Version du 21 juin 2013 à 11:41

Calculer l'exponentielle d'une matrice diagonalisable sans calculer la matrice de passage

Soit $A\in {\mathcal {M}}_{n}({\mathbb {C}})$ . soit $D=diag(\lambda _{1},\dots ,\lambda _{n})$ telle que $A=Q^{{-1}}DQ$ .

Soit $P$ un polynôme tel que $P(\lambda _{i})=e^{{\lambda _{i}}}$ pour tout $i$ .

Alors $P(A)=P(Q^{{-1}}DQ)=Q^{{-1}}P(D)Q=Q^{{-1}}\exp(D)Q=\exp(A)$ !

Ref : perso.univ-rennes1.fr/tristan.vaccon/exponentielle_de_matrices.pdf‎

@@ Ligne 3 : / Ligne 3 : @@
 Soit <math>A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{C})</math>.
 soit <math>D=diag(\lambda_1,\dots,\lambda_n)</math> telle que <math>A=Q^{-1}DQ</math>.
 Soit <math>P</math> un polynôme tel que <math>P(\lambda_i) = e^{\lambda_i}</math> pour tout <math>i</math>.
 Alors <math>P(A) = P(Q^{-1}DQ) = Q^{-1}P(D)Q = Q^{-1}\exp(D)Q = \exp(A)</math> !
+Ref : perso.univ-rennes1.fr/tristan.vaccon/exponentielle_de_matrices.pdf‎