Formule d'inversion de Fourier : Différence entre versions

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On remarque en fait a posteriori que la version dans <math>\mathcal S(\mathbb R)</math> n'est pas plus faible que celle dans <math>L^1(\mathbb R)</math>. En effet, dans la version <math>\mathcal S(\mathbb R)</math>, les seules hypothèses sur <math>f</math> qu'on utilise est son intégrabilité, sa continuité et son caractère borné (ces deux dernières hypothèses sont nécessaires pour appliquer le théorème de convergence dominée à la fin). Or la transformée de Fourier d'une fonction <math>L^1</math> est justement continue et bornée donc, en appliquant la formule d'inversion, on remarque que si <math>f</math> et <math>\hat f</math> sont dans <math>L^1</math>, alors <math>f</math> est continue (presque partout) et bornée. On ne perd donc rien à supposer au départ que <math>f</math> est continue et bornée.
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On remarque en fait a posteriori que la version dans <math>\mathcal S(\mathbb R)</math> n'est pas plus faible que celle dans <math>L^1(\mathbb R)</math> (une fois qu'on a cette deuxième version). En effet, dans la version <math>\mathcal S(\mathbb R)</math>, les seules hypothèses sur <math>f</math> qu'on utilise est son intégrabilité, sa continuité et son caractère borné (ces deux dernières hypothèses sont nécessaires pour appliquer le théorème de convergence dominée à la fin). Or la transformée de Fourier d'une fonction <math>L^1</math> est justement continue et bornée donc, en appliquant la formule d'inversion, on remarque que si <math>f</math> et <math>\hat f</math> sont dans <math>L^1</math>, alors <math>f</math> est continue (presque partout) et bornée. On ne perd donc rien à supposer au départ que <math>f</math> est continue et bornée.
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Version actuelle en date du 17 janvier 2015 à 20:43

Recasage :

  • Version dans {\mathcal  S}({\mathbb  R}) : Pdf
  • Version dans L^{1}({\mathbb  R}) avec les approximations de l'unité : Tex,Pdf

On remarque en fait a posteriori que la version dans {\mathcal  S}({\mathbb  R}) n'est pas plus faible que celle dans L^{1}({\mathbb  R}) (une fois qu'on a cette deuxième version). En effet, dans la version {\mathcal  S}({\mathbb  R}), les seules hypothèses sur f qu'on utilise est son intégrabilité, sa continuité et son caractère borné (ces deux dernières hypothèses sont nécessaires pour appliquer le théorème de convergence dominée à la fin). Or la transformée de Fourier d'une fonction L^{1} est justement continue et bornée donc, en appliquant la formule d'inversion, on remarque que si f et {\hat  f} sont dans L^{1}, alors f est continue (presque partout) et bornée. On ne perd donc rien à supposer au départ que f est continue et bornée.