young.
 
Le cas général d'existence semble porter le nom de théorème de Young.
* ii)Régulariastion et approximation
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==== Régulariastion et approximation ====
 
On énonce un théorème qui dit que la convolée garde la régularité de la fonction la plus régulière. Approximations de l'unité. Théorèmes de densité.
 
On énonce un théorème qui dit que la convolée garde la régularité de la fonction la plus régulière. Approximations de l'unité. Théorèmes de densité.
  
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=== Transformation de Fourier ===
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==== Dans <math>L^1(R)</math>, lien avec la convolution. Formule sommatoire de Poisson ====
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==== Dans l'espace de Schwartz, inversion, prolongement à <math>L^2(R)</math> ====
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==== Application à l'équation de la chaleur ====
  
 
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=== Extension de la transformation de Fourier aux distributions tempérées ===
* II Transformation de Fourier
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==== Définition de l'espace <math>S'(R)</math> ====
* i)Dans <math>L^1(R)</math>, lien avec la convolution. Formule sommatoire de Poisson
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==== Transformation de Fourier dans <math>S'(R)</math>, applications à la résolution d'une EDP ====
* ii)Dans l'espace de Schwartz, inversion, prolongement à <math>L^2(R)</math>
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* iii)Application à l'équation de la chaleur
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* III Extension de la transformation de Fourier aux distributions tempérées
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* i)Définition de l'espace <math>S'(R)</math>
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* ii)Transformation de Fourier dans <math>S'(R)</math>, applications à la résolution d'une EDP
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Rien de bien original, certes.
 
Rien de bien original, certes.
  
== Autres plans ==
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= Commentaires =
  
[[Fichier:Pdf.png|alt=Pdf|link=|24px]] [[Média:240_2013-2014.pdf | Plan scanné de l'année 2013-2014]]
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Selon Laurent Guillopé (jury aux oraux blancs), il faut savoir calculer la transformée de Fourier :
 
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* d'une fonction constante ;
[[Fichier:Pdf.png|alt=Pdf|link=|24px]] [[Média:240_2014-2015.pdf | Plan scanné de l'année 2014-2015]]
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* d'une fonction créneau (fontion caractéristique de <math> \mathbb{R}^+ </math>) : cela donne l'exemple d'une fonction analytique non <math> L^1</math> ;
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* de la Gaussienne ;
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* de <math>x\mapsto \frac{1}{1+x^2}</math> ;
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* de <math>x\mapsto e^{-|x|}</math> (ces deux dernières étant reliées).
  
[[Fichier:Pdf.png|alt=Pdf|link=|24px]] [[Média:240_2015-2016.pdf | Plan scanné de l'année 2015-2016]]
 
  
== La nouvelle leçon qui la remplace en 2016-2017 ==
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= La nouvelle leçon qui la remplace en 2016-2017 =
  
 
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[[Fichier:Pdf.png|alt=Pdf|link=|24px]] [[Média:250_2016-2017.pdf | Plan scanné de l'année 2016-2017]]
  
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[[Category:Leçon d'analyse]]
 
[[Category:Anciennes leçons]]
 
[[Category:Anciennes leçons]]

Version du 21 avril 2022 à 20:27

Plan

Pdf Plan scanné de l'année 2013-2014

Pdf Plan scanné de l'année 2014-2015

Pdf Plan scanné de l'année 2015-2016

Autre plan

Voici le plan que j'envisage:

Convolution

Définitions

Le cas général d'existence semble porter le nom de théorème de Young.

Régulariastion et approximation

On énonce un théorème qui dit que la convolée garde la régularité de la fonction la plus régulière. Approximations de l'unité. Théorèmes de densité.

Transformation de Fourier

Dans L^{1}(R), lien avec la convolution. Formule sommatoire de Poisson

Dans l'espace de Schwartz, inversion, prolongement à L^{2}(R)

Application à l'équation de la chaleur

Extension de la transformation de Fourier aux distributions tempérées

Définition de l'espace S'(R)

Transformation de Fourier dans S'(R), applications à la résolution d'une EDP

Rien de bien original, certes.

Commentaires

Selon Laurent Guillopé (jury aux oraux blancs), il faut savoir calculer la transformée de Fourier :

  • d'une fonction constante ;
  • d'une fonction créneau (fontion caractéristique de {\mathbb  {R}}^{+}) : cela donne l'exemple d'une fonction analytique non L^{1} ;
  • de la Gaussienne ;
  • de x\mapsto {\frac  {1}{1+x^{2}}} ;
  • de x\mapsto e^{{-|x|}} (ces deux dernières étant reliées).


La nouvelle leçon qui la remplace en 2016-2017

Pdf Plan scanné de l'année 2016-2017